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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}

\lhead{}
\chead{}
\rhead{}

% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 5 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
16 mars 2016}


\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\huge\textbf{\textcolor{red}{TS1-TS2 : devoir sur table commun \no 5 (4 heures)}}
}\end{center}

Il faut traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV  (\textbf{en fonction de l'enseignement de spécialité suivi).}

\vspace{1cm}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Nouvelle-Calédonie mars 2016
On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par

\[z_0 = 1\quad  \text{et}\quad   z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\]

On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ de l'annexe (à rendre avec la copie).

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
		\item En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ : 
		
\[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\]
		
		\item Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose 00\[d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|.\]
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement $d_n$.
		\item Calculer $d_0$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :
\[z_{n+2} - z_{n+1}  = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\]
		
		\item En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$  est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$ :		\[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
		
\[\left|z_{n+1}\right|^2  = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
		\item Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre
avec la copie.
		\item Justifier cette construction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%\textcolor{red}{Livre Belin Radial \no  112 page 221}
%\textbf{\textcolor{red}{Ajouté le 12 avril}}
\label{complexes}
\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que : \[\forall n\in\mathbb{N},~u_n<1.\]

\noindent En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie. 


\item Calculer $u_1$; $u_2$ et $u_3$. On exprimera chacun de ces termes sous la forme d'une fraction irréductible.

\item Comparer les quatre premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ et les quatre premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $w_n=\dfrac{n}{n+1}$.

\item Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ vérifie la même relation de récurrence que la suite $\left(u_n\right)$.


\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ : \[u_n=w_n.\]
\end{enumerate}

\item Soit $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite de terme général :  \[v_n =\ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que : $v_1 + v_2 + v_3 = -\ln(4). $


\item Soit $S_n$ la somme définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
\[S_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{i=n}v_i=v_1+v_2+\cdots+v_n.\]

\noindent Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.

\noindent Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n $ tend vers $+\infty$. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{}%\textcolor{blue}{Exercice \no 145 page 152 livre Repères}
Soit $n$ un entier naturel. On note $f_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f_n(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{1
+\mathrm{e}^{-x}}.\]
On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$. 
\noindent Les courbes $\mathscr{C}_0$, $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$  sont représentées ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.2)(1.5,1.1)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.2)(1.5,1.1)
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{-1.5}{1.5}{1/(1.0+EXP(-x))}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-1.5}{1.5}{EXP(-1*x)/(1.0+EXP(-x))}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-1.5}{1.5}{EXP(-2*x)/(1.0+EXP(-x))}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-1.5}{1.5}{EXP(-3*x)/(1.0+EXP(-x))}
\uput[d](-0.5,0.38){$\mathscr{C}_0$}
\uput[d](-0.5,0.62){$\mathscr{C}_1$}
\uput[d](-0.5,1.){$\mathscr{C}_2$}
\uput[u](-0.1,0.82){$\mathscr{C}_3$}
\psgrid[subgriddiv=10,linewidth=0.8pt,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(2,2)
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les courbes $\mathscr{C}_n$ ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées.

\item \textbf{Étude de la fonction $\boldmath{f_0}$.}
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $f_0$.

\item Préciser les limites de la fonction $f_0$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\noindent Interpréter graphiquement ces limites.

\item Dresser le tableau de variation de $f_0$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Étude de la fonction $f_1$}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f_0(x)=f_1(-x)$ pour tout réel $x$.

\item En déduire les limites de $f_1$ en $-\infty$ et en $+\infty$, ainsi que son sens de variation.

\item Donner une interprétation géométrique de 3.(a) pour les courbes $\mathscr{C}_0$ et $\mathscr{C}_1$.
\end{enumerate}

\item Étude de la fonction $f_n$ pour $n\geqslant 2$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n\geqslant 2$ et pour tout réel $x$, on a : \[f_n(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{nx}+\mathrm{e}^{(n-1)x}}.\]

\item Étudier les limites la fonction $f_n$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Calculer la dérivée $f_n'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f_n$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}




\subsection{}%\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2016}
\emph{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation
\[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ?
\item Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite (d) de représentation paramétrique

\[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 12 - 2t\\
y &=& 9 - 2t\\ 
z &=&t
\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb{R}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les
coordonnées.
		\item Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
		\item Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que
	
\[- 10 \leqslant  m \leqslant 10\quad \text{et}\quad  - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\]

On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
		\item Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si
\[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
		
		\item On donne l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\emph{Variables :}	&$m$ et $m'$ entiers relatifs\\
\emph{Traitement :}	&Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\
					&\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $-10$ à 10 :\\
					&\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\
					&\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\
					&\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\
					&Fin du Pour\\ \hline
\end{tabularx}		
		\end{center}
Quel est le rôle de cet algorithme?
		\item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1),\: (0~;~1)\text{ et }(5~;~- 4)$.
		
Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (spécialité)}}
\emph{Pour les élèves  suivant  l'enseignement de spécialité, \textbf{à faire sur feuille séparée} :}

\bigskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On donne les matrices $M = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\1 & - 1& 1\\ 4 &2& 1\end{pmatrix}$ et 

\noindent $I = \begin{pmatrix}1 &0& 0\\0& 1& 0\\  0 &0 &1\end{pmatrix}$. 

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice $M^2$. 

\noindent On donne $M^3 = \begin{pmatrix}20& 10& 11\\12& 2& 9\\42& 20& 21 \end{pmatrix}$.
\item Vérifier que $M^3 = M^2 + 8M + 6I$. 
\item En déduire que $M$ est inversible et que 

\noindent $M^{-1} = \dfrac{1}{6} \left(M^2 - M - 8I\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B Étude d'un cas particulier }

\medskip 

On cherche à déterminer trois nombres entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation 

$y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A(1~;~1), B$( -1~;~-1)$ et C(2~;~5). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que

\[M\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}1\\- 1\\5\end{pmatrix}.\]

\item Calculer les nombres $a$, $b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Retour au cas général}

\medskip 

Les nombres $a$, $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ sont des entiers. 

Dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, on considère les points A$(1~;~p)$, B$( - 1~;~q)$ et C$(2~;~r)$. 

On cherche des valeurs de $p$, $q$ et $r$ pour qu'il existe une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passant par A, B et C. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}= M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$. avec $a$, $b$ et $c$ entiers. alors 

\[\left\{\begin{array}{l c l}- 3p + q + 2r&\equiv &0\:[6]\\ 
3p-3q &\equiv &0 \:[6]\\
6p + 2q-2r &\equiv & 0\: [6] \end{array}\right.\]
 
\item  En déduire que $\left\{\begin{array}{l c l} q- r &\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0 \:[2]\end{array}\right.$.
\item Réciproquement, on admet que \\
si $\left\{\begin{array}{l c l}q- r&\equiv&  0 \:[3]\\
 p - q &\equiv& 0\: [2] \\
\multicolumn{3}{l}{\text{A, B,  C ne sont pas alignés }} 
 \end{array}\right.$ 

alors il existe trois  entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si $2r + q - 3p = 0$. 
		\item On choisit $p = 7$. Déterminer des entiers $q$, $r$, $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\newpage

\label{fin}

\begin{landscape}


\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip
\textbf{ANNEXE  de l'\ref{complexes}}

\bigskip

\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\psdots(0;0)(1;0)(1.1547;30)(1.3333;60)(1.5396;90)(1.7778;120)(2.73707;180) %(2.0528;150)
\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1.1547;30){$A_1$} \uput[ur](1.3333;60){$A_2$} \uput[ur](1.5396;90){$A_3$}\uput[ur](1.7778;120){$A_4$}\uput[ur](2.73707;180){$A_6$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}


\end{document}  