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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 4 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
06 février 2016}


\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\huge\textbf{\textcolor{red}{TS1-TS2 : devoir sur table commun \no 4 (4 heures)}}
}\end{center}

Il faut traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV  (\textbf{en fonction de l'enseignement de spécialité suivi).}

\vspace{3cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice I}}
%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2014}
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par 

\[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$. 

\medskip


\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ par 
\index{fonction exponentielle}
\[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
\item En déduire le signe de $g(x)$. 
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. 

Démontrer que, pour tout réel $x$, 

\[f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).\]
 
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
 
Démontrer que $- 1 < \alpha < 0$.  
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $T$ d'équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$  au point d'abscisse $0$.
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$.
	\end{enumerate} 

\item Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(x+1)]$.

\item En déduire que la droite $\Delta$ d'équation $y=x+1$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}$.

\item Etudier la position relative de $\Delta$ et de $\mathscr{C}.$
\end{enumerate}

\bigskip

\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II}}
%\textcolor{blue}{Réunion Métropole septembre 2015}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :\index{géométrie dans l'espace}

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item les points A$(0~;~1~;~-1)$ et B$(- 2~;~2~;~- 1)$.
\item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t\\
y&=& \phantom{-}1 + t\\
z&=&-1 - t
\end{array}\right.
, \:t \in \mathbb{R}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).\index{représentation paramétrique de droite}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
		\item Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 	
Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel.

On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées 
$(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	
\item  Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.

\item  Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.		
		\item Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
		\item En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice III}}

\begin{enumerate}

\item Donner la forme algébrique de $\dfrac{2+3\mathrm{i}}{5-3\mathrm{i}}$.

\medskip

\item Déterminer géométriquement l'ensemble des points M dont 
l'affixe $z$ vérifie $\vert z-2+5\mathrm{i} \vert=8$.

\medskip

\item Déterminer géométriquement l'ensemble des points M dont l'affixe $z$ vérifie $\vert z-1+4\mathrm{i} \vert=\vert z-2-5\mathrm{i} \vert$.

\medskip

\item Résoudre l'équation $(2\mathrm{i}+z)(z+\mathrm{i}(3-z))=0$.

\medskip

\item Résoudre l'équation $\mathrm{i} \overline{z} + 7 = 2z + 2\mathrm{i}$

\medskip

\item Résoudre l'équation $1-2z = 3\mathrm{i}z+5-\mathrm{i}$.

\medskip

\item On suppose connu le résultat suivant : pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $\overline{zz\prime}=\overline{z} \times \overline{z\prime}$.

\noindent Démontrer alors que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$,~$\overline{z^n}=\overline{z}^n$

\item Soit $z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $z^2$ puis $z^4$.

\item En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $z^{4n}$ est un nombre réel.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (pour les non spécialistes)}}
%\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie novembre 2015}
On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$,

 $a_0 =  450$ et, 
pour tout entier naturel $n \geqslant 0$

\[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l}
d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\
a_{n+1}	&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70
\end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $d_1$ et $a_1$.
\item On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et
$a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur.

L'algorithme suivant est proposé :

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline
\emph{Variables} :& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\
&$D$ et $A$ sont des réels\\
&\\
\emph{Initialisation} :& $D$ prend la valeur 300\\
&$A$ prend la valeur 450\\
&Saisir la valeur de $n$\\
&\\
\emph{Traitement} :& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{0.8cm}$D$ prend la valeur $\dfrac{D}{2} + 100$ \rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\
&\hspace{0.8cm}$A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70$\\ 
&Fin pour\\
&\\

\emph{Sortie} :& Afficher $D$\\
&Afficher $A$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? 
		
Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question \textbf{1.} ?
		\item Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats
souhaités.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. 
		
Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.
		\item En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
		\item La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
	
	\[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
		
		$2^n \geqslant  n^2$.
		\item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
		
		$0 \leqslant  100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant  \dfrac{100}{n}$.
		\item Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (exercice de spécialité)}}

\bigskip
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\bigskip


Un message peut prendre deux formes : soit \og oui\fg, soit \og non\fg. Il est transmis oralement entre plusieurs intermédiaires. Un intermédiaire transmet la plupart du temps au suivant le message qu'il a entendu, mais il a 10\% de chances de se tromper.

On appelle $p_n$ la probabilité que le message transmis par le $n$\ieme\ intermédiaire est \og oui\fg\ et $q_n$ la probabilité que le message transmis par le $n$\ieme\ intermédiaire est \og non\fg.

On suppose que $p_0=1$ et $q_0=0$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $p_1$ et $q_1$.
	\item Sachant que la situation peut être représentée par une marche aléatoire, donnez sa matrice de transition $M$.
	\item Quelle est la probabilité que le 20\ieme\ intermédiaire entende le message originel ? Commenter.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\bigskip

Une entreprise qui produit des bonbons a beaucoup de mal à écouler son stock de bonbons kaki. 

\noindent Pour s'en débarrasser, elle décide de faire des lots comprenant des bonbons bleus (qui se vendent très bien) et des bonbons kaki. 

\noindent Elle dispose de \numprint{1430} bonbons bleus et de 910 bonbons kaki. 

\noindent Elle souhaite écouler totalement ces deux stocks et faire des lots dont la composition est identique.

\begin{enumerate}
	\item Expliquer pourquoi l'entreprise peut faire $\text{PGCD}(1430;910)$ lots.
	\item Calculer ce nombre et expliquer de quoi sont composés les lots.
	\item D'autres compositions sont possibles, en faire la liste en justifiant que vous avez épuisé toutes les possibilités.
	\item Si l'entreprise disposait d'un stock de \numprint{1430000} bonbons bleus et de \numprint{910000} bonbons kaki, quelle composition de lots pourriez-vous proposer ?
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  	