\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/4}
\lfoot{Devoir sur table \no 3 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
05 décembre 2015-2016}


\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\huge\textbf{\textcolor{red}{TS1-TS2 : devoir sur table commun \no 3 (4 heures)}}
}\end{center}

Il faut traiter les exercices I, II, III et l'exercice IV  (\textbf{en fonction de l'enseignement de spécialité suivi).}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice I}}%Amérique du sud novembre 215

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]en 2010, la population compte $90$~millions de ruraux et $30$~millions de citadins ;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 10\,\% des ruraux émigrent à la ville ;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 5\,\% des citadins émigrent en zone rurale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ;
\item[$\bullet~~$]$v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants.

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.
\end{itemize}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.
\item On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas,
permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B&C\\ \hline
1&$n$		&Population en zone rurale &Population en ville\\ \hline
2&0	&90 		&30\\ \hline
3&1	&82,5 		&37,5\\ \hline
4&2	&76,125 	&43,875\\ \hline
5&3	&70,706 	&49,294\\ \hline
6&4	&66,100 	&53,900\\ \hline
7&5	&62,185 	&57.815\\ \hline
8&6	&58,857 	&61,143\\ \hline
9&7	&56,029 	&63,971\\ \hline
10&8&53,625 	&66,375\\ \hline
11&9&51,581 	&68,419\\ \hline
12&10&49,844 	&70,156\\ \hline
13&11&48,367 	&71,633\\ \hline
14&12&47,112 	&72,888\\ \hline
15&13&46,045 	&73,955\\ \hline
16&14&45,138 	&74,862\\ \hline
17&15&44,368 &75,632\\ \hline
18&16&43,713 &76,287\\ \hline
19&17&43,156 &76,844\\ \hline
20&18&42,682 &77,318\\ \hline
21&19&42,280 &77,720\\ \hline
22&20&41,938 &78,062\\ \hline 
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{m{1cm}}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
59&57 &40,005 &79,995\\ \hline
60&58 &40,004 &79,996\\ \hline
61&59 &40,003 &79,997\\ \hline
62&60 &40,003 &79,997\\ \hline
63&61 &40,002 &79,998\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette
population ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n,\quad  u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$.
		
Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
		\item En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}ø.
\item On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
Entrée :		&$n$ et $u$ sont des nombres\\
Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\
				&$u$ prend la valeur $90$\\
Traitement :	&Tant que $u \geqslant 120 - u$ faire\\
				&\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
				&\hspace{0.75cm}$u$ prend la valeur $0,85 \times u+ 6$\\
				&Fin Tant que\\
Sortie :		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Que fait cet algorithme ?
		\item Quelle valeur affiche-t-il ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II}}%Centres étrangers juin 2012
On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~
\overrightarrow{\text{AB}},~ 
\overrightarrow{\text{AD}},~ 
\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
\medskip
On considère les points I$(1~;~\frac{1}{3}~;~0)$, J$(0,~\frac{2}{3},~1)$, K$\left(\frac{3}{4}~;~0~;~1\right)$ et L$(a~;~1~;~0)$ avec $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psframe(0.3,0.2)(4,4)%ABFE
\psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)%BCGF
\psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)%DH
\uput[dl](0.3,0.2){B} \uput[dr](4,0.2){C} \uput[r](5.4,1.4){D} \uput[ul](1.8,1.3){A} 
\uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.1){H} \uput[u](1.7,5.1){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\textsl{Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.}

\medskip


\textbf{\textcolor{red}{PARTIE A}}

\medskip
\begin{enumerate}
  \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
  \item Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique :
  \[\left\{\begin{array}{l@{\ensuremath{=}}ll}
x   & \frac{3}{4}+ t'\left(a-\frac{3}{4}\right)&\\
y  & t'&\text{avec}\, t' \in 
\mathbb{R}.\\
z & 1-t'&
\end{array}\right.\]
  \item Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si et seulement si $a = \dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE B}}

\medskip

Dans toute la suite de l'exercice, on pose $a=\dfrac{1}{4}$. Le point $L$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;~1~;~0\right)$.

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.
  \item La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.

On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psframe(0.3,0.2)(4,4)
\psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)
\psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)
\uput[dl](0.3,0.2){B} \uput[dr](4,0.2){C} \uput[r](5.4,1.4){D} \uput[ul](1.8,1.3){A} 
\uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.1){H} \uput[u](1.7,5.1){E}
\psdots(1.53,0.2)(0.65,4.28)(4.17,5.1)
\uput[d](1.53,0.2){I}
\uput[ul](0.65,4.28){K}
\uput[d](4.17,5.1){J}
\uput[l](0.3,2.48){M}
\uput[r](5.4,2.88){N}
\uput[r](4.35,0.5){L}
\psline(0.65,4.28)(4.17,5.1)
\psline[linestyle=dashed](0.65,4.28)(0.3,2.48)
\psline(0.3,2.48)(1.53,0.2)
\psline[linestyle=dashed](1.53,0.2)(4.35,0.5)
\psline(5.4,2.88)(4.35,0.5)
\psline[linestyle=dashed](5.4,2.88)(4.17,5.1)
\end{pspicture}
\end{center}

%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
%\clip(-2.5,-1.5) rectangle (4.5,4.5);
%\draw [line width=1pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (0,0)-- (-2,-1);
%\draw [line width=1pt] (-2,-1)-- (2,-1);
%\draw [line width=1pt] (2,-1)-- (4,0);
%\draw [line width=1pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (4,0)-- (0,0);
%\draw [line width=1pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (0,0)-- (0,4);
%\draw [line width=1pt] (0,4)-- (-2,3);
%\draw [line width=1pt] (-2,3)-- (-2,-1);
%\draw [line width=1pt] (-2,3)-- (2,3);
%\draw [line width=1pt] (2,3)-- (4,4);
%\draw [line width=1pt] (4,4)-- (4,0);
%\draw [line width=1pt] (2,3)-- (2,-1);
%\draw [line width=1pt] (0,4)-- (4,4);
%\draw [line width=1pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (-1.5,3.25)-- (-2,2);
%\draw [line width=1pt] (-2,2)-- (-1,-1);
%\draw [line width=1pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (-1,-1)-- (3.5,-0.25);
%\draw [line width=1pt] (3.5,-0.25)-- (4,1);
%\draw [line width=1pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (4,1)-- (3,4);
%\draw [line width=1pt] (3,4)-- (-1.5,3.25);
%\begin{scriptsize}
%\fill [color=black] (0,0) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (0.23,-0.15) node {A};
%\fill [color=black] (-2,-1) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (-2.14,-1.07) node {B};
%\fill [color=black] (2,-1) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (2.13,-1.08) node {C};
%\fill [color=black] (4,0) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (4.18,-0.05) node {D};
%\fill [color=black] (0,4) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (-0.18,4.14) node {E};
%\fill [color=black] (-2,3) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (-2.18,3.08) node {F};
%\fill [color=black] (2,3) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (2.18,2.93) node {G};
%\fill [color=black] (4,4) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (4.15,4.14) node {H};
%\fill [color=black] (-1,-1) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (-1.02,-1.15) node {I};
%\fill [color=black] (3,4) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (3.04,4.2) node {J};
%\fill [color=black] (-1.5,3.25) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (-1.59,3.44) node {K};
%\fill [color=black] (3.5,-0.25) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (3.56,-0.39) node {L};
%\fill [color=black] (-2,2) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (-2.2,1.95) node {M};
%\fill [color=black] (4,1) circle (1.5pt);
%\draw[color=black] (4.2,1.01) node {N};
%\end{scriptsize}
%\end{tikzpicture}
%      \end{center}

\vskip 0.5cm

\emph{Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points $M$ et $N$.}
      \begin{enumerate}
        \item Prouver que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(8~;~9~;~5)$ est un vecteur normal au plan (IJK).
        \item En déduire que le plan (IJK) a pour équation $8x + 9y + 5z- 11 = 0$.
        \item En déduire les coordonnées des points M et N.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice III}}

On considère la fonction fdéfinie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^3-4 }{x^2+1}$. et on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité :1 cm), 


\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Etude d'une fonction auxiliaire}}

\noindent On pose $g(x) = x^3+3x+8$.

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$, et montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude 0,1. 


\item Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. 

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier le sens de variation de $f$.

\item Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $f(x) = ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2 +1}$.

\item En déduire que $\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-x]=0$ et que $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x]=0$.

\item En déduire que $\mathscr{C}$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\Delta$.
 
\noindent Vérifier en particulier que $\mathscr{C}$ rencontre $\Delta$ en un unique point A. 
\end{enumerate}

\item Déterminer les abscisses des points B et B' de $\mathscr{C}$ admettant une tangente parallèle à $\Delta$. 


\item 
Vérifier que $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha$ ; en déduire une valeur approchée de $f(\alpha)$.


%\item Tracer $\Delta$ et $\mathscr{C}$ en plaçant les points A, B et B' , ainsi que les trois points l, J et K d'abscisses respectives 1, 2 et -1, avec leurs tangentes.
%\end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV}}%Amérique du sud novembre 2015
\textbf{À traiter par les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité.}

\bigskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\smallskip

\emph{Il est attribué 1,25 point par réponse exacte correctement justifiée. L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}

\smallskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. Les points A, B, C sont définis par
leurs coordonnées :

\[\text{A}(3~;~-1~;~4),\quad \text{B}(-1~;~2~;~-3),\quad \text{C}(4~;~-1~;~2).\]

Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : \[2x - 3y + 2z - 7 = 0.\]

La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& - 1 + 4t\\
y &=&\phantom{-}  4 - t\\
z &=& - 8 + 2t
\end{array}\right., \:t \in \mathbb{R}.\]

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales.

\bigskip

\textbf{Affirmation 2 :} Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z - 5 = 0$.

\bigskip

\textbf{Affirmation 3 :} Tous les points dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 + \phantom{2}s - 2s'\\
y &=& 1 - 2s + \phantom{2}s'\\
z &=& 1- 4s + 2s'
\end{array}\right., \:
s \in \mathbb{R},\: s' \in  \mathbb{R}$

\noindent appartiennent au plan $\mathcal{P}$.

\bigskip

\textbf{Affirmation 4 :} Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$.
\vspace{4cm}

\columnbreak
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (spécialité)}}
\textbf{À traiter par les élèves  suivant  l'enseignement de spécialité.}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.}

Normalement, en mathématiques, on écrit un nombre en base $10$, avec les chiffres usuels $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ :
\[1546=1\times 10^3+5\times 10^2+4\times 10+6\]
\[681=6\times 10^2+8\times 10+1\]

On peut aussi choisir d'ajouter deux chiffres $\alpha$ et $\beta$ aux dix chiffres usuels. On obtient une nouvelle écriture qu'on appelle écriture en base $12$. Par exemple :

\[\overline{93}^{12} = 9\times 12+3 = 111~\text{en base}~10\]
\[\overline{\beta\alpha 7}^{12} = \beta \times 12^2 + \alpha \times 12 +  7 = 11 \times 12^2 + 10 \times 12 + 7 = 1711~\text{en base}~10\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $N_{1}$ le nombre s'écrivant en base 12 :
		\[N_{1} = \overline{\beta1 \alpha}^{12}\]
Déterminer l'écriture de $N_{1}$ en base 10.
\item   Soit $N_{2}$ le nombre s'écrivant en base 10 :
\[N_{2} = 1131 = 1\times 10^3  + 1\times 10^2 + 3 \times 10
+ 1\]
Déterminer, à l'aide de divisions euclidiennes successives, l'écriture de $N_{2}$ en base $12$.
		
\item  Dans cette question, un entier naturel $N$ s'écrira de manière générale en base 12 : $N = \overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}^{12}$. Démontrer que $N \equiv a_{0}\quad  [3]$. En déduire un critère de divisibilité par $3$ d'un nombre écrit en base 12.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

Deux machines $A$ et $B$ d'une usine on une probabilité de tomber en panne de $0,01$ et de $0,008$ respectivement.
Sachant que la machine $A$ est en panne, la machine $B$ a une probabilité de $0,4$ de tomber en panne.
\begin{enumerate}
	\item Quelle est la probabilité que les deux machines soient en panne ?
	\item Quelle est la probabilité d'avoir au moins une machine qui fonctionne ?
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

\begin{enumerate}
	\item Détaillez le calcul de $A\times B$ si $A=\begin{pmatrix}5 & -2\\-1 &3\end{pmatrix}$ et \\
	$B=\begin{pmatrix}-3 \\ 1\end{pmatrix}$
	\item Déterminer tous les nombres $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}$ tels que $\begin{pmatrix}1 & x\\y & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2x+y\\-4+x^2 & -3\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  