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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 2 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
21 novembre 2015-2016}


\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : devoir sur table commun \no 2 (4 heures)}}\end{center}

Il faut traiter les exercices I, II, III (\textbf{en fonction de l'enseignement de spécialité suivi}) et l'exercice IV.

\subsection*{\textcolor{blue}{I}}%\textcolor{blue}{Métropole septembre 2014}
On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
 
Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		\index{suite} 
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit.
 
Au bout de 15 minutes, on arrête la machine.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$.
 
L algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :		&$n$ est un entier naturel.\\
				&$v$ est un nombre réel.\\ 
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ 
Traitement :	& 	Pour $n$ allant de 1 à 15\\ 
				&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
					Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ 
					Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\
					Afficher $v$.\\
						\end{tabular}\\  
				&Fin de boucle.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
\index{algorithme} 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline
$v_{n}$ &10 
&8 &6,4 &&&&&8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
		\item On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes.
		 
Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
	\end{enumerate} 
\item On programme la machine de façon que :

\begin{itemize}
\item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament, 
\item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament.
\end{itemize}
 
On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$. 

Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		\item En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner ?
		\index{suite}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 



\subsection*{\textcolor{blue}{II}}%\textcolor{blue}{Asie juin 2013}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
On considère la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : 

\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] 
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On considère la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ 	définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :

\[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\]
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c |l|}\hline
 Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline 
Initialisation &Affecter à  $u$ la valeur 2\\ \hline 
\multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à  $n$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\  
&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline 
&FIN POUR\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&1&2& 3\\ \hline 
$u$&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$u$&\footnotesize\numprint{1,0083}&\footnotesize\numprint{0,9973}&\footnotesize\numprint{1,0009}&\footnotesize\numprint{0,9997}&\footnotesize\numprint{1,0001}&\footnotesize \numprint{0,99997}&\footnotesize\numprint{1,00001}&\footnotesize \numprint{0,999996}&\footnotesize \numprint{1,000001}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à  l'infini. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$. 
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$. 
		\item montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.  
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{III}}%\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013} 
\emph{\textbf{\textcolor{red}{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}}}

\bigskip

\emph{Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, \textbf{en justifiant} la bonne réponse.}

\noindent \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.}
%
%\medskip
% 
L'espace est rapporté à  un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.

\bigskip

Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$. 

Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t + 2t'\\
y&=&- t - 2t'\\
z&=&- 1 - t + 3t'
\end{array}\right.$ 

La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t\\
y&=&- t \\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right.$
 
On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une représentation paramétrique du plan (P) est : 

\medskip
\scriptsize{\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t\\y&=& 1- 2t\\ z&=& -1 + 3t \end{array}\right.$&
\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$&
\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 	 
x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$& 
\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
\end{tabularx}} \normalsize

\medskip 	 	 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A$(- 8~;~3~;~2)$. 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. 
		\item La droite (D) est une droite du plan (P). 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
	\end{enumerate}		 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les plans (P) et (S) sont parallèles. 
		\item La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans  (P) et (S). 
		\item Le point M appartient à  l'intersection des plans (P) et (S). 
		\item Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{III (spécialité)}}
\emph{\textbf{\textcolor{red}{Pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité}}}

\bigskip
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.\\Les probabilités seront arrondies au dix millième.}

\textbf{Partie A}

\emph{Les questions de cette partie sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer le reste dans la division euclidienne par $13$ de $100^{2015}$
	\item
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1.
			\item Montrer que tout nombre pair vérifie $x^2=0 [8]$ ou $x^2=4 [8]$.
			\item Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers impairs, déterminer le reste modulo $8$ de $A=a^2+b^2+c^2$.
			\item De même, toujours si $a$, $b$ et $c$ sont impairs, déterminer le reste modulo $8$ de $B=2(ab+bc+ca)$. \emph{Indication :} développer $(a+b+c)^2$.
			\item En déduire que $A$ et $B$ ne sont pas des carrés.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8~h~00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

L'élève part tous les jours à 7~h~40 de son domicile et doit arriver à 8~h~00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $99,4\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement 
\og L'élève se rend au lycée à vélo \fg, $B$ l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg{} et $R$ l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée\fg.
\begin{enumerate}
	\item Traduire la situation par un arbre de probabilités.
	\item Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
	\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $0,0192$
	\item Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{IV}}%\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2013}
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B (1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\overrightarrow{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. 
		\item Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&t\\ 
z &=& 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$. 
		\item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2013}}
%On considère la suite\index{suite} $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel~$n$, 
%
%\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\]
%
%\begin{enumerate}
%\item
%  	\begin{enumerate}
%  		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
%  		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$.
%  	\end{enumerate}
%\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
%  	\begin{enumerate}
%  		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
%  		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
%  	\end{enumerate}
%\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
%  	\begin{enumerate}
%  		\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
%  		\item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
%  		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
%  		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
%  	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2013}}
%L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme 
%
%$u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation  de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }
%
%\medskip
%
%\parbox{5cm}{Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme\index{algorithme} ci-contre.
%
%Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill
%\parbox{7cm}{
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
%Variables&$n$ est un entier naturel \\
%&$u$ est un réel \\
%\hline
%Initialisation &Affecter à  $n$ la valeur 1\\
%&Affecter à  $u$ la valeur 1,5 \\
%\hline
%Traitement &Tant que $n<9 $\\
%&\hspace*{1cm}Affecter à  $u$ la valeur \dots\\ 
%&\hspace*{1cm}Affecter à  $n$ la valeur \dots\\
%%\hline
%&Fin Tant que \\
%\hline
%Sortie&Afficher la variable $u$ \\
%\hline
%\end{tabularx}}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. 
%\item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à  $u_{9}$ ? 
%\item  Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
%\hline
%$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &\numprint{0,2063} &\numprint{0,1693}&\dots&\numprint{0,0102} &\numprint{0,0101} \\
%\hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
%\end{enumerate}
%
%\bigskip
%
%\textbf{Partie B - Étude mathématique}
%
%\medskip
%
%On définit une suite\index{suite} auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 
%
%\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}$.
%\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
%\item Justifier que, pour tout entier $n\geqslant 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.
%
%En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
%\end{enumerate}
%
%\bigskip
%
%\textbf{Partie C - Retour à  l'algorithmique }
%
%En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$. 
%
%
%
%
%\subsection{\textcolor{red}{Géométrie dans l'espace}}
%
%
%
%
%
%\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2913}}
%\textbf{\textcolor{red}{En demandant justifications ?}}
%
%\begin{multicols}{2}
%\textbf{Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$:}
%\\
%$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté 1.\\
%On appelle $\mathcal{P}$ le plan $(AFH)$.\\
%Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$,\\
%le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$,\\
%le point $K$ est le milieu du segment $[HF]$,\\
%le point $L$ est le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $\mathcal{P}$.
%
%\smallskip
%
%\begin{center}
%
%\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture}(0,0)(8,7)
%\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=white,hatchcolor=lightgray,fillstyle=hlines,hatchangle=75.0,hatchsep=0.1](1,1)(5.04,5.26)(3.32,6.58)
%\psline(1,1)(5.04,1.26)
%\psline(5.04,1.26)(7.36,2.84)
%\psline[linestyle=dashed](7.36,2.84)(3.32,2.58)
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%\psline(1,1)(1,5)
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%\psline(3.32,6.58)(7.36,6.84)
%\psline(3.32,6.58)(1,5)
%\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(3.32,6.58)
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%\psline(5.04,5.26)(1,1)
%\psline[linestyle=dashed](1,1)(3.32,6.58)
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%\psline[linestyle=dashed](1,5)(7.36,2.84)
%\psline[linestyle=dashed](6.2,2.05)(1,3)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1)
%\rput[bl](0.72,0.66){$A$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,1.26)
%\rput[bl](5.1,1){$B$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,2.58)
%\rput[bl](3.4,2.7){$D$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,5)
%\rput[bl](0.74,5.12){$E$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,2.84)
%\rput[bl](7.54,2.7){$C$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,5.26)
%\rput[bl](5.24,5){$F$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,6.58)
%\rput[bl](3.12,6.8){$H$}
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%\rput[bl](0.7,3.02){$I$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.2,2.05)
%\rput[bl](6.4,1.7){$J$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.18,5.92)
%\rput[bl](4.26,5.96){$K$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.12,4.28)
%\rput[bl](3.06,4.46){$L$}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture}
%
%\end{center}
%
%\end{multicols}
%
%\medskip
%
%\emph{Ceci est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à  la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.}
%
%\begin{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
%		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
%		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
%		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
%	\end{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  0.
%		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  $(-1)$.
%		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  1.
%		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  2.
%	\end{enumerate}
%\item Dans le repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$:
%	\begin{enumerate}
%		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z - 1=0$.
%		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
%		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
%		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y - z = 0$.
%	\end{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item $\overrightarrow{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
%		\item $\overrightarrow{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
%		\item $\overrightarrow{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
%		\item $\overrightarrow{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
%	\end{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item $\overrightarrow{AL}=\frac12\overrightarrow{AH} + \frac12\overrightarrow{AF}$.
%		\item $\overrightarrow{AL}=\frac13\overrightarrow{AK}$.
%		\item $\overrightarrow{ID}=\frac12\overrightarrow{IJ}$.
%		\item $\overrightarrow{AL}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}+\frac23\overrightarrow{AE}$.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2013}}
%\emph{Les quatre questions sont indépendantes.}
% 
%\emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}
%\medskip
%
%Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère 
%\begin{itemize}
%\item les points A $(12~;~0~;~0)$, B $( 0~;~-15~;~0)$, C $( 0~;~0~;~20)$, D $(2~;~7~;~- 6)$, E $(7~;~3~;~-3)$;
%\item le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x + y - 2z - 5 = 0 $
%\end{itemize}
%
%\bigskip
%
%\textbf{Affirmation 1}
%
%Une équation cartésienne du plan parallèle à  $\mathscr{P}$ et passant par le point A est :
% 
%\[2x + y + 2z - 24 = 0\]
%
%\textbf{Affirmation 2}
%
%Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\{\begin{array}{*{3}{l}}x&=&9 - 3t\\y&=&0\\
%z&=&5 + 5t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$.
%
%\textbf{Affirmation 3}
%
%La droite (DE) et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun.
%
%\textbf{Affirmation 4}
%
%La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).

\label{fin}
\end{document}  