\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Devoir sur table \no 1 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
17 octobre 2015-2016}

\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 1 (3 heures)}}\end{center}

%Exo 2 Pondichery 17 avril 2015
%Exo 3 Amérique du Sud nov 2014
%Exo 4 nouvelle caledonie nov 2014
%Exo 3 métropole sept 2014.

\subsection{}%\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2014}
On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :\index{suite} 

\[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad  u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\]


\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conjecture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$. 
\item Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. 
\item Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{3cm}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B: Validation des conjectures}}

\medskip 

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n - 3$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ \[v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2.\]
 
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \[ -1 \leqslant  v_n \leqslant 0.\] 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\[ v_{n+1} - v_n = - v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n  + 1\right).\]
		 
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ? 
\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. 

On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1~;~0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. 

Déterminer la valeur de $\ell$. 
\item Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ? 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}%\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie novembre 2014}
		\label{courbe}
		\label{algorithme}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\] 

On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 

On a tracé en \textbf{annexe 1}  dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution. 

On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.\index{suite} 

Sur la figure de \textbf{annexe 1}, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $M_0, M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0,\: u_1$ et $u_2$. 

Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$,
		
		 \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\] 

où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2. 
		\item Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par 

\[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $S_0, \:S_1$ et $S_2$.
		
		\noindent Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près. 
		\item Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe 2}  pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur. 

		\item Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}%\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2015}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier tenue $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation

\[u_{n+1} = au_n + b\quad  (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne  1).\]

On pose, pour tout entier naturel $n,\quad  v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.
\item En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$.
\end{enumerate}

\vspace{3cm}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80~cm. On lui conseille de la tailler tous
les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30~cm
au cours des douze mois suivants.

Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\quad  h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
		\item Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$.
		
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
		\item La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Feuille à rendre avec la copie}}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Annexe 1  l'exercice \ref{courbe}}}

\bigskip 


\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psline(7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=1pt,gridlabels=0](-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{center}

\bigskip

\textcolor{blue}{Annexe 2  de l'exercice \ref{algorithme}}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}

 %%% <= terminer le paragraphe
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Entrée :}&$n$ un entier naturel \\
\textbf{Variables :}		&$u$ et $s$ sont des variables réelles\\ 
							&$n$ et $i$ sont des variables entières\\
\textbf{Initialisation :}	& $u$ prend la valeur 1 \\
							&$s$ prend la valeur $u$ \\
							&$i$ prend la valeur 0\\ 
							&Demander la valeur de $n$ \\
\textbf{Traitement :}& Tant que \ldots\\ 
							&Affecter à $i$ la valeur $i + 1$\\
							&Affecter à $u$ la valeur \ldots\\ 
							&Affecter à $s$ la valeur \ldots\\ 
							&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie :}			&Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  