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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2	}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 5}}\end{center}
\fbox{ \og{}La mathématique est une science dangereuse : elle dévoile les supercheries et les erreurs de calcul.\fg{} [Galilée]}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Amérique du Nord mai 2012
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$
telle que : $z' = z^2$.

On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan  tels que $f(M) = M$.
\item Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}- \text{i}\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
		\item En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$  tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
\item Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
  $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
  triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle
    $\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et
    seulement si $z^2 - \text{i}z -1 + \text{i} = 0$ et $z \not= 1$.
		\item Montrer que $z^2 - \text{i} z - 1 + \text{i} = (z - 1)(z + 1-\text{i})$.
		\item En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et de $1$.
	\begin{enumerate}
	\item Exprimer $\left ( \overrightarrow{\text{O}M\vphantom{'}},\overrightarrow{\text{O}M'}\right)$ en fonction
    d'un argument de $z$.
	\item En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de O et de $\Omega$ tels que O, $M$ et $M'$ soient alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

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\subsection{\textcolor{blue}{Équation du second degré à coefficients complexes}}
Nous avons vu comment résoudre (dans $\mathbb{C}$) une équation du second degré à coefficients réels.\\
Comment faire si l'équation est à coefficients complexes ?\\
Voici la démarche expliquée sur un exemple.\\\\
On considère l'équation (E) : $\mathrm{i}z^2-2z+4\mathrm{i}+12=0$.
\begin{enumerate}
\item En factorisant par $\mathrm{i}$, donner la forme canonique de $f(z)=\mathrm{i}z^2-2z+4\mathrm{i}+12$.

\item Pour pouvoir continuer la factorisation, on souhaite trouver un nombre complexe de la forme $a+\mathrm{i}b$, $a$ et $b$ réels, tel que $(a+\mathrm{i}b)^2=-5+12\mathrm{i}$.
\begin{enumerate}
\item Développer $(a+\mathrm{i}b)^2$ et en déduire que trouver les réels $a$ et $b$ tels que $(a+\mathrm{i}b)^2=-5+12\mathrm{i}$ équivaut à résoudre le système (S) $\left\{\begin{array}{l}a^2-b^2=-5\\2ab=12\end{array}\right.$

\item Résoudre ce système et en déduire un couple solution.
\end{enumerate}

\item En déduire une factorisation de la forme canonique, puis la résolution de l'équation (E).
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Quand boire sa tasse de café ?}}
On souhaite étudier la loi de refroidissement d'une tasse de café chaud.

On suppose que la température ambiante de la pièce dans laquelle se trouve le café est constante et égale à 20~\degre  C.\\ 
On note $f(t)$ la température (en \degre C) du café à l'instant $t$ (en min).\\
Ainsi, $f'(t)$ représente la vitesse de refroidissement à l'instant $t$ (ou taux de perte de chaleur).\\
La loi de refroidissement, énoncée par Sir Isaac Newton est : \og{} La vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant \fg.\\ 
Ici, on estime que cette loi aboutit à la condition  (E) : \[\text{(E)} : f'(t) = -0,2 [f(t) - 20].\] 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(t)=k\mathrm{e}^{-0,2t}+20$, $k\in\mathbb{R}$.

\noindent Montrer que $f$ vérifie la condition (E).

\noindent On admet que toutes les fonctions vérifiant cette relation (E) sont les fonctions $f$ définies par :\[f(t)=k\mathrm{e}^{-0,2t}+20,~k\in\mathbb{R}.\]


\item Sachant qu'à l'instant $t = 0$, le café a une température initiale de 80 \degre C en le versant dans la tasse, vérifier que, au bout de $t$ minutes, la température du café est \[f(t) = 60\mathrm{e}^{-0,2t} + 20.\] 

\item Quelle est la température du café au bout de 5 minutes ? 

\item Vérifier que la température du café diminue au fil du temps, et indiquer la température \og{} limite\fg{} du café à long terme. 

\item Quelqu'un souhaite boire son café à une température de 40 \degre C. Combien de temps doit-il attendre ?
\end{enumerate}
\subsection{}%Amérique du Nord mai 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A : restitution organisée des connaissances}}

On rappelle que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^t}{t} = + \infty$.

Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x -
\frac{\ln(x)}{x}.\] 

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[g(x) =  x^2
  -1 + \ln(x).\]

Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1~;~+ \infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $[1~;~+ \infty[$, \[f^{\prime}(x) =
    \frac{g(x)}{x^2}\].
    
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
		
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$.
		\item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Centres étrangers juin 2012
On considère l'équation $(E)$ d'inconnue $x$ réelle :

\[\text{e}^{x} = 3\left(x^2 + x^3\right)\]

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE A : conjecture graphique}}

\medskip

 Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\left(x^2 + x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

\medskip

%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
%\draw[->,color=black] (-6.2,0) -- (3,0);
%\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2}
%\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
%\draw[->,color=black] (0,-5.2) -- (0,6.2);
%\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
%\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
%\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
%\clip(-6.2,-5.2) rectangle (3,6.2);
%\draw[line width=1pt, smooth,samples=100,domain=-6.2:3.0] plot(\x,{3*(\x)^2+2.9*(\x)^3)});
%\draw[line width=1pt,smooth,samples=100,domain=-6.0:3.0] plot(\x,{exp(1.1*(\x))});
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
\begin{center}
\psset{unit=0.9,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $(E)$ et leur encadrement par deux entiers consécutifs.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE B : étude de la validité de la conjecture graphique}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
          \item Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2 + x^3$.
          \item En déduire que l'équation $(E)$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.
          \item Vérifier que $0$ n'est pas solution de l'équation $(E)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel $x$ de $]-1~;,~0[~\cup~ ]0~;~+\infty[$ par :
  
      \[h(x)=\ln 3 + \ln\left(x^2\right)+\ln(1 + x) - x.\]
      Montrer que, sur $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, l'équation $(E)$ est équivalente à l'équation $h(x) = 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
          \item Montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, on a : \[h^{\prime}(x)=\frac{-x^2+2x+2}{x(x+1)}\]
          \item Déterminer les variations de la fonction $h$.
          \item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
	\end{enumerate}
\item Conclure quant à la conjecture de la \textbf{partie A}.
\end{enumerate}










\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  