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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Nouvelle-Calédonie mars 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A :} }

\medskip

On considère le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{C}$ par 
\[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation $P(z) = 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que \[P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right).\] 
		\item En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B :}}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 2~cm pour unité graphique.
 
On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives : 
\[z_{\text{A}}  = 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 - \text{i},\quad  z_{\text{J}} = \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\:\: z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}.\] 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. 
\item Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à $- \sqrt{2}$. 
\item Montrer que les points A, B,  J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 1 + \text{i}$. On considère !a rotation $r$ de centre O qui transforme J en D. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$.
		
\noindent \emph{on remarquera qu'il s'agit de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OJ}}~;~\overrightarrow{\text{OD}}\right)$ qui est un argument du nombre complexe $\dfrac{z_D}{z_J}$, donc de $\arg\left(z_D\right)-\arg\left(z_J\right)$.}

		\item Soit C l'image du point L par la rotation $r$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{O}}}{z_{\text{L}} - z_{\text{O}}} =  \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

\item Déterminer l'affixe du point C. 
\end{enumerate}

	\end{enumerate} 
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\subsection{}%Pondichéry avril 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A \quad Restitution organisée de connaissances}}


\medskip
 
Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$.
 
Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$.

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B : \quad Étude d'une transformation particulière }}

\medskip
 
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$.
 
Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: 

\[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\] 
 
\begin{enumerate}
\item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné à la fin de l'exercice. 
		\item Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. 		
		\item Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés.
		
		\noindent Indication : on rappelle que si A, B et C sont trois points d'affixes $z_A$, $z_B$ et $z_C$, $\arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right)=\left(\overrightarrow{\text{AC}}~;~\overrightarrow{\text{AB}}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer et représenter sur la figure donnée à la fin de l'exercice l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$. 
\item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.  
\item Montrer que, pour tout nombre complexe \\
$z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. 

Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$  ? 
\item On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$. 
\end{enumerate}
\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\pscircle(0,0){2}
\uput[d](1,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,1){$\overrightarrow{v}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](-175,-1){$\mathcal{C}$}
\psdots(-1,-0.3)\uput[r](-1,-0.3){D}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}%Liban mai 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

On considère l'algorithme suivant :

Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Entrée}

Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\

\noindent \textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\

\noindent Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Fin pour\\

\noindent \textbf{Sortie}\\
\noindent Afficher $U$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip

Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout \\
		$n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?
		
On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
		\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
		\item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ , on ait $u_n\geqslant 10^p$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Nouvelle-Calédonie novembre 2013
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\] 
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} 
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur 
		$[0~;~ +\infty[$ par 
		
		\[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\]
		 
Étudier le sens de variation de la fonction $g$. 
		\item Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à  $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
		 
Démontrer que $a$ appartient à  l'intervalle [0,703~;~0,704[. 
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		 
Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
		\item Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel 
		
$m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$. 
		\item Justifier que $3,43 < m < 3,45$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  