\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille\no 2}}\end{center}

\emph{La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques. \fg{} (Blaise Pascal)}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, \[1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.\]

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ construite ainsi :

\noindent $u_1=0,1$~;~$u_2=0,12$~;~$u_3=0,123$, $u_4=0,1234$~;~\dots ~;~

\noindent $u_{10}=\numprint{0,12345678910}$~;~etc.

\noindent $u_n$ est obtenu en mettant bout à bout après la virgule les écritures décimales des entiers de 1 à $n$.
\begin{enumerate}
\item 
Quel serait le nombre $u_{11}$ ?

\item Expliquer pourquoi cette suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\end{enumerate}

\subsection{}
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses ; justifier ou donner un contre-exemple.

\noindent $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont des suites réelles.
\begin{enumerate}
\item 
On suppose que $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont des suites à termes positifs et que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_n+v_n\right)=+\infty$

\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$, si $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty$ et si $v_n>u_n$ à partir d'un certain rang, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=0$.

\item On suppose que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1$. Alors, les termes $u_n$ sont tous positifs à partir d'un certain rang.

\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_n-v_n\right)=0$, alors $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ convergent toutes deux et ce vers la même limite.
\end{enumerate}

%\subsection{}
%%voir http://jgaltier.free.fr/Terminale_S/Suites_2002-2003.pdf
% On définit la suite  $\left(u_n\right)$  par  $u_0=\numprint{2000}$ et 
% 
% \noindent $u_{n+1}=\dfrac{3}{4}u_n+200$
% 
%\begin{enumerate}
%\item Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équations respectives  $y=x$  et   
%
%\noindent $y=\dfrac{3}{4}x+200$ , puis  les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
%
%\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-800$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
%
%\noindent Montrer que la suite $\left(v_n\right)$  est géométrique.
%
%\noindent En déduire l’expression de  $v_n$  en fonction de  $n$, puis celle de $u_n$.
%
%\item En déduire la limite de  $\left(u_n\right)$. 
%
%\item À partir de quel rang $n$ a-t-on  $u_n<810$  ?
%
%\item Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis,  se plaint à sa dulcinée : \og{}Voyez-vous, mademoiselle  Jeanne,  tous  les  jours  je  sais  traiter  le  quart de  mon  courrier  en  retard,  mais  il  m’arrive  200  lettres  de plus  chaque  matin\fg{}.  
%
%\noindent \og{}Monsieur  Gaston,  vous  arriverez  bien  à  trouver  une  solution,  vous  êtes  si  intelligent\dots\fg{}
%
%\noindent Oui,  mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y avait \numprint{2000} lettres sur le bureau de notre héros ? 
%
%\item La question a) est indépendante de ce qui précède  
%
%\begin{enumerate}
%\item   Si $\left(x_n\right)$ est une suite croissante, on définit la suite $\left(y_n\right)$  par  $y_n=\dfrac{x_0+x_1+x_2+\cdots+y_n}{n+1}$.
%
%\noindent Montrer que  $\left(y_n\right)$ est croissante et  que pour tout  $n$  on a :  $y_n\leqslant x_n$.
%
%\noindent Que peut-on dire pour une suite  $\left(x_n\right)$ décroissante (on ne justifiera pas ses  affirmations).
%
%\item On  appelle  n $M_n$ la  quantité  de  lettres  qu’il  y  eu  en  moyenne  sur  le   bureau  de  Gaston  pendant  les  n premiers jours (en comptant comme jour 0 le soir où  il y avait \numprint{2000} lettres). Exprimer  $M_n$  en fonction  de  $n$. 
%
%\noindent Quel est le sens de variation de $\left(M_n\right)$ . La suite  $\left(M_n\right)$  est-elle convergente ?  
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles-Guyane septembre 2010
Répondre par VRAI ou FAUX aux questions suivantes en  justifiant .

\noindent On considère la suite  $\left(u_n\right)$  définie par  $u_0=0$, $u_1=1$  et, pour tout  $n$   de  $\mathbb{N}$ , $u_{n+2}=\dfrac{1}{3}u_{n+1}+\dfrac{2}{3}u_n$.

\noindent On définit les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel  $n$   par  $v_n=u_{n+1}-u_n$ et $w_n=u_{n+1}+\dfrac{2}{3}u_n$.

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(v_n\right)$  est arithmétique.

\item La suite  $\left(w_n\right)$  est constante.

\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on a : $u_n=\dfrac{3}{5}\left(w_n-v_n\right)$.

\item La suite  $\left(u_n\right)$  n’a pas de limite finie.   
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 

$u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,\\
u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.$
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
 
\[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$. 
		\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
		\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 

\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_{0}$. 
		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. 
		\item En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N},\\ w_{n+1} = w_{n} + 2$. 
		\item Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$

\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}.\] 
 
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : 

\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Légende de l'échiquier}}
Selon une légende, un roi demanda à l’homme qui
a créé le jeu d’échecs : \og{}Que voulez-vous comme
récompense pour votre invention ?\fg{} L’homme
réfléchit un instant, puis répondit : \og{}Mon roi,
donnez-moi un grain de blé sur la première case,
deux grains sur la deuxième case, quatre sur la
troisième case, huit sur la quatrième et ainsi de
suite jusqu’à ce que toutes les cases du jeu soit
rempli.\fg{}.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre exact de grains de blé qu'il faudrait mettre sur échiquier, puis en donner une approximation.

\item On considère que 1000 grains ont une masse de 43 g. En déduire la masse en Kg que représenteraient les grains sur l'échiquier.
%http://www.fao.org/Wairdocs/X5163F/X5163f02.htm

\item La production mondiale de blé en 2013 fut de 653 millions de tonnes. Comparer la masse de grains de blé sur l'échiquier à cette production mondiale.

\noindent Que peut-on en conclure ?
%http://www.planetoscope.com/cereales/191-production-mondiale-de-ble.html

\item Un grain de blé occupe un volume d'environ 20 mm$^3$. Quel volume, en m$^3$, serait occupé par le blé placé sur l'échiquier ?

\item Imaginons qu'on entrepose ce blé dans un silo à base carrée de 100 m de côté. Quelle devrait être la hauteur de ce silo ?
%http://denisfeldmann.fr/grands.htm#22
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par \[u_0=0\text{ et }u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}.\]
\begin{enumerate}

\item Calculer $u_1$ et $u_2$.

\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$.

\noindent Montrer qua le suite $\left(v_n\right)$ est géométrique ;  on en donnera le premier terme et la raison.

\item Exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.

\item En utilisant la relation exprimant $v_n$ en fonction de $u_n$, exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.

\item En déduire $u_n$ en fonction de $n$.

\noindent Vérifier que l'on retrouve les valeurs de $u_1$ et $u_2$ calculées à la première question.

\item Déterminer la limite de $v_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

\noindent En déduire la limite de $u_n$.
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Exercice facultatif (pas facile)}}
%Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels. $(c\neq 0)$.
%
%\noindent On définit la suite $\left(u_n\right)$ par : \[u_0\in\mathbb{R}\text{ et }u_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d}.\]
%et on suppose que, pour tout $,n$, $cu_n+d\neq 0$.
%
%\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$ par \[f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que si $ad-bc=0$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est 
%constante à partir du rang 1.
% 
%\noindent \textbf{On suppose désormais: }$\mathbf{ad - bc\neq 0.}$
%
%\item Interpréter graphiquement les solutions de l'équation :
%\[x=\dfrac{ax+b}{cx+d}~\text{(E)}.\] 
%
%\item Montrer que (E) est équivalente à une équation du second degré dont le discriminant $\Delta$ vaut : $\Delta=(d+a)^2-4(ad-bc)$.
%
%\textbf{Étude des cas $\mathbf{\Delta=0}\text{ et }\mathbf{\Delta>0}$}. 
%
%
%\begin{enumerate}
%\item On suppose $\mathbf{\Delta= 0}$ et on note $\gamma$ (gamma) l'unique solution de (E).
%
%\noindent 	Soit $u_0\neq\gamma$. On pose $v_n =\dfrac{1}{u_n-\gamma}$ . 
%
%Montrer que $\left(v_n\right)$ est définie et arithmétique de 
%raison $r=\dfrac{2c}{a+d}$.
%
%\item On suppose $\mathbf{\Delta>0}$. On note $\alpha$ et $\beta$ les solutions distinctes (E).
%
%\noindent Soit $u_0\notin\{\alpha~;~\beta\}$.
%
%\noindent On pose $v_n =\dfrac{u_n -\alpha}{u_n -\beta}$. 
%, 
%\noindent Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est définie et géométrique de raison $q=\dfrac{c\beta+d}{c\alpha+d}$.
%\end{enumerate}
%
%\item on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $\left\{\begin{array}{l}u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}\end{array}\right.$.
%
%\noindent Montrer que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1$.
%
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nombre d'or et suite de Fibonacci}}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ de Fibonacci définie par $u_0=1$, $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.

\noindent On pose $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item 
Vérifier que $\phi^2=\phi+1$.

\item En déduire une expression de $\phi^n$ sous la forme $a_n\phi+b_n$ où $a_n$ et $b_n$ sont des entiers pour $n=3$, $n=4$ et $n=5$.

\item Démontrer que, pour tout $n$, il existe des nombre $a_n$ et $b_n$  tels que $\phi^n=a_n\phi+b_n$.

\item Établir des relations de récurrences donnant permettant de calculer les nombres $a_n$ et $b_n$.

\item Proposer un algorithme qui permette d'afficher les valeurs de $a_n$ et de $b_n$ pour un rang $n$ choisi par l'utilisateur.

\end{enumerate}


\end{multicols}



 \label{fin} 
 \end{document}  