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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle (récurrence et suites)}\\\footnotesize{\textcolor{red}{2 heures}}}\end{center}



%\subsection{}
%%http://jgaltier.free.fr/Terminale_S/Suites_2002-2003.pdf
%Monsieur De Mesmaeker, grand patron bruxellois, propose à ses nouveaux employés les deux contrats suivants : dans tous les cas un salaire initial de \numprint{1500} \euro{} pour le premier mois, augmenté de 5 \euro{} chaque mois (contrat 1), ou augmenté de 0,3\:\% tous les mois (contrat 2).
%\begin{enumerate}
%\item  Soient $u_n$ et  $v_n$ les salaires respectifs pour chaque contrat le $n$\ieme{} mois.
%
%\noindent Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
%
%\item Quel salaire gagnerait-on pour chaque contrat après un an passé dans l’entreprise ?
%
%\item Comparer la totalité des sommes gagnée par quelqu’un qui resterait pendant 40 ans dans l’entreprise.
%\end{enumerate}

\subsection{(\textcolor{blue}{3 points})}
Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4^n-1$ est divisible par 3.



\subsection{(\textcolor{blue}{3 points})}
%http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/ctrle_2012_2013/02_ctrle_recurrencel_limite_suites_18_10_2012.pdf
On donne la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ , par : $\left\{\begin{array}{l}t _0 = 0\\t_{ n + 1} = t_ n + \dfrac{1}{ ( n + 1)( n + 2)}\end{array}\right.$.

\noindent Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n$ , on a : $t_n=\dfrac{n}{n+1}$.

\subsection{(\textcolor{blue}{4 points})}
On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout $n\geqslant 1$ : $nw_{n}=(n+1)w_{n-1}+1.$\\
\noindent Ce tableau donne les dix premiers termes de la suite :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\
\hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$.

\item Conjecturer la nature de la suite ; en déduire une conjecture sur l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.

\item Démontrer cette conjecture.

\item En déduire la valeur de $w_{\numprint{2000}}$.
\end{enumerate}



%\subsection{}
%Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^2+n$ est un multiple de 2.

\subsection{(\textcolor{blue}{5 points})}
%http://www.mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/DM-maths-suite-recurrence-terminale-s.pdf\tableau{}{}{}{}{}{}{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n +1} = u_n + 2 n + 3$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. 

\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_n > n^2$.

\item Démontrer que la suite $\left(n^2\right)$ n'est pas majorée.

\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

\item Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$.

\item Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Démontrer par récurrence que cette expression est valable pour tout entier naturel $n$ . 
\end{enumerate}

\subsection{(\textcolor{blue}{5 points})}
On considère la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_0=3\\u_{n+1}=\dfrac{2}{1+u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{array}\right.$.

\noindent On admet que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant u_n\leqslant 3$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}$.

\noindent Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique ; on précisera la raison et le premier terme de cette suite.

\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

\item À partir de la définition de $v_n$, montrer que, pour tout $n$, $u_n=\dfrac{-2v_n-1}{v_n-1}$.

\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\end{enumerate}


%\subsection{}
%On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{0}$ et la relation de récurrence : \[u_{n+l} = \dfrac{1}{3}u_{n} + 2\text{, pour tout entier naturel } n.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Que peut-on dire de la suite $\left(u_{n}\right)$ lorsque $u_{0} = 3$ ?
%
%\item On suppose à présent que $u_{0} \neq 3$.\\
%Soit $(v_{n})$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : \[v_{n} = u_{n} -3\]
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$.
%
%\item En déduire alors les expressions de $v_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction de $n$ et de $u_{0}$.
%
%%\item En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente et déterminer sa limite.
%\end{enumerate}
%
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item On note $S_{n} = \sum_{i=0}^nu_{i} = u_{0} + u_{l} + u_{2} +\cdots + u_{n}$.\\
%Calculer $S'_{n} =\sum_{i=0}^nv_{i} = v_{0} +v_{l} +\cdots+v_{n}$ en fonction de $n$ puis en déduire l'expression de $S_{n}$ en fonction de $n$.
%
%%\item Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}$.
%
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document} 