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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Contrôle commun \no  3 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
10 janvier 2015}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 3 (4 heures)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Q.C.M. (5 points)}}
Pour toutes les questions, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ ; $z_A$ désigne l’affixe d’un point $A$, et $z_B$ désigne l’affixe d’un point B.

\noindent Pour chaque question, il n'y a qu'une seule bonne réponse. Donner celle-ci et \textbf{justifier} votre choix.
\begin{alterqcm}[long]
\AQquestion{Si $z=4+3\mathrm{i}$, alors}{{$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\mathrm{i}$},{$\dfrac{1}{z}=4-3\mathrm{i}$},{$\dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{25}-\dfrac{3}{25}\mathrm{i}$}}
\AQquestion{Si $Z=\dfrac{4-\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}$, alors $Z$ est égal à}{{$\dfrac{2-9\mathrm{i}}{5}$},{$\dfrac{2-9\mathrm{i}}{-3}$},{$\dfrac{6+7\mathrm{i}}{5}$}}


\AQquestion{Le conjugué de $Z=\dfrac{1-z}{1+\mathrm{i}}$, où $z\in\mathbb{C}$, est égal à}{
{$\dfrac{1-\overline{z}}{1-\mathrm{i}}$},{$\dfrac{1+\overline{z}}{1+\mathrm{i}}$},{$\dfrac{1+z}{1+\mathrm{i}}$}}

\AQquestion{Un argument de $z=-3\left(\dfrac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{\mathrm{i}}\right)$ est égal à}{{$\dfrac{7\pi}{6}$},{$\dfrac{\pi}{6}$},{$\dfrac{5\pi}{6}$}}
\newpage
\AQquestion{On sait que $\arg(z)=\dfrac{\pi}{3}$ et que $z'=-7$ ; alors :}{{$\arg\left(zz'\right)=\dfrac{\pi}{3}$},{$\arg\left(zz'\right)=-\dfrac{2\pi}{3}$},{$\arg\left(zz'\right)=-\dfrac{\pi}{3}$}}

\AQquestion{Soit $n$ un entier naturel. Le nombre
$(1+\mathrm{i}\sqrt{3})^n$ est réel si, et seulement si,}{{$n$ est pair},{$n$ est un multiple de 3},{jamais}}

\AQquestion{On sait que $z_A=-3$ et que $z_B=2\mathrm{i}$ ; alors AB est égal à }{{5},{$\sqrt{13}$},{$3+2\mathrm{i}$}}

\AQquestion{Si $z_A=1-3\sqrt{3}$ et $z_B=1-3\mathrm{i}$, alors l'angle $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{AB} \right)$ a pour mesure }{{$\dfrac{5\pi}{6}$},{$-\dfrac{\pi}{6}$},{$\dfrac{\pi}{2}$}}

\AQquestion{L’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tel que $\vert  z– 1 \vert  = \vert z + \mathrm{i} \vert $ est la droite d’équation : }{{$y=x$},{$y=x-1$},{$y=-x$}}

\AQquestion{L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $\arg\left(\dfrac{z+2}{z-2\mathrm{i}}\right)=\dfrac{\pi}{2}~[\pi]$ est inclus dans :}{{la droite d'équation $y=x+2$},{le cercle de centre $I$ d'affixe $1-\mathrm{i}$ et de rayon $\sqrt{2}$},{la médiatrice du segment $[AB]$ où $A$ est le point d'affixe -2 et $B$ celui d'affixe $2\mathrm{i}$
}}
\end{alterqcm}

\newpage
\subsection{ \textcolor{blue}{(5 points)}}%\textcolor{blue}{Pondichéry mai 2001}
\emph{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}
On considère l'application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de 1, associe le nombre complexe 

\[f(z) = \frac{2 - \text{i}z}{1 - z}.\] 

L'exercice étudie quelques propriétés de $f$. 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ d'unité 
graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions \textbf{1.} et \textbf{2.}. 

A est le point d'affixe 1 et B celui d'affixe $- 2$i. 

\begin{enumerate} 
\item On pose $z =x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels. 

\noindent Montrer que $f(z)=\dfrac{-2x+y+2}{(1-x)^2+(-y)^2}+\mathrm{i}\dfrac{x^2-x+y^2+2y}{(1-x)^2+(-y)^2}$ .

\noindent En déduire l'ensemble des points $M$ 
d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un réel et représenter cet ensemble. 

\item On pose $z'=f(z).$ 

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que i n'a pas d'antécédent par $f$ et exprimer, pour 
$z'$ différent de i, $z$ en fonction de $z'$. 

		\item $M$ est le point d'affixe $z$ ($z$ différent de 1) et $M'$ celui d'affixe $z'$ ($z'$ différent de i). 

Montrer que O$M=\frac{\displaystyle{M'\text{C}}}{\displaystyle{M'\text{D}}}$ où C  et D sont les points d'affixes respectives 2 et i. 

		\item Montrer que, lorsque le point $M$ décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image $M'$ appartient à une droite fixe que l'on définira géométriquement. 

		\item Montrer que, si $M$ est un point de l'axe des réels, différent de O et de 
A, alors $M'$ appartient à la droite (CD). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\subsection*{ \textcolor{blue}{II (5 points)}}
 \emph{Pour les élèves  suivant  l'enseignement de spécialité}

\noindent \textbf{Partie A :}\\

\noindent À chaque lettre de l'alphabet, on associe , grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Lettre&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\
\hline
Nombre&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
\hline
Lettre&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
Nombre&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
On définit un procédé de codage de la façon suivante :

\begin{enumerate}[Étape 1 :]
\item À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.

\item On calcule le reste de la division euclidienne de $9m+5$ par 26 et on le note $p$.

\item Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Coder la lettre U.

\item Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x\equiv 1~[26]$.

\item Démontrer alors l'équivalence \[9m+5\equiv p~[26]\Leftrightarrow m=3p-15~[26].\]

\item Décoder alors la lettre B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\bigskip
\noindent On considère l'ensemble des matrices à deux lignes et deux colonnes.\\

\noindent On appelle matrice identité la matrice $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier, en détaillant le calcul, que, pour toute matrice $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, on a : $I\times M=M$.

\item On appelle matrice inverse la matrice $M^{-1}$ définie par $M^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

\noindent Montrer, en détaillant le calcul, que $M\times M^{-1}=I$.

\item À quelle condition peut-on calculer $M^{-1}$ ?

\item Application : calculer $M^{-1}$, inverse de la matrice $M=\begin{pmatrix}4&5\\2&3\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2004}
\noindent On définit les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ par $a_0 =1,~ 
b_0 =7$ et $\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}& =&\cfrac{1}{3}\left(2a_n +b_n\right)\\
b_{n+1}& =&\cfrac{1}{3}\left(a_n +2b_n\right)\\
\end{array}\right.$

\noindent Soit D une droite munie d'un repère 
$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath}\right)$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère
 les points $A_n$ et $B_n$ d'abscisses respectives $a_n$ et $b_n$.


\begin{enumerate}
\item Placez les points A$_0$, B$_0$, A$_1$, B$_1$, A$_2$ et B$_2$.

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n = b_n - a_n$ pour  tout $n \in \mathbb{N}$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrez que $\left(u_n\right)$ est une
suite géométrique  dont on précisera la raison et le premier terme.

\item Exprimez $u_n$ en fonction de $n$.

\item Calculez $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$.

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Comparez $a_n$ et $b_n$. 

\item Étudiez le sens de variation des suites $\left(a_n\right)$
 et $\left(b_n\right)$. Interprétez géométriquement ces résultats.


\item Démontrez que la suite $\left(a_n\right)$ est majorée. Que peut-on en conclure ?

\item Démontrez que la suite $\left(b_n\right)$ est minorée. Que peut-on en conclure ?

\item Déduisez-en que les deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ ont la même limite.

\noindent Interprétez géométriquement ce résultat.

\end{enumerate}


\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v = a_n + b_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.  Démontrez que $\left(v_n\right)$ est une suite constante. En déduire
 que les segments $\left[A_nB_n\right]$ ont tous le même milieu I.

\end{enumerate}

%\subsection{}
%On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $\left\{\begin{array}{l}u_0=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+5}{2u_n}\text{ pour }n\in\mathbb{N}\end{array}\right.$.
%
%On pose $v_n=\dfrac{u_n-\sqrt{5}}{u_n+\sqrt{5}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>0$.
%
%\item Si $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $L$, quelle valeur peut prendre $L$ ?
%
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=v_n^2$.
%
%\item Conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $v_n$.
%
%\item Démontrer cette conjecture.
%\end{enumerate}
%
%\item Prouver que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_0=\dfrac{1}{\left(2+\sqrt{5}\right)^2}$ et que $\vert v_0\vert<\dfrac{1}{16}$.
%
%\item En déduire la limite de $\left(v_n\right)$ puis celle de $\left(u_n\right)$.
%
%\end{enumerate}
\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Optimisation d'une aire} \textcolor{blue}{(5 points)}}%Math'x page 112
\textcolor{red}{\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[-2~;~2]$ par $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$.

On désigne par $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.

\begin{enumerate}
\item Intervalle d'étude :

\noindent Expliquer pourquoi on peut limiter l'etude de $f$ à l'intervalle $[0~;~2]$.

\item Dérivabilité de $f$ :

\begin{enumerate}
\item  Étudier la dérivabilité de $f$ en 2 et interpréter graphiquement le résultaI obtenu.

\item  Justifier que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~2[$ et calculer sa dérivée. 

\item  Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau 
de  variation sur $[0~;~2]$.

\end{enumerate}


\item Représentation graphique de $f$ 

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.

\item Justifier que, pour tout $x$ de [0~;~2], $f(x)\leqslant 2x$.

\noindent En déduire la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $T$ sur [0~;~2].

\noindent Tracer $T$ puis $\mathscr{C}$ sur [-2; :2]. 

\end{enumerate}


\item Solutions de l'équation (E) : $f(x)=1$. 


\noindent Prouver que l'équation $f(x)= 1$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle [-2~;~2].

\noindent Donner un encadrement de ces reels à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Étude d'une aire}}

\bigskip
Soient $\Gamma$ un cercle de centre O et de rayon 1 et $ABCD$ un rectangle inscrit dans $\Gamma$.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.948180813488,-0.317731246391)(-0.922634420035,0.385675675883)(0.948180813488,0.317731246391)(0.922634420035,-0.385675675883)
\pscircle(0.,0.){3.}
\psline[linecolor=zzttqq](-0.948180813488,-0.317731246391)(-0.922634420035,0.385675675883)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.922634420035,0.385675675883)(0.948180813488,0.317731246391)
\psline[linecolor=zzttqq](0.948180813488,0.317731246391)(0.922634420035,-0.385675675883)
\psline[linecolor=zzttqq](0.922634420035,-0.385675675883)(-0.948180813488,-0.317731246391)
\psline(-0.948180813488,-0.317731246391)(0.948180813488,0.317731246391)
\psline(-0.922634420035,0.385675675883)(0.922634420035,-0.385675675883)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.01424237998,0.0225365216571){\blue{$O$}}
%\rput[bl](-0.503138509455,0.773322323619){$c$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-0.948180813488,-0.317731246391)
\rput[bl](-1.02440948077,-0.327570847134){\xdxdff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.948180813488,0.317731246391)
\rput[bl](0.96342235759,0.341523235444){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-0.922634420035,0.385675675883)
\rput[bl](-0.966058252634,0.403764545451){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.922634420035,-0.385675675883)
\rput[bl](0.986762848843,-0.397592320892){\xdxdff{$D$}}
%\rput[bl](-0.876586369498,0.0342067672835){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](0.0103522981045,0.290952171063){\zzttqq{$b$}}
%\rput[bl](0.870060392579,-0.0280345427237){\zzttqq{$c_1$}}
%\rput[bl](-0.0129881931482,-0.288670028379){\zzttqq{$d$}}
%\rput[bl](0.0181324618554,-0.0552651158519){$e$}
%\rput[bl](-0.0246584387745,-0.0552651158519){$f$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

On pose $AB=x$ et on associe, à ce réel $x$, l'aire $\mathscr{A}(x)$ de ce rectangle $ABCD$.

\begin{enumerate}
\item Préciser l'intervalle $J$ que peut décrire la variable $x$ et calculer cette aire $\mathscr{A}(x)$.

\item Déterminer à l'aide des résultats de la partie A :
\begin{enumerate}
\item pour quelle valeur de $x$ l'aire du rectangle $ABCD$ est maximale ; préciser dans ce cas, la valeur de cette aire et la nature du quadrilatère $ABCD$.

\item pour quelle(s) valeur(s) l'aire du rectangle $ABCD$ est égale à 1.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  