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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : Révisions (feuille 2)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2014}}
On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:\index{complexes et suite}

\[z_{n+1} = (1 + \mathrm{i})z_n.\]

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$.
\item Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.\index{suite géométrique}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$.

Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$.
\begin{center}\index{algorithme}
\fbox{
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\
&&$p$ est un réel\\
&& $n$ est un entier\\
\textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\
&& Affecter à $u$ la valeur 2\\
\textbf{Entrée}&:&  Demander la valeur de $p$ \\
\textbf{Traitement}&:&\\
\\
\textbf{Sortie}&:& \\
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$.

En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2014}}

\emph{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.\\
Les probabilités seront arrondies au dix millième.}
\smallskip

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8~h~00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'élève part tous les jours à 7~h~40 de son domicile et doit arriver à 8~h~00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $\numprint{99,4}\,\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement 
\og L'élève se rend au lycée à vélo \fg, $B$ l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg{} et $R$ l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre de probabilités.\index{probabilités}\index{arbre}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $\numprint{0,0192}$
\item Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B : le vélo}

\medskip

On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.

Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = \numprint{1,2}$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
\item Il part de son domicile à vélo à 7~h~40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
\item L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $\numprint{0,9}$ ? Arrondir le résultat à la minute près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : le bus}

\medskip

Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.\index{loi normale}

On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $\numprint{0,05}$.

On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ?
\item Déterminer une valeur approchée à $\numprint{0,01}$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2014}}
On considère un cube ABCDEFCH.

\bigskip

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,8.5) 
\psframe(0.3,0.3)(6.3,6.3)%ABFE
\psline(6.3,0.3)(8,2.8)(8,8.8)(6.3,6.3)%BCGF
\psline(8,8.8)(2,8.8)(0.3,6.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,2.8)(8,2.8)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,2.8)(2,8.8)%DH
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.15,7.55)(7.15,4.55)(3.5,8.8)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](6.3,0.3){B} \uput[r](8,2.8){C} 
\uput[ur](2,2.8){D} \uput[ul](0.3,6.3){E} \uput[ul](6.3,6.3){F} 
\uput[ur](8,8.8){G} \uput[ul](2,8.8){H} \uput[ul](1.15,7.55){M} 
\uput[dr](7.15,4.55){N} \uput[u](3.5,8.8){P} 
\end{pspicture}
\end{center}
On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que 

$\overrightarrow{\text{HP}}  = \dfrac{1}{4} \overrightarrow{\text{HG}}$. 

\medskip
 
\textbf{Partie A : Section du cube par le plan (MNP)}\index{section plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.
 
Construire le point L 
\item On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d'intersection.
 
On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d'intersection. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Construire l'intersection des plans (MNP) et (ABF).
	\end{enumerate} 
\item En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère. 
\item Déterminer les coordonnées du point L. 
\item On admet que le point T a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\frac{5}{8}\right)$.
 
Le triangle TPN est-il rectangle en T ? 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2014}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x) = \text{e}^x \quad  \text{et} \quad  g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente 
$\Delta$ dont on déterminera une équation. 
\item Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$. 
		\item Justifier que, pour tout réel $x, h(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$. 

En déduire la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$. 
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.
		 
Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\index{variations de fonctions} 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$. 
		\item En déduire que, pour tout réel $x,\:\: 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1 \geqslant x + 1$. 
		\item Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ ?
	\end{enumerate} 
\item Étude de la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1\right)^2$. 
		\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
	\end{enumerate}\index{position relative de deux courbes} 
\item Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.\index{intégrale et aire}
\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  