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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : feuille d'exercices de bac}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015 (6 points)}}

\medskip

On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : 

pour tout entier naturel $n$,\quad  $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \:\text{d}x$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
		\item En déduire la valeur exacte de $u_1$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme
de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline
Variables :& $i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
&$u$ est un réel\\
Entrée :& Saisir $n$\\
Initialisation :& Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
Traitement :& Pour $i$ variant de 1 à \ldots\\
&\hspace{0.4cm}$|$Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
&Fin de Pour\\
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
$n$	 & 0 		&1 			&2 			&3 			&4 			&5 			&10 		&50 	 &100\\ \hline
$u_n$&\numprint{0,6931}&\numprint{0,3069}&\numprint{0,1931}&\numprint{0,1402}&\numprint{0,1098}&\numprint{0,0902}&\numprint{0,0475}&\numprint{0,0099} &\numprint{0,0050}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item  On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015 (3 points)}}

\medskip

On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^x$, tracée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.6}{2.71828 x exp}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $m = \text{e}$.

Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{\text{e}}$, d'équation $y = \text{e}x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
\item Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de
points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}_m$.
\item Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015 (5 points)}}

\medskip

En prévision d'une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les
intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les \numprint{1200}~personnes qui ont répondu au sondage, 47\,\% affirment vouloir voter pour le
candidat A et les autres pour le candidat B.

\medskip

Compte-tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que 10\,\% des personnes
déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour
le candidat B, tandis que 20\,\% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne
disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

\medskip

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement \og La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement \og La personne interrogée dit la vérité \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
		\item Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu'elle
affirme vouloir voter pour le candidat A.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat
A est $0,529$.
\item  L'institut de sondage publie alors les résultats suivants :  
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|X|}\hline
52,9\,\% des électeurs* voteraient pour le candidat A.\\
*{\footnotesize estimation après redressement, fondée sur un sondage d'un
échantillon représentatif de \numprint{1200} personnes.}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Au seuil de confiance de 95\,\%, le candidat A peut- il croire en sa victoire ?
\item  Pour effectuer ce sondage, l'institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10
communications par demi-heure. La probabilité qu'une personne contactée accepte
de répondre à cette enquête est $0,4$.

L'institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de \numprint{1200}~réponses.

Quel temps moyen, exprimé en heures, l'institut doit-il prévoir pour parvenir à cet
objectif ?
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie mars 2015 (5 points}}
Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.

On note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$.

Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par

\[f_a(x) = \text{e}^x - ax.\]

On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du cas particulier } $a = 2$

La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x - 2x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variations sur $\mathbb{R}$ (\emph{on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition}.
		\item En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point d'intersection.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude du cas général où $a$ est un réel strictement positif}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f_a$ sur  $\mathbb{R}$. Montrer alors que le minimum sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f_a$ est $a - a \ln a$.
		\item Étudier le signe de $a - a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$.
		\item Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  