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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : Exercices de bac de géométrie dans l'espace (2)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2013}}
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B (1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\overrightarrow{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. 
		\item Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique\\
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&t\\ 
z &=& 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$. 
		\item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}

\textbf{Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$:}
\\
$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté 1.\\
On appelle $\mathcal{P}$ le plan $(AFH)$.\\
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$,\\
le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$,\\
le point $K$ est le milieu du segment $[HF]$,\\
le point $L$ est le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $\mathcal{P}$.

\smallskip

\begin{center}

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(0,0)(8,7)
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=white,hatchcolor=lightgray,fillstyle=hlines,hatchangle=75.0,hatchsep=0.1](1,1)(5.04,5.26)(3.32,6.58)
\psline(1,1)(5.04,1.26)
\psline(5.04,1.26)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](7.36,2.84)(3.32,2.58)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(1,1)
\psline(1,1)(1,5)
\psline(1,5)(5.04,5.26)
\psline(5.04,5.26)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(1,5)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(3.32,6.58)
\psline(7.36,2.84)(7.36,6.84)
\psline(5.04,5.26)(5.04,1.26)
\psline(5.04,5.26)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1,1)(3.32,6.58)
\psline(3.32,6.58)(5.04,5.26)
\psline[linestyle=dashed](1,5)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](6.2,2.05)(1,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1)
\rput[bl](0.72,0.66){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,1.26)
\rput[bl](5.1,1){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,2.58)
\rput[bl](3.4,2.7){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,5)
\rput[bl](0.74,5.12){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,2.84)
\rput[bl](7.54,2.7){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,5.26)
\rput[bl](5.24,5){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,6.58)
\rput[bl](3.12,6.8){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,6.84)
\rput[bl](7.48,6.84){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,3)
\rput[bl](0.7,3.02){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.2,2.05)
\rput[bl](6.4,1.7){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.18,5.92)
\rput[bl](4.26,5.96){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.12,4.28)
\rput[bl](3.06,4.46){$L$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}

\end{center}


\medskip

\emph{Ceci est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à  la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  0.
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  $(-1)$.
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  1.
		\item Le produit scalaire $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}$ est égal à  2.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$:
	\begin{enumerate}
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z - 1=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
		\item Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y - z = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\overrightarrow{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\overrightarrow{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\overrightarrow{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AL}=\frac12\overrightarrow{AH} + \frac12\overrightarrow{AF}$.
		\item $\overrightarrow{AL}=\frac13\overrightarrow{AK}$.
		\item $\overrightarrow{ID}=\frac12\overrightarrow{IJ}$.
		\item $\overrightarrow{AL}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}+\frac23\overrightarrow{AE}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\setcounter{subsection}{0}
\newpage

\begin{center}\subsection*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2013}}
On considère les points A(0~;~4~;~1), B(1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrons que les points A, B et C ne sont pas alignés. 

On a $\overrightarrow{\text{AB}}(1~;~-1~;~-1)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}(2~;~-5~;~-3)$.
On a : $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{-1}{-5}$. 

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas proportionnelles.

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires : les points ne sont pas alignés. \\

\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\overrightarrow{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		
On a  $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u} = 1\times 2+ (- 1)\times (-1) + (-1)\times 3 = 0$ et $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{u} = 2\times2+(-5)\times (-1)+(-3)\times 3 = 0$.
		Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont orthogonaux à $\overrightarrow{u}$.
		
		La droite  $\Delta$ est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan  (ABC) : elle est orthogonale au plan (ABC)\\		
		\item De ce qui précède, on déduit que $\overrightarrow{u}$ est un vecteur normal à (ABC). 
		
Une équation cartésienne de (ABC) est de la forme $2x - y + 3z + d = 0$.
		
Comme le point A appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient :
		
$2 \times 0 + (4) \times (-1) + (1) \times 3 + d = 0 \Leftrightarrow d = 1$.
		
On en déduit une équation cartésienne du plan (ABC): $2x - y+ 3z + 1 = 0$. \\
		\item Déterminons une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		
Comme la droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(2~;~- 1~;~3)$ et contient le point D $(7~;~- 1~;~4)$, une représentation paramétrique de $\Delta$ est :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t+4
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$. \\
		
		\item Déterminons les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
		
Les coordonnées de H sont les solutions du système:
		
$\left\{\begin{array}{r c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t + 4\\
2x-y+3z+1&=&0
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$.
		
\bigskip
		 
$\left\{\begin{array}{r c l}
	x&=&2t+7\\ 
	y &=&-t-1\\ 
	z &=& 3t + 4\\
	2x-y+3z+1&=&0
	\end{array}\right.
	\iff \left\{\begin{array}{r c l}
	x&=&2t+7\\ 
	y &=&-t-1\\ 
	z &=& 3t + 4\\
	2(2t+7)-(-t-1)+3(3t+4)z+1&=&0
	\end{array}\right.$\\
	
$	\iff \left\{\begin{array}{r c l}
	x&=&2t+7\\ 
	y &=&-t-1\\ 
	z &=& 3t + 4\\
	t&=&-2
	\end{array}\right.
	\iff \left\{\begin{array}{r c l}
	x&=&3\\ 
	y &=&1\\ 
	z &=& -2\\
	t&=&-2
	\end{array}\right.$
		 
Le point H a pour coordonnées $H(3;~~1;~~-2)$		 
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
		
		Le plan $\mathcal{P}_{1}$  d'équation $x + y + z = 0$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n_1}(1~;~1~;~1)$.
		
		Le plan $\mathcal{P_2}$  d'équation $x + 4y + 2 = 0$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n_2}(1~;~4~;~0)$.
		
		Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ ne sont pas proportionnelles.
		Les vecteurs $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles; ils sont sécants.\\		
		\item Vérifions que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t + 4
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$. 

\bigskip
Considérons le système:

$\left\{\begin{array}{r c l}
x+y+z &=&0\\ 
x+4y+2 &=& 0\\
y&=&y
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$.

$\left\{\begin{array}{r c l}
x+y+z &=&0\\ 
x+4y+2 &=& 0\\
y&=&t
\end{array}\right.
\iff\left\{\begin{array}{r c l}
z &=&-x-y\\ 
x &=&-4t-2 0\\
y&=&t
\end{array}\right.
\iff\left\{\begin{array}{r c l}
z &=&3t+2\\ 
x &=&-4t-2 0\\
y&=&t
\end{array}\right.$
 		
 		On en déduit que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&t\\ 
z &=& 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$. \\
 		
		\item % La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
		
On déduit de la représentation paramétrique précédente que la droite $d$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u'}(-4~;~ 1~;~3)$.
		
Le plan (ABC) a pour vecteur normal $\overrightarrow{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
		
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}=0$. $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u'}$  sont orthogonaux: la droite $d$ et le plan (ABC) sont parallèles . 		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}
\begin{enumerate}
\item La bonne réponse est \fbox{b}.\\
Par l'absurde: si $(IJ)$ et $(EC)$ étaient coplanaires, alors, le point $J$ appartiendrait au plan $(ECI)$ c'est-à-dire au plan $(ECA)$, ce qui est faux.
\item La bonne réponse est \fbox{c}.\\
Dans le repère mentionné dans le sujet, on a $\overrightarrow{AF}(1,0,1)$ et $\overrightarrow{BG}(0,1,1)$, d'où $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BG}=1\times0+0\times1+1\times1=1$.
\item La bonne réponse est \fbox{d}. On le vérifie en injectant les coordonnées des points $A$, $F$ et $H$ dans l'équation $x+y-z=0$.
\item La bonne réponse est \fbox{b}.\\
Un vecteur normal de $\mathcal{P}$ est $\overrightarrow{n}(1,1,-1)$, or $\overrightarrow{EC}(1,1,-1)$. Par conséquent $\overrightarrow{EC}$ est normal à $\mathcal{P}$, et comme $\overrightarrow{EL}$ et $\overrightarrow{EC}$ sont colinéaires, $\overrightarrow{EL}$ est de ce fait aussi normal à $\mathcal{P}$.
\item La bonne réponse est \fbox{d}.\\
On a $\overrightarrow{EC}(1,1,-1)$ et $E(0,0,1)$; une représentation paramétrique de la droite $(EC)$ est donc $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&t\\y&=&t~~(t\in\mathbb{R})\\z&=&1-t\end{array}\right.$. Le point $L$ a donc pour coordonnées $L(t,t,1-t)$, et comme $L\in\mathcal{P}$ alors: $t+t-(1-t)=0$
d'où l'on tire $t=\frac13$, c'est-à-dire $L\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)$, d'où le résultat.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  