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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Géométrie dans l'espace : exercices de bac}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2014}}
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte
\medskip \index{Vrai--Faux}

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.\index{géométrie dans l'espace}

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + 3z + 1 = 0$

et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est
 
$\begin{cases}
x=2t\\
y=1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\
z=-5+3t
\end{cases}$

\bigskip

On donne les points $A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)$ et $C(7~;1~;~-2)$
\medskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 1 :}}

Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est \index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
$\begin{cases}
x=5-2t\\
y=-1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\
z=-2+t
\end{cases}$
\medskip

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 2 :}}

Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.
\bigskip

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 3 :}}

Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.
\bigskip

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 4 :}}

La droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8;~-3;~-4)$.
\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 5 :}}

Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole, juin 2014}}
Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des 
triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].  

\medskip

On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AC}}, \overrightarrow{\text{AD}}\right)$ de l'espace.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{P}$ le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). 

On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (DF). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points D et F. 
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite (DF). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$. 
		\item Calculer les coordonnées du point H. 
		\item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{EHG}}$ est un angle droit. 
	\end{enumerate}
\item On désigne par $M$ un point de la droite (DF) et par $t$ le réel tel que $\overrightarrow{\text{D}M} = t\overrightarrow{\text{DF}}$. On note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{\text{E}M\text{G}}$. 

Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que $\alpha$ soit maximale. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $M\text{E}^2 = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$. 
		\item Démontrer que le triangle $M$EG est isocèle en $M$.
		
		En déduire que $M\text{E}\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. 
		\item Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ est maximal. 

En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $M\text{E}^2$ est minimal. 
		\item Conclure. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  