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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS Feuille de révision (4)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2012}}
Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{\text{k}}\right)$ de l'espace, on considère : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : 

\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
 
\item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	-3 - 2t \\
y&=& 	2t\\ 
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}.\] 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

\medskip
 
\textbf{Proposition 1}
 
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
 
\medskip

\textbf{Proposition 2}
 
L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	1 - t' \\
y&=	& - 1 -	2t'\\ 
z&=	&t'
\end{array}\right. \quad t' \in \mathbb{R}.\] 
 
 \medskip
 
\textbf{Proposition 3}
 
Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires. 


\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2013}}
\begin{center}
\emph{Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}\end{center}
 
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400~grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385~grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à  385~grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à  385~grammes est commercialisable.
 
La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale\index{loi normale} d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.

\medskip
 
\emph{Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip 
\begin{scriptsize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline
$P(X \leqslant x)$&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline
\end{tabularx}
\end{scriptsize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$. 
\item Calculer la probabilité\index{probabilité} $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 
\item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
 
Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à  96\,\% ? On arrondira le résultat au dixième.
 
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant  -1,751) \approx 0,040$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96\,\% de pains commercialisables. 

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300~pains fabriqués.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$. 
\item Parmi les $300$~pains de l'échantillon, $283$ sont commercialisables. 

Au regard de l'intervalle de fluctuation\index{intervalle de fluctuation} obtenu à  la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip 

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle\index{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.

\medskip
 
Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\medskip
 
\item Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours ? 
\item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ? 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2013}}

On considère la suite\index{suite} numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0} &=& 1\\ 	 
v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}}
\end{array}\right.$ 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme \index{algorithme} affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

\medskip

\hspace{-1cm} 
\begin{small}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$v$ est un réel&&$v$ est un réel&&$v$ est un réel\\ 
$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
~&&&&\\ 
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&& \textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
Lire $n$&&Lire $n$&&Lire $n$\\ 
$v$ prend la valeur $1$&&Pour $i$ variant de $1$ à  $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$\\ 
Pour $i$ variant de $1$ à  $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$&& Pour $i$ variant de $1$ à  $n$ faire\\ 
\hspace{0.2cm}$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&\hspace{0.2cm}Afficher $v$&& \hspace{0.2cm}Afficher $v$\\  
Fin pour&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$\\
Afficher $v$&&Fin pour&&Fin pour\\
&&&&Afficher $v$\\
\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\  \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{small}

\item Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant :
\begin{scriptsize}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\end{scriptsize}

Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

\medskip
\begin{scriptsize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\ \hline
\end{tabularx}
\end{scriptsize}
\medskip
 
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.  
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. 
 
La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ? 
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B Recherche de la limite de la suite } \boldmath $\left(v_{n}\right)$ \unboldmath

\medskip

On considère la suite\index{suite} $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par 

\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ 
\item En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}
Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

\smallskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que:
\[
f(x) = (x + 1)\text{e}^x.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.\\
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

On définie la fonction $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par:

\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ du plan.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
\item  Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
\end{enumerate}
\item On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\mathrm{e}}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).\\
Identifier chacune de ces courbes sur la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-3)(5,6)
\psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=2000]{-2.0}{5.0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot{-2}{5}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=2000]{-2.0}{5.0}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.5,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.5,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à  la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(Oy)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur l'annexe 2.
		\item Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(Oy)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$. On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.\\
Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.

En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}
\textbf{Partie A}

\smallskip

Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre réel compris entre 0 et 1, et $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale\index{loi binomiale} de paramètres $n$ et $p$. On note $F_n = \frac{X_n}{n}$ et $f$ une valeur prise par $F_n$. On rappelle que, pour $n$ assez grand, l'intervalle $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité\index{probabilité} au moins égale à  \numprint{0,95}.\\

En déduire que l'intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}~;~f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $p$ avec une probabilité au moins égale à  \numprint{0,95}.

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

On cherche à  étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à  choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.

On note $r$ la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

\begin{enumerate}
\item On interroge un étudiant au hasard. On note:
	\begin{description}
		\item[$A$] l'évènement \og l'étudiant répond $A$\fg{},
		\item[$B$] l'évènement \og l'étudiant répond $B$\fg{},
		\item[$C$] l'évènement \og l'étudiant répond $C$\fg{},
		\item[$R$] l'évènement \og l'étudiant connait la réponse\fg{},
		\item[$\overline{R}$] l'évènement contraire de $R$.
	\end{description}
	\begin{enumerate}
		\item Traduire cette situation à  l'aide d'un arbre de probabilité.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A)=\frac13\left(1+2r\right)$.
		\item Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu'une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
	\end{enumerate}
\item Pour estimer $r$, on interroge $400$ personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu'interroger au hasard $400$ étudiants revient à  effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.
		\item Dans un premier sondage, on constate que $240$ étudiants répondent $A$, parmi les $400$ interrogés.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de l'estimation de $p$.

En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de $r$.
		\item Dans la suite, on suppose que $r = \numprint{0,4}$. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale\index{loi normale}.
			\begin{enumerate}
				\item Donner les paramètres de cette loi normale.
				\item Donner une valeur approchée de $P(X\leqslant 250)$ à  $10^{-2}$ près.
				
On pourra s'aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de $P(X\leqslant t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question \textbf{2. c}.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  