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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la forme exponentielle}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Sans calcul, placer dans un repère orthpnormé les points A, B, C, D et E d'affixes $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$, $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}4}$, $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}6}$, $3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$, $3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi4}$

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Écrire sous forme exponentielle $-\sqrt{3}-3\mathrm{i}$.

\item En déduire la forme exponentielle de $-\sqrt{3}+3\mathrm{i}$ et de $\sqrt{3}+3\mathrm{i}$.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item En utilisant la notation exponentielle, déterminer le module et un argument de $\dfrac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}}$.

\item En déduire les valeurs de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{\pi}{12}$ puis de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{5\pi}{12}$.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $\theta$, \\$\cos\theta=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\right)$.

\item On rappelle que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

\noindent Calculer $\cos^3\theta$ en fonction de $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et de $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$.

\item En déduire $\cos^3\theta$en fonction de $\cos\theta$ et de $\cos 3\theta$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ dans les cas suivants 
\begin{enumerate}[a)]
\item $z=3+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, $\theta\in\mathbb{R}$ ?

\item $z=-1+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, $\theta\in[0~;~\pi]$ ?

\item $z=4+3\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}$, $\theta\in\left[9~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ ?
\end{enumerate}


\end{multicols}


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%Sans calcul, placer dans un repère orthpnormé les points A, B, C, D et E d'affixes $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$, $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}4}$, $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}6}$, $3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$, $3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi4}$
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%\item Écrire sous forme exponentielle $-\sqrt{3}-3\mathrm{i}$.
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%\item En déduire la forme exponentielle de $-\sqrt{3}+3\mathrm{i}$ et de $\sqrt{3}+3\mathrm{i}$.
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%\begin{enumerate}
%\item En utilisant la notation exponentielle, déterminer le module et un argument de $\dfrac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}}$.
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%\item En déduire les valeurs de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{\pi}{12}$ puis de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{5\pi}{12}$.
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%\item Démontrer que, pour tout $\theta$, \\
%$\cos\theta=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\right)$.
%
%\item On rappelle que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
%
%\noindent Calculer $\cos^3\theta$ en fonction de $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et de $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$.
%
%\item En déduire $\cos^3\theta$en fonction de $\cos\theta$ et de $\cos 3\theta$.
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%\subsection{}
%Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ dans les cas suivants 
%\begin{enumerate}[a)]
%\item $z=3+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, $\theta\in\mathbb{R}$ ?
%
%\item $z=-1+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, $\theta\in[0~;~\pi]$ ?
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%\item $z=4+3\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}$, $\theta\in\left[9~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ ?
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