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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices de révision}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la site définie par \[\left\{\begin{array}{l}u_0=1\\u_{n+1}=-2u_n+9\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}^*\end{array}\right..\]
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=(-2)^{n+1}+3$.

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_0=0\\u_{n+1}=\sqrt{4+u_n^2}\end{array}\right.$
\begin{enumerate}
\item Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$

\item Démontrer cette conjecture.

\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto 4 \sqrt{2 x^2-8 x+14}$ sur $\mathbb{R}$

\item $f:x\longmapsto \left(3x^2+5x-9\right)^7$ sur $\mathbb{R}$

\item $f:x\longmapsto \dfrac{3x^2+5x+3}{x^2+1}$
\end{enumerate}


\subsection{}
On considère la fonction : $f:x\mapsto \dfrac{2x^2-x-5}{x-2}.$
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$ ?

\item Montrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in\mathscr{D}_f$ , $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}$.

\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$ dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ ?

\item Montrer que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=2x+3$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ et de $+\infty$.\\
Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $\mathscr{D}$.

\item Quelles sont les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec les deux axes ?

\item Étudier les variations de $f$ ? Donner le tableau de variations ?

\item Tracer les asymptotes puis la courbe $\mathscr{C}_f$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2005}}
La suite $\left(u_{n}\right)$ est d\'efinie par $u_{0} = 1$ et \\
$\forall n \in \mathbb{N},~ u_{n+1}	= \dfrac{1}{2}u_{n} + n - 1$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que pour tout $n \geqslant  3,~ u_{n} \geqslant  0$. 
\item En d\'eduire que pour tout $n \geqslant  4,~ u_{n} \geqslant  n - 2$. 
\item En d\'eduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate} 
\item On d\'efinit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = 4u_{n} - 8n + 24$.
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique d\'ecroissante dont on
donnera la raison et le premier terme. 
\item D\'emontrer que :\[\forall n \in \mathbb{N},~u_{n} = 7\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  + 2n -6.\] 
\item V\'erifier que $\forall n \in \mathbb{N},~ u_{n} = x_{n} + y_{n}$ o\`u $\left(x_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique et $\left(y_{n}\right)$ une suite arithm\'etique dont on pr\'ecisera pour chacune le premier terme et la raison. 
\item En d\'eduire l'expression de $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k}$	en fonction de $n$.
\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Sportifs de haut niveau 1999}}
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct 
$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On désigne par E l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z^3$ soit un nombre réel positif ou nul. 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Le point A d'affixe $ a = 
\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ appartient-il à E ? 
		\item On note B le point d'affixe $b = - 1 + 
\text{i}\sqrt{3}$. 
Calculer un argument de $b$ et montrer que B appartient à E. 
	\end{enumerate} 
\item On suppose $z \neq 0$ et on note $\theta$ un argument de 
$z$. 
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\theta$ pour 
que $z^3$ soit un nombre réel positif. 
\item Après avoir vérifié que le point O appartient à E, 
déduire des résultats précédents que E est la réunion de trois demi-droites que 
l'on déterminera. Placer les points A et B et représenter E sur une 
figure. 
\item À tout point $P$ d'affixe $z \neq 0$, on associe les 
points $Q$ d'affixe i$z$ et $R$ d'affixe $z^4$. 
On note F l'ensemble des points $P$ tels que l'angle 
$(\overrightarrow{\text{O}Q},~ \overrightarrow{\text{O}R}$) ait pour 
mesure $-~\dfrac{\pi}{2}$. 
Montrer que F est l'ensemble E privé du point O. 
\end{enumerate} 

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2000}}
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, unité graphique 4 cm. Dans l'ensemble 
des nombres complexes$\mathbb{C}$, ~i désigne le nombre de module 1, et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$. 
On appelle $f$ l'application, qui, à tout nombre complexe $z$ différent de 
$- 2$, associe 
\[Z = f(z) = \dfrac{z - 2 + \text{i}}{z + 2\text{i}}.\] 
\begin{enumerate}
\item Si $z = x + \text{i}y,~ x$ et $y$ étant deux réels, 
exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et de $y$.\\

On vérifiera que $\Re(Z) = \dfrac{x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2}{x^2 + (y + 2)^2}$. 
En déduire la nature de : 
	\begin{enumerate}
		\item l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$, tels que $Z$ soit un réel;  
		\item l'ensemble $F$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan, tels que $Z$ soit un 
imaginaire pur éventuellement nul.  
		\item Représenter ces deux ensembles. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $A$ et $B$ les points d'affixes respectives 
$z_{A} = 2 - \text{i}$ et $z_{B} = - 2\text{i}$. 
En remarquant que $Z = \dfrac{z - z_{A}}{z - z_{B}}$ , retrouver les ensembles 
$E$ et $F$ par une méthode géométrique. 
\item Calculer $|f(z) - 1| \times |z + 2\text{i}|$, et en 
déduire que les points $M'$ d'affixe $Z$, lorsque le point $M$ d'affixe $z$ 
parcourt le cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{5}$, sont tous sur un même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre. 
\end{enumerate} 


\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  