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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les nombres complexes}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Calculer la somme $S=1+\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^{\numprint{2014}}=\sum_{k=0}^{\numprint{2014}}\mathrm{i}^k$.

\subsection{}
On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $j^2$ puis $j^3$.

\item Que vaut $j^n$ selon les valeurs de $n$ ?

\item Montrer que $1+j+j^2=0$

\item Calculer la somme $\sum_{k=0}^{\numprint{2002}}j^k$
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $5\overline{z}=4-\mathrm{i}$

\item $(1+\mathrm{i})\overline{z}+1-\mathrm{i}=0$

\item $(\mathrm{i}z+2)\left(z-5\mathrm{i}\right)=0$
\end{enumerate}


\subsection{}
Dans le plan complexe, les points $A, $B et $C$ ont pour affixes respectives $a=1+\mathrm{i}$, $b=3+4\mathrm{i}$ et $c=4-\mathrm{i}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\vert b-a\vert$, $\vert c-b\vert$ et $\vert c-a\vert$.

\item En déduire la nature du triangle $ABC$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Déterminer géométriquement l'ensemble des points $M$ d'affixe $z tels que$ :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\vert z-2\vert=\vert z+3\mathrm{i}\vert$

\item $\vert z-4-\mathrm{i}\vert=2$

\item $\left\vert \overline{z}+1+3\mathrm{i}\right\vert=5$

\item $\vert2-\mathrm{i}z\vert=\vert z+5\vert$
\end{enumerate}
\subsection{}
Déterminer dans le plan complexe l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ ($z\neq --2-\mathrm{i})$) tels que $Z=\dfrac{z-4-2\mathrm{i}}{z+2+\mathrm{i}}$ soit un réel strictement positif.


\end{multicols}

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%\subsection{}
%Calculer la somme $S=1+\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^{\numprint{2014}}=\sum_{k=0}^{\numprint{2014}}\mathrm{i}^k$.
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%\subsection{}
%On pose $j=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $j^2$ puis $j^3$.
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%\item Que vaut $j^n$ selon les valeurs de $n$ ?
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%\item Montrer que $1+j+j^2=0$
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%\item Calculer la somme $\sum_{k=0}^{\numprint{2002}}j^k$
%\end{enumerate}
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%\subsection{}
%Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
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%\begin{enumerate}[a)]
%\item $5\overline{z}=4-\mathrm{i}$
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%\item $(1+\mathrm{i})\overline{z}+1-\mathrm{i}=0$
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%\item $(\mathrm{i}z+2)\left(z-5\mathrm{i}\right)=0$
%\end{enumerate}
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%\subsection{}
%Dans le plan complexe, les points $A, $B et $C$ ont pour affixes respectives $a=1+\mathrm{i}$, $b=3+4\mathrm{i}$ et $c=4-\mathrm{i}$.
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $\vert b-a\vert$, $\vert c-b\vert$ et $\vert c-a\vert$.
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%\item En déduire la nature du triangle $ABC$.
%\end{enumerate}
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%\subsection{}
%Déterminer géométriquement l'ensemble des points $M$ d'affixe $z tels que$ :
%\begin{enumerate}[a)]
%\item $\vert z-2\vert=\vert z+3\mathrm{i}\vert$
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%\item $\vert z-4-\mathrm{i}\vert=2$
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%\item $\left\vert \overline{z}+1+3\mathrm{i}\right\vert=5$
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%\item $\vert2-\mathrm{i}z\vert=\vert z+5\vert$
%\end{enumerate}
%\subsection{}
%Déterminer dans le plan complexe l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ ($z\neq --2-\mathrm{i})$) tels que $Z=\dfrac{z-4-2\mathrm{i}}{z+2+\mathrm{i}}$ soit un réel strictement positif.
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