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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercice sur les nombres complexes}}\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la partie réelle du nombre complexe $z = (2 + \mathrm{i} )^2 $ ?

\item Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe $z = (1 - \mathrm{i} )^2$ ?

\item Calculer le module du nombre complexe $z = 4 + 3\mathrm{i}$.

\item Calculer un argument du nombre complexe $z = 2 - 2\mathrm{i}$.

\item Si $z = 2 - 5\mathrm{i}$ alors que vaut $\overline{z}$ ?


\item Soit $z$ le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$. Donner la forme algébrique de $z$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2009}}
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère
les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point P$'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$.
		\item Montrer que les droites (AP) et (BP$'$) sont parallèles.
		\item Établir que les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points 	tels que $M'= M$).

\medskip

On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel.
		\item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
		\item Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
\item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Correction du II}}
\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2009}}

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\item
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]
		\item %Déterminer l'affixe du point P$'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$.
$z_{\text{P}'}= \dfrac{\overline{1 + \text{i}}(1 + \text{i} - 2)}{\overline{1 + \text{i}} - 2} = \dfrac{(1 - \text{i})(- 1 +  \text{i})}{-1 - \text{i}} = \dfrac{(1 - \text{i})( 1 -  \text{i})}{1 +  \text{i}} = \dfrac{-2\text{i} }{1 +  \text{i}} = \dfrac{-2\text{i}(1 -  \text{i})}{(1 +  \text{i})(1 -  \text{i})} = \dfrac{-2 - 2\text{i}}{2} = - 1 - \text{i}.$

Donc $z_{\text{P}'} = - z_{\text{P}}.$
		\item %Montrer que les droites (AP) et (BP$'$) sont parallèles.
$\overrightarrow{\text{AP}}(-1~;~1)$ et $\overrightarrow{\text{BP}'}(-1~;~1)$. Les vecteurs sont égaux donc les droites (AP) et (BP$'$) sont parallèles.

On peut même dire que $\overrightarrow{\text{AP}} = \overrightarrow{\text{BP}'} \iff $(APP$'$B) est un parallélogramme.
		\item %…tablir que les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires.
		$\overrightarrow{\text{AP}}(-1~;~1)$ et $\overrightarrow{\text{PP}'}(-2~;~-2)$. Donc $\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{PP}'} = (-1 ) \times (-2) + 1 \times (-2) = 0 \iff \overrightarrow{\text{AP}}(-1~;~1)$ et $\overrightarrow{\text{PP}'}$ sont orthogonaux ou encore les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
	\item %Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points 	tels que M'=M).
Pour $M(z)$ avec $z \neq 2$, donc avec $\overline{z} \neq†2$,\:	$M'(z') = M(z) \iff z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2} = z \iff \overline{z}(z - 2) = z\left(\overline{z} - 2 \right) \iff z\overline{z} - 2\overline{z} = z\overline{z} - 2z \iff -2\overline{z} =  - 2z \iff \overline{z} = z \iff z \in \mathbb{R}$.

L'ensemble des points invariants par $f$ est l'axe des abscisses privé du point A.
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

%On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.
	
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
	\setcounter{enumi}{2}
	\item 
	\begin{enumerate}[{\bf a.}]
		\item %Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)(\overline{z} - 2)$ est réel.
$(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right) = (z - 2)\left(\overline{z} - \overline{2}\right) = (z - 2)\overline{\left(z - 2\right)} = \left|z - 2 \right|^2 \in \mathbb{R}^{+}$ (carré du module de $z - 2$, soit A$M^2$.)
		\item %En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
$\dfrac{z' + 2}{z - 2} = \dfrac{\dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2} + 2}{z - 2} = \dfrac{\dfrac{\overline{z}(z - 2) + 2\left(\overline{z} - 2 \right)}{\overline{z} - 2}}{z - 2} = \dfrac{z\overline{z} - 2\overline{z} + 2\overline{z} - 4}{(z - 2)\left(\overline{z} - 2 \right)} = \dfrac{z\overline{z} - 4}{(z - 2)\left(\overline{z} - 2 \right)}.$

Or $z\overline{z} = |z|^2 \in \mathbb{R}$ et dans la question précédente on a vu que $(z - 2)\left(\overline{z} - 2 \right) = |z - 2|^2 \in \mathbb{R}$.

Le dernier quotient est donc réel.
		\item %Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles.
Le dernier résultat peut s'écrire $\dfrac{z' - z_{\text{B}}}{z - z_{\text{A}}} \in \mathbb{R} \iff \left(\overrightarrow{\text{A}M},~\overrightarrow{\text{B}M'} \right) = 0 + k\pi$ (argument d'un réel).

Conclusion : les vecteurs $\overrightarrow{\text{A}M}$ et $\overrightarrow{\text{B}M'}$ sont colinéaires donc les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles.
	\end{enumerate}
	\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
%Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
On a $z_{\overrightarrow{\text{A}M}} = x - 2 + \text{i}y$ et $z_{\overrightarrow{MM'}} = z' - z = \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2} - z = \dfrac{\overline{z}(z - 2) - z\left(\overline{z} - 2 \right)}{\overline{z} - 2} = \dfrac{z\overline{z} - 2\overline{z} - z\overline{z} + 2z}{\overline{z} - 2} = \dfrac{2\left(z - \overline{z}\right)}{\overline{z} - 2} = \dfrac{2(x + \text{i}y - x + \text{i}y}{x - \text{i}y - 2} = \dfrac{4\text{i}y}{(x - 2) - \text{i}y} = \dfrac{4\text{i}y[(x - 2) + \text{i}y]}{(x-2)^2 + y^2} = \dfrac{-4y^2}{(x-2)^2 + y^2} + \text{i}\dfrac{4y(x - 2)}{(x-2)^2 + y^2}$.

Calculons $\overrightarrow{\text{A}M} \cdot \overrightarrow{MM'} = \dfrac{-4y^2(x - 2)}{(x-2)^2 + y^2} + \dfrac{4y^2(x - 2)}{(x-2)^2 + y^2} = 0.$

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{A}M}$ et $\overrightarrow{MM'}$ sont orthogonaux, donc les droites (A$M$) et $(MM')$ sont perpendiculaires.
	\item %Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$.
	La construction de l'image de $M$ se déduit des questions précédentes : 
	
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tracer la parallèle $(d_{1})$ à (A$M$) contenant B ;
\item[$\bullet~$] Tracer la perpendiculaire $(d_{2})$ à la droite (A$M$)
 contenant $M$
\item[$\bullet~$] L'intersection de $(d_{1})$ et $(d_{2})$  est le point $M'$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  