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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur la loi normale}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013}}
Dans une entreprise, on s'intéresse à  la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent 
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à  $0,04$. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à  $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
 
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à  l'aide d'un arbrede probabilité. 
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre\index{arbre de probabilités} de probabilité donné ci-dessous
		
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
	  }
}
\end{center}

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  1,
		
		 $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. 
		\item Montrer que la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  1 par \\
		$u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
		
En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. 
		\item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme\index{algorithme}  suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables		& K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ 
Initialisation 	&P prend la valeur $0$\\ 
				&J prend la valeur $1$\\ 
Entrée			& Saisir la valeur de K\\ 
Traitement		&Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ 
				&\quad P prend la valeur \\
				&$0,2 \times \text{P} + 0,04$\\
				&\quad  J prend la valeur J $+ 1$\\ 
				&Fin tant que \\
Sortie			&Afficher J \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À quoi correspond l'affichage final J ?
 
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
	\end{enumerate} 
\item Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité\index{probabilité} pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à  $p = 0,05$.
 
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale\index{loi binomiale} dont on donnera les paramètres.
		 
Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$. 
		\item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ 
		
par la loi normale\index{loi normale}  centrée réduite c'est-à -dire de paramètres $0$ et $1$.
		 
On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. 

Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-1,55$ &$-1,24$ &$-0,93$ &$- 0,62$ &$- 0,31$&0,00 \\ \hline 
$P(Z < x)$& 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379&0,500 \\ \hline\hline
$x$ &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55&\\
\hline
$P(Z < x)$ &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939&\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à  $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal  à  7 et inférieur ou égal à  15 \fg. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2013}}
L'entreprise \emph{Fructidoux} fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50~grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination \og compote allégée \fg. 

La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à -dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
 
L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F$_{1}$ et F$_{2}$.

\medskip
 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
La chaîne de production F$_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production F$_{1}$. Elle est cependant moins rapide.
 
Ainsi, dans la production totale, 70\,\% des petits pots proviennent de la chaîne F$_{1}$ et 30\,\% de la chaîne F$_{2}$.
 
La chaîne F$_{1}$ produit 5\,\% de compotes non conformes et la chaîne F$_{2}$ en produit 1\,\%.
 
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
 
$E$ : \og Le petit pot provient de la chaîne F$_{2}$ \fg 

$C$ : \og Le petit pot est conforme. \fg

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre\index{arbre de probabilités} pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F$_{1}$. \fg 
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $C$. 
\item Déterminer, à  $10^{-3}$ près, la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $C$ est réalisé.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On note $X$ la variable aléatoire qui, à  un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$, associe sa teneur en sucre.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $m_{1} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,006$. 

Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabularx}{1\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$\alpha$& $\beta$&$P(\alpha \leqslant X \leqslant \beta)$\\ \hline  
0,13 &0,15 &\numprint{0,0004}\\ \hline 
0,14 &0,16 &\numprint{0,0478}\\ \hline 
0,15 &0,17 &\numprint{0,4996} \\ \hline
0,16 &0,18 &\numprint{0,9044}\\ \hline 
0,17 &0,19 &\numprint{0,4996}\\ \hline 
0,18 &0,20 &\numprint{0,0478}\\ \hline 
0,19 &0,21 &\numprint{0,0004} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Donner une valeur approchée à  $10^{-4}$ près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$ soit conforme. 
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à  un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$, associe sa teneur en sucre.
 
On suppose que $Y$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $m_{2} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{2}$.
 
On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$ soit conforme est égale à  $0,99$.
 
Soit Z la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y - m_{2}}{\sigma_{2}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ? 
		\item Déterminer, en fonction de $\sigma_{2}$ l'intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à  l'intervalle [0,16~;~0,18]. 
		\item En déduire une valeur approchée à  $10^{-3}$ près de $\sigma_{2}$.
		 
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $0$ et d'écart-type $1$.
	\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$\beta$&$P(- \beta  \leqslant Z \leqslant \beta)$\\ \hline 
\numprint{2,4324} &0,985\\ \hline 
\numprint{2,4573} &0,986\\ \hline 
\numprint{2,4838} &0,987\\ \hline 
\numprint{2,5121} &0,988\\ \hline 
\numprint{2,5427} &0,989\\ \hline 
\numprint{2,5758} &0,990\\ \hline 
\numprint{2,6121} &0,991\\ \hline 
\numprint{2,6521} &0,992\\ \hline
\numprint{2,6968} &0,993\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\end{enumerate} 

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  