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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de baccalauréat sur la loi binomiale}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2012}}
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
On considère les événements suivants :

\setlength\parindent{3mm}
\begin{itemize}
\item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg, 
\item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg, 
\item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{\ldots}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}		 		
}
\end{center} 
		\item Calculer la probabilité de l'événement $E_{1}$. 
		\item On note $F$ l'événement \og Le candidat n'est pas recruté \fg.
		 
Démontrer que la probabilité de l'événement $F$ est égale à $0,93$.
	\end{enumerate} 
\item Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramétres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate} 		 
\item Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?

\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2012}}
Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
 
Une urne contient $k$ boules noires et 3 boules blanches. Ces $k + 3$ boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la régle de jeu suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; 
\item un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
\item un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans la partie A, on pose $k = 7$.
 
Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.
 
\begin{enumerate}
\item Un joueur joue une partie. On note $p$ la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ail tiré deux boules de couleurs différentes.
 
Démontrer que $p = 0,42$. 
\item Soit $n$ un entier tel que $n > 2$. Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et $p_{n}$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale de paramétres $n$ et $p$. 
		\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$, puis calculer $p_{10}$ en arrondissant au milliéme. 
		\item Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99\:\%.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans la partie B, le nombre $k$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. 

Un joueur joue une partie.
 
On note $Y_{k}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité : $p\left(Y_{k} = 5\right) = \dfrac{6k}{(k + 3)^2}$. 
		\item …crire la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y_{k}$ \end{enumerate}
\item On note E$\left(Y_{k}\right)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_{k}$ 

On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E$\left(Y_{k}\right)$ est strictement positive. 

Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur. 
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  