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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur l'intégration}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord, mai 2014}}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\]\index{fonction exponentielle}
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$  dans un repère orthogonal du plan.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Positions relatives de \boldmath$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$\unboldmath}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:$g(x) > 0$. 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$,  $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, la distance $MN$ est égale à $g(x)$. 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $g'(x)$. 
\item Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ que l'on déterminera.
 
En donner une interprétation graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Étude d'une aire}

\medskip
 
On considère la fonction $\mathcal{A}$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} le domaine dont l'aire est donnée par $\mathcal{A}(2)$. \index{aire et intégrale}
\item Justifier que la fonction $\mathcal{A}$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\item Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $\mathcal{A}(x)$. 
\item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\mathcal{A}(x) = 2$ ? 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.2)(\n,1.25)}
\multido{\n=-3.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,-3)(4.5,1.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{5 2.71828 x exp div 3 2.71828 x 2 mul exp div sub x add 3 sub}
\uput[ul](4,1.15){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](4,1){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2014}}

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1.
 
On note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par 

\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on définit le nombre $I_{n}$ par 

\[I_{n} = \int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item 

Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l'aide d'un logiciel sont tracées ci-après. 


\begin{center}
\psset{unit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1)
\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 3 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 4 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 5 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 10 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 50 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div}
\uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$}
\uput[d](0.4,0.86){$f_{2}$}
\uput[d](0.5,0.9){$f_{3}$}
\uput[l](0.96,0.9){$f_{50}$}
\uput[r](0.98,0.93){$f_{200}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\index{intégrales}
En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite $\left(I_{n}\right)$ l'existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item Calculer la valeur exacte de $I_{1}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 

\[\dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1.\] 

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $I_{n} \leqslant 1$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
 
\[1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

\item  Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\text{d}x$. 
\item À l'aide des questions précédentes, démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\item On considère l'algorithme suivant :
\index{algorithme}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}&  $n,\:p$ et $k$ sont des entiers naturels\\
					& $x$ et $I$ sont des réels\\
					&\\ 
\textbf{Initialisation :}& $I$ prend la valeur $0$\\
					&\\ 
\textbf{Traitement :}& 	Demander un entier $n \geqslant 1$\\
					& Demander un entier $p \geqslant 1$\\ 
					&Pour $k$ allant de 0 à $p - 1$ faire :\\ 
					&\hspace{0,5cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{k}{p}$\\ 
					&\hspace{0,5cm} $I$ prend la valeur $I + \dfrac{1}{1 + x^n} \times \dfrac{1}{p}$\\ 
					&Fin Pour \\
					&Afficher $I$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l'on entre les valeurs $n = 2$ et $p = 5$ ?
		 
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme. Les valeurs de $I$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$k$& $x$&$I$\\ \hline 
0&&\\ \hline
&&\\ \hline
&&\\ \hline
&&\\ \hline
4&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Expliquer pourquoi cet algorithme permet d'approcher l'intégrale $I_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2014}}
\textbf{Partie A} 

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par  $\mathcal{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$  définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f_1(x) = x +  \text{e}^{-x}.\]

\index{fonction exponentielle}
\begin{enumerate}
\item  Justifier que $\mathcal{C}_1$ passe par le point A de coordonnées (0~;~1). 
\item  Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On précisera les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L’objet de cette partie est d'étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : \[I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x.\] 


\begin{enumerate}
\item  Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ , pour tout entier naturel $n$, on note 
$\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n $ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}. \]

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe  $\mathcal{C}_n$ pour plusieurs valeurs de l'entier $n$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = 1$. 

\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.4)(1.3,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.3,-0.1)(1.4,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,1.4)\uput[r](1,0.5){$\mathcal{D}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](0,1){A}
%\multido{\n=1+1}{4}{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.2}{1.3}{2.71828 x \n mul  neg exp x add}}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x   neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 2 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 3 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 4 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 6 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 15 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 60 mul  neg exp x add}
\uput[u](0.6,1.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[u](0.6,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[u](0.5,0.7){$\mathcal{C}_{3}$}\uput[u](0.4,0.6){$\mathcal{C}_{4}$}
\uput[u](0.3,0.45){$\mathcal{C}_{6}$}\uput[u](0.2,0.25){$\mathcal{C}_{15}$}
\uput[u](0.1,0.15){$\mathcal{C}_{60}$}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement l'intégrale $I_{n}$. 
		\item En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de   variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie   pour conjecturer. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, \[I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}x.\] 
 

En déduire le signe de $I_{n+1} - I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. 
\item Déterminer l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$. 
\end{enumerate}



\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  