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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur les intervalles de fluctuation}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2014}}
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif. 

On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$.

Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.

\medskip

\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(X \geqslant 3)$. 
		\item Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant  h)$. 
		\item Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ? 
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à\:} \boldmath $10^{-3}$\unboldmath
  
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1\,\%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. 

Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation. 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2014}}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près}

\medskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
Un ostréiculteur élève deux espèces d'huîtres : \og la plate \fg{} et \og la japonaise \fg. Chaque année, les huîtres plates représentent 15\,\% de sa production.\index{probabilités}
 
Les huîtres sont dites de calibre \no 3 lorsque leur masse est comprise entre 66~g et 85~g.
 
Seulement 10\,\% des huîtres plates sont de calibre \no 3, alors que 80\,\% des huîtres japonaises le sont.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l'ostréiculteur. On suppose que toutes les huitres ont la même chance d'être choisies.
 
On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $J$ : \og l'huître prélevée est une huître japonaise \fg, 
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og l'huître prélevée est de calibre \no 3 \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.\index{arbre} 
		\item Calculer la probabilité que l'huître prélevée soit une huître plate de calibre \no 3. 
		\item Justifier que la probabilité d'obtenir une huître de calibre \no 3 est $0,695$. 
		\item Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre \no 3. 
Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ?
	\end{enumerate} 
\item La masse d'une huître peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 90$ et d'écart-type $\sigma = 2$. \index{loi normale}
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité que l'huître prélevée dans la production de l'ostréiculteur ait une masse comprise entre 87~g et 89~g. 
		\item Donner $P(X \geqslant 91)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
 
Cet ostréiculteur affirme que 60\,\% de ses huîtres ont une masse supérieure à 91~g.
 
Un restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d'huîtres mais il voudrait, auparavant, vérifier l'affirmation de l'ostréiculteur.

\medskip
 
Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur 10 douzaines d'huîtres qu'on considèrera comme un échantillon de $120$~huîtres tirées au hasard. Sa production est suffisamment importante pour qu'on l'assimile à un tirage avec remise.
 
Il constate que $65$ de ces huîtres ont une masse supérieure à 91~g.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $120$~huîtres associe la fréquence de celles qui ont une masse supérieure à 91~g. 

Après en avoir vérifié les conditions d'application, donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la variable aléatoire $F$.\index{intervalle de fluctuation} 
\item Que peut penser le restaurateur de l'affirmation de l'ostréiculteur ?
\end{enumerate} 

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord, juin 2014}}
\textbf{Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath près.}

\medskip
 
Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

\medskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conditionnement des pots}}

\medskip
 
Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50 mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale 55~mL.
 
On dit qu'un pot de crème est non conforme s'il contient moins de 49~mL de crème.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu  = 50$ et d'écart-type $\sigma =  1,2$.\index{loi normale} 

Calculer la probabilité qu'un pot de crème soit non conforme. 
\item La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l'écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu =  50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu'un pot choisi au hasard soit non conforme. 
 
On note $\sigma'$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X - 50}{\sigma'}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$. 
		\item Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \leqslant u) = 0, 06$.
		\item En déduire la valeur attendue de $\sigma'$.
	\end{enumerate} 
\item Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème. 

On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d'atteindre l'objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l'échantillon est $0,06$.
 
Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.\index{loi binomiale} 
		\item Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B : Campagne publicitaire}}

\medskip
 
Une association de consommateurs décide d'estimer la proportion de personnes satisfaites par l'utilisation de cette crème.
 
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur $140$~ personnes interrogées, $99$ se déclarent satisfaites.
 
Estimer, par intervalle de confiance au seuil de $95$\,\%, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.




\label{fin}
\end{document}  