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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Bac S : Métropole juin 2012}}\end{center}
 
\emph{Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.}

\medskip
 



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x + 1} + \ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right)$.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$.
 
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par $u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n$.

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2.5cm}p{6cm}|}\hline 
Variables:&$i$ et $n$ sont des entiers naturels.\\
& $u$ est un réel.\\
Entrée:&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\
Initialisation:& Affecter à $u$ la valeur 0.\\
Traitement:&Pour $i$ variant de 1 à $n$.\\
&\hspace{0,5cm}$\left\vert \text{Affecter à}\: u\: \text{la valeur} \:u + \dfrac{1}{i}\right.$\\
Sortie : &Afficher $u$.\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}
 
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n = 3$. 
\item Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$. 
\item Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &100 &\numprint{1000} &\numprint{1500} &\numprint{2000}\\ \hline 
$u_{n}$&0,697&0,674& 0,658 &0,647 &0,638 &0,632 &0,626 &0,582 &0,578 &0,578& 0,577\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence. 
\end{enumerate}

\bigskip
 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

\medskip
 
Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.
 
Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n+1} - u_{n} = f(n)\]
 
où $f$ est la fonction définie dans la partie A. 

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un entier strictement positif. 

Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x \geqslant 0$.

En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$.

Démontrer l'inégalité 	$\ln (k + 1) - \ln k \leqslant  \dfrac{1}{k}$ \quad (1). 
		\item Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[\ln (n + 1) \leqslant  1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}.\]
  
		\item En déduire que pour tout entier strictement positif $n,u_{n} \geqslant  0$.
	\end{enumerate} 
\item  Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite. 
\end{enumerate}

\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  