\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%\lfoot{Contrôle commun \no  4 TS1-TS2}
%\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
%11 avril 2015}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : corrigé du contrôle commun \no 4 (4 heures)}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2013}}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A - Algorithmique et conjectures }}


\medskip

%\parbox{5cm}{Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.
%
%Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill
%\parbox{8.5cm}{
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
%Variables&$n$ est un entier naturel \\
%&$u$ est un réel \\
%\hline
%Initialisation &Affecter à  $n$ la valeur 1\\
%&Affecter à  $u$ la valeur 1,5 \\
%\hline
%Traitement &Tant que $n<9 $\\
%&\hspace*{1cm}Affecter à  $u$ la valeur \dots\\ 
%&\hspace*{1cm}Affecter à  $n$ la valeur \dots\\
%%\hline
%&Fin Tant que \\
%\hline
%Sortie&Afficher la variable $u$ \\
%\hline
%\end{tabularx}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
Les deux lignes à compléter sont :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Affecter à  $u$ la valeur $\dfrac{n \times u + 1}{2(n + 1)}$

\item Affecter à  $n$ la valeur $n + 1$. 

\end{enumerate}

\item %Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à  $u_{9}$ ?
Il faut rajouter avant le Fin Tant que : \og \textbf{Afficher la variable $\mathbf{u}$} \fg. 
\item  %Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
%\hline
%$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &\np{0,2063} &\np{0,1693}&\dots&\np{0,0102} &\np{0,0101} \\
%\hline
%\end{tabularx}

\medskip

%Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
La suite $\left(u_{n}\right)$ semble être décroissante vers $0$.   
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B - Étude mathématique }}

\medskip

%On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} - 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 
Pour tout entier $n \geqslant 1$, $v _{n+1} = (n+1)u_{n+1} - 1 = (n + 1) \times \dfrac{n \times u_{n} + 1}{2(n + 1)} - 1 = \dfrac{n \times u_{n} + 1}{2} - \dfrac{2}{2} = \dfrac{n \times u_{n} - 1}{2} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}v_{n}}}$.

Cette relation montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est \textbf{géométrique} de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme :

$v_{0} = 1 \times u_{1} - 1 = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$.

\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$.
On a donc pour tout entier $n \geqslant 1$, $v _{n+1} = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n - 1} =\left( \dfrac{1}{2}\right)^n=0;5^n$.

Or $v _{n} = nu_{n} - 1 \iff u_{n} = \dfrac{v_{n} + 1}{n} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1 + 0,5^n}{n}}}$.

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Comme $- 1 < \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\lim_{n \to + \infty}0,5^n = 0$, et comme $\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$, on a donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0}}$. 

\item %Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.

%En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : 

$u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{1 + (0,5)^{n+1}}{n+1} - \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n} = \dfrac{n + n\times 0,5^{n + 1}- (n + 1) - (n + 1) \times 0,5^n}{n(n + 1)} = 
\dfrac{- 1 + 0,5n\times 0,5^n - (n + 1) \times 0,5^n }{n(n + 1)} \\
= \dfrac{- 1 + 0,5^n(0,5n - n - 1)}{n(n + 1)} 
= \dfrac{- 1  + 0,5^n(- 0,5n - 1)}{n(n + 1)} = \boxed{\textcolor{red}{- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}}}$.

Les deux termes du quotient sont supérieurs à  zéro, donc pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : 

$u_{n+1}- u_{n} < 0$, ce qui démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} (vers zéro).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C - Retour à  l'algorithmique }}

\medskip

%En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$. 
\begin{tabularx}{0,6\linewidth}{|l|X|} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\\hline
Initialisation &Affecter à  $n$ la valeur 1\\
&Affecter à  $u$ la valeur 1,5 \\\hline
Traitement &Tant que $u \geqslant 0,001$\\
&\hspace*{1cm}Affecter à  $u$ la valeur $\dfrac{n \times u + 1}{2(n + 1)}$\\ 
&\hspace*{1cm}Affecter à  $n$ la valeur $n + 1$\\ \hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie&Afficher la variable $n$ \\ \hline
\end{tabularx}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2011}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] \og ¿ quel niveau est votre bureau ? \fg 
%\item[$\bullet~~$] \og Empruntez-vous l'ascenseur ou l'escalier pour vous y rendre ? \fg 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Voici les réponses :
% 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 225 personnes utilisent l'ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1\up{er} niveau, 75 vont au 2\up{e} niveau et 100 vont au 3\up{e} niveau. 
%\item[$\bullet~~$]Les autres personnes utilisent l'escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2\up{e} niveau, les autres vont au 1\up{er} niveau.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On choisit au hasard une personne de cette population.
% 
%On pourra considérer les évènements suivants :
% 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item N$_{1}$ : \og La personne va au premier niveau. \fg 
%\item N$_{2}$ : \og La personne va au deuxième niveau. \fg 
%\item N$_{3}$ : \og La personne va au troisième niveau. \fg
%\item E\phantom{$_{1}$} : \og La personne emprunte l'escalier. \fg
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.[]
Sur 300 personnes, 225 utilisent l'escalier ; $p\left(\overline{\text{E}}\right) = \dfrac{225}{300} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$. D'où 

$p(\text{E}) = 1 - p\left(\overline{\text{E}}\right) =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{4}}}$.

Sur les 225 personnes empruntant l'ascenseur la répartition 50, 75, 100 suivant les étages conduit à :

$p_{\overline{\text{E}}}\left(\text{N}_{1}\right) = \dfrac{50}{225} = \dfrac{2}{9}~;~ p_{\overline{\text{E}}}\left(\text{N}_{2}\right) = \dfrac{75}{225} = \dfrac{3}{9}\\
p_{\overline{\text{E}}}\left(\text{N}_{3}\right) = \dfrac{100}{225} = \dfrac{4}{9}$

Sur les 75 personnes empruntant l'escalier, on obtient de même :

\[p_{\text{E}}\left(\text{N}_{1}\right) = \dfrac{1}{3}, \quad p_{\text{E}}\left(\text{N}_{2}\right) = \dfrac{2}{3}, \quad p_{\text{E}}\left(\text{N}_{3}\right) = \dfrac{0}{3}\]

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$E$}\taput{ $\frac14$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N_1$}\taput{ $2/3$}
\Tdot~[tnpos=r]{$N_1$}\taput{ $1/3$}
\Tdot~[tnpos=r]{$N_3$}\tbput{ $0$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E}$}\tbput{ $\frac34$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N_1$}\taput{ $2/9$}
\Tdot~[tnpos=r]{$N_2$}\taput{ $3/9=1/3$}
\Tdot~[tnpos=r]{$N_3$}\tbput{ $4/9$}
}
}


\end{center}


\item  

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la probabilité que la personne aille au 2\up{e} niveau par l'escalier est  égale à $\dfrac{1}{12}$. 
On a $p\left(\text{E} \cap \text{N}_{2} \right) = p(\text{E}) \times p_{\text{E}}\left(\text{N}_{2}\right) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{12}}}$. 

		\item %Montrer que les évènements N$_{1}$, N$_{2}$ et N$_{3}$ sont équiprobables.
On applique les formules des probabilités totales :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p\left(N_1\right)=p_E\left(N_1\right)\times p(E)+p_{\overline{E}}\left(N_1\right)\times p\left(\overline{E}\right)\\
=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$

\item $p\left(N_2\right)=p_E\left(N_2\right)\times p(E)+p_{\overline{E}}\left(N_2\right)\times p\left(\overline{E}\right)\\
=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$

\item $p\left(N_3\right)=p_E\left(N_3\right)\times p(E)+p_{\overline{E}}\left(N_3\right)\times p\left(\overline{E}\right)\\
=\dfrac{1}{4}\times 0+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{4}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$
\end{enumerate}

Les évènements N$_{1}$, N$_{2}$, N$_{3}$ sont bien \textbf{équiprobables}.
 
		\item %Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2\up{e} niveau.
Il faut trouver : $p_{\text{N}_{2}}(\text{E}) = \dfrac{p\left(\text{E} \cap \text{N}_{2}\right)}{p\left(\text{N}_{2}\right)} = \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{4}}}$.
	\end{enumerate} 
\item %On interroge désormais 20~personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
 
%On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20~personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2\up{e}	niveau.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Une personne prise au hasard a une probabilité d'aller au 2\up{e} étage égale à \\
$p\left(\text{N}_{2} \right) =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{3}}}$.

Les  réponses des 20 étant  \textbf{indépendantes} les unes des autres, la variable aléatoire $X$ suit une \textbf{\textcolor{red}{loi binomiale}} de paramètres $p = \dfrac{1}{3}$ et $n = 20$.

		\item %Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2\up{e} niveau.
		On a donc :
		
		\[p(X = 5) = \binom{20}{5} \times \left(\dfrac{1}{3} \right)^{5} \times \left(1 - \dfrac{1}{3} \right)^{20 - 5} = \boxed{\textcolor{red}{\numprint{15504}\times \dfrac{2^{15}}{3^{20}}\\
		 \approx \numprint{0,1457}}}.\] 
		
		\item %En moyenne sur les 20~personnes, combien vont au 2\up{e} niveau ?
La moyenne pour les 20 personnes d'aller au 2\up{e} étage est égale à \textbf{l'espérance} mathématique de la variable aléatoire $X$, soit : \fbox{\textcolor{red}{E$(X) = n \times p = 20 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{3} \approx 7$}}.

Un peu moins de 7 personnes sur 20 vont au 2\up{e} étage.
	\end{enumerate}
%Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
 
%Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement \og au moins un personne va au 2\up{e} niveau \fg soit supérieure ou égale à $0,99$.
\item On reprend la variable aléatoire suivant la loi binomiale de probabilité $\dfrac{1}{3}$ avec $n$ personnes.

Il faut trouver : $p(X \geqslant 1) = 1 - p (X = 0)$ soit  $p(X \geqslant 1) = 1 - \left( \dfrac{2}{3}\right)^n$.

La condition est réalisée si :

\[1 - \left( \dfrac{2}{3}\right)^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant \left( \dfrac{2}{3}\right)^n \iff \ln 0,01 \geqslant n \ln \left( \dfrac{2}{3}\right)\]
\[(\text{par croissance de la fonction ln}) \iff \dfrac{\ln 0,01}{\ln \frac{2}{3}} \leqslant n\]
Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln \frac{2}{3}} \approx 11,3$. Il faut donc prendre \fbox{\textcolor{red}{$n$ au minimum égal à 12}}.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : sur 12 personnes,  au moins une va au niveau 2 avec une probabilité supérieure ou égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\end{multicols}


\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2013}}
\emph{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}

\bigskip
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip
  
%Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe.
\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3.5)(5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=2pt,linecolor=blue]{-4.5}{1.55}{2.71828 x exp}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1.5}{5}{1 2.71828 x neg exp sub}
\uput[dr](0,0){O}
\rput(1.05,3.5){$\mathcal{C}_{f}$}
\rput(2.4,0.7){$\mathcal{C}_{g}$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-4}{4}{0.186374 x 1.68 add mul 0.186374 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-4}{4}{2.15977 x 0.77 sub mul 2.15977 add}
\end{pspicture*}

\end{center}

\bigskip
 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip 

%Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes. 
%
%On note $\mathcal{D}$ l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $a$ et tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B d'abscisse $b$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est égal à $f'(a)$. Or $f'(x)  = \text{e}^{x}$, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(a) = \text{e}^{a}}}$. 

		\item %Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B.
De même le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B est égal à $g'(b)$. Or $g'(x) = - \left(- \text{e}^{-x}\right)$, donc  $g'(b) = \boxed{\textcolor{red}{\text{e}^{- b}}}$.

		\item %En déduire que $b = - a$.
Si les deux tangentes sont égales, les coefficients directeur de leurs équations réduites sont égaux, donc :

$f'(a) = g'(b) \iff \text{e}^{a} = \text{e}^{- b}$ et par croissance de la fonction logarithme népérien : $a = - b \iff \boxed{\textcolor{red}{b = - a}}$.

	\end{enumerate} 
	
\item %Démontrer que le réel $a$ est solution de l'équation 

%\[2( x -1)\text{e}^x + 1 = 0.\]
Une équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est égale à :

$y - \text{e}^a = \text{e}^{a}(x - a) \iff \boxed{\textcolor{red}{y = x\text{e}^{a} + \text{e}^a(1  - a)}}$.

Une équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B est égale à :

$y - \left(1 - \text{e}^{- b}\right) = \text{e}^{- b}(x - b) \iff \boxed{\textcolor{red}{y = x\text{e}^{ - b} + 1 - \text{e}^{- b} - b\text{e}^{- b}}}$.

En remplaçant $- b$ par $a$ :

$y = x\text{e}^{a} + 1 - \text{e}^{a} + a\text{e}^{a} \iff \boxed{\textcolor{red}{y = x\text{e}^{a} + 1 + \text{e}^{a}(a - 1)}}$.

Si les deux tangentes sont égales, leurs équations réduites sont les mêmes. On a déjà vu l'égalité des coefficients directeurs. Les ordonnées à l'origine sont aussi les mêmes soit :

$\text{e}^a(1  - a) = 1 + \text{e}^{a}(a - 1) \iff \text{e}^a(2  - 2a) = 1 \iff 2(a - 1)\text{e}^x + 1 = 0$.

Donc $a$ est solution de l'équation dans $\mathbb{R}$ :

\[\boxed{\textcolor{red}{2( x -1)\text{e}^x + 1 = 0}}.\] 
\end{enumerate} 
\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

\medskip
 
%On considère la fonction $\varphi$ définie sur  $\R$ par 
%
%\[\varphi(x) = 2(x - 1)\text{e}^x + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
		Sur $\mathbb{R}$, \: $\varphi(x) = 2x\text{e}^x - \text{e}^x + 1$.

On sait que $\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et $\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, d'où par somme de limites :

$\lim_{x to - \infty} \varphi(x) = 1$.

La droite d'équation $y = 1$ est \textbf{asymptote horizontale} à la courbe représentative de $\varphi$.

On a $\lim_{x to + \infty} (x - 1) = + \infty$ et  $\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, d'où par somme de limites : $\lim_{x \to + \infty} \varphi(x) = \boxed{\textcolor{red}{+ \infty}}$.

		\item %Calculer la dérivée de la fonction $\varphi$, puis étudier son signe.
$\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c'est une Somme de fonctions dérivable sur $\mathbb{R}$ :

$\varphi'(x) = 2\text{e}^x + 2(x - 1)\text{e}^x = \boxed{\textcolor{red}{2x\text{e}^x}}$.

Comme,  quel que soit $x \in \mathbb{R}$; \: $\text{e}^x > 0$, le signe de $\varphi'(x)$ est celui de $x$. Donc sur $]- \infty~;~0[, \, \varphi'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur cet intervalle et sur $]0~;~+ \infty[$, \:$\varphi'(x) > 0$ : la fonction $\varphi$ est croissante sur cet intervalle. D'où le tableau de variations :  
		\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $\varphi$ sur $\R$. Préciser la valeur de $\varphi(0)$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
\varphi '(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{\varphi(x)}&\h{1}&\d&-1&\c&\h{\pI}\\\hline
\end{variations}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\R$.
Sur $]- \infty~;~0]$ la fonction $\varphi$ est continue et décroissante à valeurs dans $[- 1~;~1]$. Comme $0 \in  [- 1~;~1]$ il existe un réel unique $\alpha$ de $]- \infty~;~0]$ tel que $\boxed{\textcolor{red}{f(\alpha) = 0}}$ (théorème des valeurs intermédiaires).

Le même raisonnement sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ montre qu'il existe un réel unique de cet intervalle $\beta$ tel que $\boxed{\textcolor{red}{f(\beta) = 0}}$.

Donc l'équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement \textbf{deux} solutions dans $\mathbb{R}$. 
		\item %On note $\alpha$ la solution négative de l'équation $\varphi(x) = 0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation.
		 
%À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième.
La calculatrice donne successivement :

$\varphi(- 2) \approx 0,18$ et $\varphi(- 1) \approx -0,47$, donc $- 2 < \alpha < - 1$ ;

$\varphi(- 1,7) \approx 0,013$ et $\varphi(- 1,6) \approx -0,05$, donc $- 1,7 < \alpha < - 1,6$ ;

$\varphi(- 1,68) \approx 0,001$ et $\varphi(- 1,67) \approx -0,005$, donc $- 1,68 < \alpha < - 1,67$ ;

Conclusion : $\boxed{\textcolor{red}{\alpha \approx - 1,68}}$ au centième près.

De la même façon on obtient $\boxed{\textcolor{red}{\beta \approx 0,77}}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Partie D}}

\medskip

%Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B.
% 
%On note E le point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\alpha$ et F le point de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $- \alpha$ ($a$ est le nombre réel défini dans la partie C).

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point E.
On sait que E appartient à la droite (EF) et à la courbe représentative  $\mathcal{C}_{f}$. E$\left(\alpha~;~\text{e}^{\alpha}\right)$ et F$\left(- \alpha~;~1 - \text{e}^{-\alpha}\right)$.

L'équation de la tangente en E à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est :
$\boxed{\textcolor{red}{y - \text{e}^{\alpha} = \text{e}^{\alpha}(x - \alpha)}}$.

F appartient à cette tangente si et seulement si :

$1 - \text{e}^{-\alpha} - \text{e}^{\alpha} = \text{e}^{\alpha}(- \alpha - \alpha) \iff 1 - 2\text{e}^{-\alpha} = - 2\text{e}^{\alpha} \iff 2(\alpha - 1)\text{e}^{\alpha} + 1 = 0$ ce qui a été démontré à la question 2. b. de la partie C.

\textbf{Conclusion} : la droite (EF) est bien la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $\alpha$.

\item %Démontrer que (EF) est tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point F.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $- \alpha$ est $\text{e}^{- (- \alpha)} = \text{e}^{\alpha}.$

On a vu dans la question précédente que la droite (EF) a pour coefficient directeur $\text{e}^{\alpha}$ et contient le point F.

\textbf{Conclusion} la droite (EF) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $- \alpha$. 
\end{enumerate}


\end{multicols}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{III (spécialité)}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\bigskip
On pose $M_p=2^p-1$.
\begin{enumerate}
\item $M_2=\boxed{\textcolor{red}{3}}$~;~$M_3=\boxed{\textcolor{red}{7}}$~;~$M_5=\boxed{\textcolor{red}{31}}$~;~$M_7=\boxed{\textcolor{red}{127}}$.

\item Pour savoir si $M_7=127$ est premier, on le divise par les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{127}$, donc inférieurs ou égaux à 11.

2, 3, 5, 7 et 11 ne divisent pas $M_7$, donc \textcolor{red}{$M_7$ est premier}.

\item On considère $M_n$ avec $n$ naturel entier non premier.
\begin{enumerate}
\item Pour $x\in\mathbb{N}^*$, $1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^n-1}{x-1}}}$ (somme des termes consécutifs d'une suite géométrique)

\item Puisque $x$ est entier, $1+x=\cdots+x^{n-1}$ est un entier, donc $x-1$ \textbf{divise} $x^n-1$.

\item $n$ n'est pas premier, donc $n$ possède un diviseur propre.

$M_n=2^n-1=2^{d\times \frac nd}-1=\boxed{\textcolor{red}{\left(2^d\right)^\frac nd-1}}$.

En posant $x=2^d$, le résultat précédent montre que $M_n$ est divisible par $x-1$, c'est-à-dire par $2^d-1$.
\end{enumerate}

\item Si $n$ est non premier, alors $M_n$ n'est pas premier, puisque divisible par $2^d-1$, où $d$ est un diviseur de $n$.\\
La contraposée de cette implication est Si $M_n$ premier, alors $n$ est premier.

Une condition \textbf{nécessaire} pour que $M_n$ soit premier est que \fbox{\textcolor{red}{$n$ soit premier}}.

\item $M_11=2^{11}-1=2047=23\times 89$, donc $M_{11}$ n'est pas premier, bien que 11 le soit.

La condition précédente ($n$ premier) n'est donc \textbf{\textcolor{red}{pas suffisante}}.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\bigskip


\begin{enumerate}
\item $M_{13}=\numprint{8191}$ ; pour savoir si ce nombre est premier, on regarde s'il est divisible par un nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{\numprint{8191}}$, c'est-à-dire à 90.

D'après la propriété admise, un diviseur éventuel est premier et de la forme $\boxed{\textcolor{red}{2\alpha p+1}}$ avec $p=13$, donc de la forme $26\alpha+1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $\alpha=1$, $26\alpha+1=26$ non premier

\item Pour $\alpha=2$, $26\alpha+1=53\leqslant 90$  premier.

\item Pour $\alpha=3$, $26\alpha+1=79\leqslant 90$  premier.

\item Pour $\alpha\geqslant 3$, $26\alpha+2>90$
\end{enumerate}

\item Il suffit donc de voir si $\numprint{8191}$ est divisible par 53 ou 79 ; ce n'est pas le cas, donc $M_{13}$ est \textbf{\textcolor{red}{premier}}.


\item $M_{11}$ n'est pas premier (voir partie A 5.).

On peut le vérifier en utilisant le résultat de la partie B.

Un diviseur éventuel de $M_{11}=\numprint{2047}$ est un nombre premier de la forme $2\times \alpha\times 11+1$, donc $22\alpha+1$ et inférieur ou égal à $\sqrt{\numprint{2047}}$, c'est-à-dire inférieur ou égal à 45.

On trouve 23. 

On retrouve $M_{11}=\numprint{2047}=23\times 89$ donc $M_{11}$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas premier}}.
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2013}}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~1]$ par : 
%
%\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]
%
%On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ 1]$, $g(x) >0$. \\
%\parbox{8cm}{On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d'autre part entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 $.\\
%La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-contre.}\hfill\parbox{8cm}{
%
%\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
%\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.5,2.2)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
%\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
%\def\f{1+EXP(-x)}
%\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
%\def\inf{0} \def\sup{1}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
%}
%\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}\\
%\uput[u](0.5,1){$\mathscr{D}$}
%\uput[d](1.2,0){$x$}
%\uput[l](0,2){$y$}
%\uput[ul](0,0){0}
%\end{pspicture*}}
%
%\bigskip

%Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de màªme aire, d'abord par une droite parallèle à  l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à  l'axe des abscisses (partie B).

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

%\parbox{8cm}{Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$.\\
%On note $\mathscr{A}_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe (O$x$),les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = 1$.\\ 
%$\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d'aire. }\hfill
%\parbox{8cm}{
%
%\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
%\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.4,2.2)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
%\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
%\def\f{1+EXP(-x)}
%\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
%\def\inf{0} \def\sup{0.4}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
%}
%\def\inf{0.4} \def\sup{1}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange, hatchangle=-45]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
%}
%\psline(0.4,0)(0.4,2)
%\uput[u](0.2,1){$\mathscr{A}_{1}$}
%\uput[u](0.6,1){$\mathscr{A}_{2}$}
%\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}
%\uput[d](0.4,0){$a$}
%\uput[d](1.2,0){$x$}
%\uput[l](0,2){$y$}
%\uput[ul](0,0){0}
%
%\end{pspicture*}}

\begin{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $\mathscr{A}_{1}=a-\mathrm{e}^{-a}+1$.
Une primate de $g$ est $G: x\mapsto x - \text{e}^{- x}$.

Donc $\mathscr{A}_{1} = \displaystyle \int_{0}^a g(x)\:\text{d}x = [G(x)]_{0}^a = \left[x - \text{e}^{- x} \right]_{0}^a = a - \text{e}^{- a} - \left(0 - \text{e}^{- 0} \right) = \boxed{\textcolor{red}{a + 1 - \text{e}^{- a}}}$.

\item %Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
$\mathscr{A}_{2
} = \int_{a}^1 g(x)\:\text{d}x = [G(x)]_{a}^1 = \left[x - \text{e}^{- x} \right]_{a}^1 = 1 - \text{e}^{- 1} - \left(a - \text{e}^{- a} \right) = \boxed{\textcolor{red}{1 - a + \text{e}^{- a} - \text{e}^{- 1}}}$.
\end{enumerate}

\item %Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$ par : 

%\[f(x)=2x - 2\,\mathrm{e}^{-x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]

\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$.
$f$ est dérivable sur sur [0~;~1] comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle :  

$\boxed{\textcolor{red}{f'(x) = 2 + 2\text{e}^{- x}}}$

Les deux termes de cette somme sont positifs, donc sur [0~;~1], $f'(x) > 0$ et la fonction $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur [0~;~1] de $f(0) =  - 2 + \dfrac{1}{\text{e}}$ à  $f(1) = 2 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. D'où le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1\\
\hline
f'(x)&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&-2+\dfrac{1}{\mathrm{e}}&\c&\h{2-\dfrac{1}{\mathrm{e}}}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $[0~;~1]$ en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
Sur [0~;~1], $f$ croît de $f(0) \approx -1,6$ à  $f(1) \approx 1,6$. Comme elle est croissante  et continue elle s'annule une seule fois sur l'intervalle [0~;~1] pour un réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)  = 0$ (théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction monotone).

La calculatrice permet de trouver que :

$0,4 < \alpha < 0,5$, puis $0,45 < \alpha < 0,46$ et enfin $0,452 < \alpha < 0,453$.

Donc $\boxed{\textcolor{red}{\alpha \approx 0,45}}$ au centième près.
\end{enumerate}

\item %En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
On a :

$\mathscr{A}_{1} = \mathscr{A}_{2} \iff a + 1 - \text{e}^{- a} = 1 - a + \text{e}^{- a} - \text{e}^{- 1} \iff 2a - \text{e}^{- a} + \text{e}^{- 1} = 0$, ce qui signifie que $a$ est une solution de l'équation $f(x) = 0 $ sur [0~;~1].

On a vu que cette solution est égale à  $\alpha$.

Finalement les aires sont égales pour $\boxed{\textcolor{red}{a = \alpha \approx 0,45}}$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

%Soit $b$ un réel positif.
%
%Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de màªme aire par la droite d'équation $y=b$. On admet qu'il existe un unique réel $b$ positif solution. 
\begin{enumerate}
\item %Justifier l'inégalité $b < 1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. On pourra utiliser un argument graphique. 
On a $g(0) = 1 + 1 = 2$. Il est donc évident que l'aire du domaine $\mathcal{D}$ est inférieure à  $2 \times 1 = 2$.

Comme $g(1) = 1 + \text{e}^{- 1}=1+\dfrac{1}{\mathrm{e}}$, si $b \geqslant 1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$, chacune des deux 	aires serait supérieure à  1 ce qui est impossible.

 Donc $\boxed{\textcolor{red}{b < 1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}}}$.
 
\item %Déterminer la valeur exacte du réel $b$.
L'aire du domaine du bas est égale à  $b \times 1 = \boxed{\textcolor{red}{b}}$ qui est égale à  la demi-aire de $\mathcal{D}$.

On a donc :

$b = \frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x  = \frac{1}{2}[G(x)]_{0}^1 = \frac{1}{2}\left[x - \text{e}^{- x}\right]_{0}^1\\
 = \frac{1}{2}\left[1 - \text{e}^{- 1} + \text{e}^0 \right]$.
 
Finalement $b = \frac{1}{2}\left(2 - \text{e}^{- 1}\right) =\boxed{\textcolor{red}{ 1 - \frac{\text{e}^{- 1}}{2} \approx 0,816}}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  