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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exponentielle complexe}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Forme exponentielle des nombres complexes}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition :}}
Pour tout nombre réel $\theta$, on pose : $\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$.\\
Si $z$ est un nombre complexe non nul de module $\rho$ et d'argument $\theta$, on appelle forme exponentielle de $z$ l'écriture $z=\rho e^{i\theta}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :} }\\
Soit $f$ la fonction définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ par : $f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$. On a : $f(\theta+\theta')=f(\theta)f(\theta')$. La fonction $f$ vérifie l'équation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle, ce qui est une première justification de cette écriture sous forme exponentielle.\\

\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété : }}
Soient $\rho e^{i\theta}$ et $\rho'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes non nuls, notés respectivement $z$ et $z'$.\\
\begin{enumerate}
\item $zz'=\rho e^{i\theta}\times \rho'e^{i\theta'}=\rho\rho'e^{i(\theta+\theta')}$
\item $\frac{1}{z}=\frac{1}{\rho e^{i\theta}}=\frac{1}{\rho}e^{-i\theta}$
\item $\frac{z'}{z}=\frac{\rho 'e^{i\theta'}}{\rho e^{i\theta}}=\frac{\rho}{\rho'}e^{i(\theta'-\theta)}$
\item $z^n=(\rho e^{i\theta})^n=\rho^ne^{in\theta}$
\item $\overline{z}=\overline{\rho e^{i\theta}}=\rho e^{-i\theta}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

La démonstration repose sur les calculs faits avec la notation trigonométrique.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque }}: La formule qu'Euler a fait graver sur sa tombe est \huge\[\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1}}\]

\bigskip
\normalsize

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \noindent Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos x=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)$

\item \noindent Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\sin x=\dfrac{1}{2\mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}\right)$
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  