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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%\lfoot{Contrôle commun \no  2 TS1-TS2}
%\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
%22 novemvre 2014-2015}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du contrôle commun \no 2 (4 heures)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, le nombre $10^n-(-1)^n$ est divisible par 11.
Soit $P_n$ la propriété : $10^n-(-1)^n$ est divisible par 11, c'est-à-dire il existe un entier relatif $k_n$ tel que \\
$10^n-(-1)^n=11k_n$.\\
Démontrons-la par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation} : \\
Pour $n=0$ : $10^0-(-1)^0=1-1=0=11\times 0=11\times k_0$ avec $k_0=0$. La propriété $P_0$ est vraie.

\item \textbf{Hérédité} :On suppose $P_n$ vraie pour un entier $n$, donc \\
$10^n-(-1)^n=11k_n$ avec $k_n\in\mathbb{Z}$.\\
Alors, au rang $n+1$ : \\
$10^{n+1}-(-1)^{n+1}=10\times 10^n-(-1)\times (-1)^n\\
=10\times 10^n+(-1)^n=10\left(11k_n+(-1)^n\right)+(-1)^n\\
=11\times 10k_n+11\times (-1)^n=11\left(10k_n+(-1)^n\right)=11k_{n+1}$ avec $k_{n+1}=10k_n+(-1)^n\in\mathbb{Z}$.\\
La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'aprËs l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\text{ si }x \neq 0\\f(0)=\frac12\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item %$f$ est-elle continue en 0 ?
Étudions la continuité de $f$ en 0.\\
Pour tout $x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}\\
=\dfrac{\left[\sqrt{x+1}-1\right]\left[\sqrt{x+1}+1\right]}{x\left[\sqrt{x+1}+1\right]}=\dfrac{\left(\sqrt{x+1}\right)^2-1}{x\left[\sqrt{x+1}+1\right]}\\
=\dfrac{x+1-1}{x\left[\sqrt{x+1}+1\right]}=\dfrac{x}{x\left[\sqrt{x+1}+1\right]}\\`=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}}}$.\\
$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}=f(0)}}$.\\
$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$ donc $f$ est \textbf{ \textcolor{red}{continue en 0}}.

\item $f$ est-elle dérivable en 0 ?
On étudie la limite en 0 de $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$.\\
Pur $x\neq 0$, $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}-\frac12}{x}=\dfrac{2\sqrt{x+1}-2-x}{2x^2}=\dfrac{2\sqrt{x+1}-(2+x)}{2x^2}\\
=\dfrac{\left[2\sqrt{x+1}-(2+x)\right]\left[2\sqrt{x+1}+(2+x)\right]}{2x^2\left[2\sqrt{x+1}+(2+x)\right]}\\
=\dfrac{4(x+1)-[2+x]^2}{2x^2\left[2\sqrt{x+1}+(2+x)\right]}=\dfrac{-x^2}{2x^2\left[2\sqrt{x+1}+(2+x)\right]}\\
=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2\left[2\sqrt{x+1}+(2+x)\right]}}}$.\\
$\lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(-\dfrac{1}{\left[2\sqrt{x+1}+(2+x)\right]}\right)=-\dfrac{1}{8}$.\\
$f$ est donc dérivable en 0 et $\boxed{\textcolor{red}{f'(0)=-\dfrac{1}{8}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
%Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
\indent\begin{enumerate}[$\hspace{0,7cm}f_1(x)=$ ]
\item $\sqrt{3x^2+5x+9}$ sur $\mathbb{R}$.\\
$f_1=\sqrt{u}$ avec $u(x)=3x^2+5x+9$.\\
$f_1'=\dfrac{u"}{1\sqrt{u}}$ avec $u'(x)=6x+5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f_1'(x)=\dfrac{6x+5}{2\sqrt{3x^2+5x+9}}}}$

\item $\dfrac{-3}{(2x-5)^4}$ sur $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{5}{2}\right\}$\\
$f_2=-3\times \dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=(2x-5)^4$.\\
Alors $f_2'=-3\times \left(\dfrac{1}{u}\right)'=-3\times \left(-\dfrac{u'}{u^2}\right)=3\times \dfrac{u'}{u^2}$.\\
Il faut calculer $u'$ ; on a $u=v^4$ donc $u'=4v'v^3$ avec $v(x)=2x-5$ et $v'(x)=2$.\\
Par conséquent $u'(x)=4\times 2\times (2x-5)^3=8(2x-5)^3$.\\
On en déduit : $f_2'(x)=3\times \dfrac{8[2x-5]^3}{\left([(2x-5)^4]\right)^2}=24\times \dfrac{(2x-5)^3}{(2x-5)^8}=\dfrac{24}{(2x-5)^5}$.

\item $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}$ sur $\mathbb{R}$\\
$f_3=\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=\sqrt{x^2+2}$.\\
$f_3'=-\dfrac{u'}{u^2}$ ; $u=\sqrt{v}$ avec $v(x)=x^2$ donc $v'=\dfrac{v'}{2\sqrt{v}}$ avec $v'(x)=2x$.\\
Par conséquent : $u'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$.\\
On en déduit $f_3'(x)=-\dfrac{\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{\left(x^2+2\right)}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{x}{\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+2}}}}$

\item $\sin(\sqrt{x})$ sur $]0~;~\infty[$.\\
$f_4=\sin(u)$ avec $u(x)=\sqrt{x}$.\\
Alors $f_4'=u'\cos(u)$ avec $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.\\
Par conséquent : $f_4'(x)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\c os(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}}}$

\item $\sqrt{\sin(x)}$ sur $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$\\
$f_5=\sqrt{u}$ avec $u(x)=\sin(x)$ ; $f_5'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec \\
$u'(x)=\cos(x)$.\\
On en déduit $f_5'(x)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}}}$


\item $\left(\dfrac{2x^2+x-5}{3x^2+x+4}\right)^5$ sur $\mathbb{R}$.\\
$f_6=u^5$ avec $u(x)=\dfrac{2x^2+x-5}{3x^2+x+4}$.\\
$f_6'=5u'u^4$ ; il faut donc calculer $u'(x)$.\\
$u=\dfrac{v}{w}$ avec $u(x)=2x^2+x-5$ et $v(x)=3x^2+x+4$.\\
On a : $u'=\dfrac{v'w-vw'}{w^2}$ d'où $u'(x)=\dfrac{(4x+1)\left(3x^2+x+4\right)-\left(2x^2+x-5\right)(6x+1)}{\left(3x^2+x+4\right)^2}\\
=\dfrac{-x^2+46x+9}{\left(3x^2+x+4\right)^2}$.\\
On en déduit : \\
$f_6'(x)=\boxed{\textcolor{red}{5\left(\dfrac{-x^2+46x+9}{\left(3x^2+x+4\right)^2}\right)\left(\left(\dfrac{2x^2+x-5}{3x^2+x+4}\right)\right)^4}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$  et  $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\boxed{\textcolor{red}{u_1=\dfrac{3}{4}}}$ et $u_2=\dfrac{\frac32+3}{\frac34+4}=\dfrac{\frac92}{\frac{19}4}=\dfrac{18}{19}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_2=\dfrac{18}{19}}}$.

\item %Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul , $u_n>0$ .
Soit $P_n$ la proposition \og{} pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $u_> 0$\fg.\\
Efectuons une démonstration par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation} : $u_1=\dfrac{3}{4}>0$ donc $P_1$ est vraie.

\item \textbf{Hérédité} : on suppose $P_n$ pour un rang $n$ quelconque, donc $u_n>0$.\\
Alors $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}>0$ comme quotient de nombres positifs.\\
La proposition est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

\item 
\begin{enumerate}
\item   %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}-1$ a le signe de $u_n-1$ , puis que $u_{n+1}-1$ a le signe de  $u_0-1$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}-1=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}-1\\
=\dfrac{2u_n+3-u_n-4}{u_n+4}=\dfrac{u_n-1}{u_n+4}$ qui est du signe de $u_n-1$ puisque le dénominateur $u_n+4$ est positif, $u_n$ étant toujours positif.\\
On en déduit que $u_{n+1}-1$ a le signe de $u_0-1$ de proche en proche.\\

%En déduire que $ u_n<1$ pour tout $n$.
$u_0-1-1<0$ donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n-1<0$ (signe de $u_0-1$) d'où $\boxed{\textcolor{red}{u_n<1}}$.

\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Montrons par récurrence que $u_n<u_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On a $u_0<u_1$

\item On suppose que $u_n<u{n+1}$ pour un entier $n$ quelconque.\\
La fonction $f:x\mapsto \dfrac{2x+3}{x+4}$ est croissante car\\ $f'(x)=\dfrac{5}{(x+4)^2}>0$.\\
Comme une fonction croissante conserve l'ordre, $f\left(u_n\right)<f\left(u_{n+1}\right)$ donc $u_{n+1}<u_{n+2}$.\\
La propriété est donc héréditaire.
\end{enumerate}
Daprès l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n$ : la suite est croissante.\\
On peut aussi calculer $u_{n+1}-u_n$ qui vaut $\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+3\right)}{u_n+4}$ qui est positif pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item %Que peut-on en déduire ?
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante majorée par 1, donc convergente vers une limite $\ell\leqslant 1$.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on  définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$.

\begin{enumerate}
\item %Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de  $v_n$.
$\forall n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}=\dfrac{\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}=\dfrac{\frac{u_n-1}{u_n+4}}{\frac{5u_n+15}{u_n+4}}\\
=\dfrac{u_n-1}{5\left(u_n+3\right)}=\dfrac{1}{5}v_n$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=\dfrac{1}{5}v_n}}$.

\item %Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$.
On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{5}$

\item %Exprimer $v_n$ en fonction de  $n$ et calculer sa limite.
On en déduit $v_n=v_0q^n$ ; $v_0=-\dfrac{1}{3}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=-\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n}}$

\item %En déduire la limite de la suite  $\left(u_n\right)$.
On a $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$ donc $u_nv_n+3v_n=u_n-1$ donc $u_nv_n-u_n=-3v_n-1$ qui donne $u_n\left(v_n-1\right)=-3v_n-1$ d'où $u_n=\dfrac{-3v_n-1}{v_n-1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3v_n+1}{1-v_n}}}$.\\
Comme $-1<q<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}q^n=0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=0$.\\
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(x^3 - 2x^2 - 1\right)^4$.
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = x^3 - 2x^2 - 1$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $u$ s’annule une seule fois sur $\mathbb{R}$. Donner un encadrement d’amplitude $10^{-2}$ de cette racine.
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (polunôme).\\
Pour tout $x$, $u'(x)=3x^2-4x=x(3x-4)$ qui s'annule en 0 et $\dfrac{4}{3}$.\\
$u'(x)$ est un polynôme du second degré qui a deux racine, qui est donc positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.\\
$u(x)=x^3\left(1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{x^3}\right)$ d'où $\lim_{x\rightarrow -\infty}u(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)=+\infty$.\\
On en déduit le tableau de variation de $u$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\dfrac{4}{3}&&\pI\\
\hline
u'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{u(x)}&\mI&\c&\h{-1}&\d&-\dfrac{59}{27}&\c&\h{\pI}&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
D'après le tableau de variation de $u$, $u(x)<0$ sur $\left]-\infty~;~\dfrac{4}{3}\right]$.\\
Sur $\left[0~;~+\infty\right[$, $u$ est continue, $u\left(\dfrac{4}{3}\right)<0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)=+\infty$ donc $u(x)$ prend des valeurs positives.\\
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $u$ s'annule au moins une fois. Comme $u$ est croissante, elle s'annule une cule fois en $\alpha$.\\
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{2,20<\alpha<2,21}}$.

\item %En déduire le signe de $u$ sur $\mathbb{R}$.
Signe de $u(x)$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
u(x)&&-&\alpha&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Pourquoi le signe de $u^3$ est-il le même que celui de $u$ ?
Pour tout $x$, $x^3$ a le même signe que $x$ donc $u^3$ a le signe de $u$.
\end{enumerate}

\item %Justifier que f est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f$ est la composée d'une fonction polynôme avec une fonction puissance, donc elle est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
$f=u^4$ donc $f"=4u'u^3$ avec $u'(x)=3x^2-4x=x(3x-4)$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=4x(3x-4)\left(x^3-2x^2-1\right)^3}}$

\item %Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
D'après 1.(c), $u^3$ a le signe de $u$ donc $f'(x)$ est du signe de $x(3x-4)u(x)$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\dfrac{4}{3}&&\alpha&&\pI\\
\hline
x&&-&\z&+&\l&+&\l&+&\\
\hline
3x-4&&-&\l&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
u(x)&&-&\l&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item %Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
On a vu que $\lim_{x\rightarrow -\infty}u(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)=+\infty$.\\
Alors : $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{X\rightarrow -\infty}X^4=\boxed{\textcolor{red}{+\infty}}$ et \\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}X^4=\boxed{\textcolor{red}{+\infty}}$.

\item %Dresser le tableau de variations de f.
Tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\dfrac{4}{3}&&\alpha&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&1&\c&\h{\approx 22,8}&\d&0&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par \\
$f(x)=\dfrac{-x^2-x+6}{x+1}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.

\begin{enumerate}
\item %Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Que peut-on en déduire ?
Limite en $-\infty$ et en $+\infty$ :\\
 Pour $x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{x^2\left(-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}\right)}{x\left(1+\frac1x\right)}=x\dfrac{-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}}{1+\frac1x}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}\right)=-1$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$.\\
De même, $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.\\

\noindent Limite en -1 :\\
$\lim_{x\rightarrow -1}\left(-x^2-x+6\right)=6$ ; $\lim_{x\rightarrow -1}(x+1)=0$.\\
Il faut distinguer deux cas : \\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \substack{x\rightarrow -1\\x<-1}}f(x)=-\infty}}$ car $x-1$ tend vers 0 en étant négatif et le numérateur est positif.\\
De même : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \substack{x\rightarrow -1\\x>-1}}f(x)=+\infty}}$ car alors $x-1>0$.\\
Comme la lmite en -1 est infinie, la droite d'équation $x=-1$ est \textbf{\textcolor{red}{asymptote}} à la courbe $\mathscr{C}_f$.

\item %Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ et étudier les variations de $f$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=-x^2-x+6$ et $v(x)=x+1$.\\
On a $u'(x)=-2x-1$ et $v'(x)1$.\\
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ d'où $f'(x)=\dfrac{(-2x-1)(x+1)-\left(-x^2-x+6\right)}{(x+1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-x^2-2x-7}{(x+1)^2}}}$.

\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
$f'(x)$ est du signe de son numérateur car $(x+1)^2$ est strictement positif.\\
On étudie le signe de $-x^2-2x-7$.\\
$\Delta=-24<0$ donc ce trinôme du second degré est du signe du coefficient de $x^2$ donc négatif.\\
On en déduit que $f$ est décroissante sur chaque intervalle de l'ensemble de définition.


\item %Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse 2.
Une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 2 est :\\
$y=f'(2)(x-2)+f(2)$ avec $f(2)=0$ et $f'(2)=-\dfrac{5}{3}$.\\
On en déduit $y:-\dfrac{5}{3}(x-2)$ soit $\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{10}{3}}}$.

\item %Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $\mathscr{C}_f$ avec les axes du repère.
On résout l'équation $f(x)=0$.\\
$f(x)=0\Leftrightarrow -x^2-x+6=0$.\\
On vient de trouver que 2 est une solution. l'autre solution est -3.\\
$\mathscr{C}_f$  coupe l'axe des abscisses en (-3~;~0) et en (2~;~0).\\
$f(0)=6$ donc $\mathscr{C}_f$ coupe l'axe des ordonnées en $(0~;~6)$.

\item %Déterminer la position relative de $\mathscr{C}_f$ avec l’axe des abscisses.
On étudie le signe de $f(x)$ en renseignant un tableau de signes.\\
Le numérateur s'annule en -3 et 2 ; il est négatif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines. D'où 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&1&&2&&2&&\pI\\
\hline
-x^2-x+6&&-&\z&+&\bb&+&\z&-&\\
\hline
x+1&&-&\l&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

On en déduit que la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x\in\left]-\infty~;~3\right]\cup\left[1+\infty\right]$ et en dessous pour $x\in[-3~;~1[\cup[3~;~+\infty[$.\\

Remarque : $f(x)=\dfrac{-x(x+1)+6}{x+1}=-x+\dfrac{6}{x+1}$. on en déduit que la droite $\Delta$ d'équation $y=-x$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.\\
La courbe n'était pas demandée (nous avions supprimé la question !). La voici (en rouge) , avec les asymptotes (en bleu)\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.,-10.)(10.,10.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10.,-10.)(10.,10.)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-10.0}{10.0}{(-x^(2.00000000000)-x+6.00000000000)/(x+1.00000000000)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-1.,-10.)(-1.,10.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-10.0}{10.0}{-x}
\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-11.852802574,11.3429208116){$f$}
%\rput[bl](-0.655044452744,11.3429208116){$a$}
%\rput[bl](-11.5042342278,11.2993497683){$g$}
\uput[u](8,7.33){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](8,-8){$\Delta$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}:

%\subsection{}
%\begin{enumerate}
%\item Factoriser l'expression $2x^{2}+x-1$.
%
%\item On considère la fonction $f$, définie sur $[-\pi~;~\pi]$ par : $f(x)=\sin x(1+\cos x)$.
%\begin{enumerate}
%\item Pourquoi $f$ est-elle dérivable sur $[-\pi~;~\pi]$ ?
%
%\item Calculer $f'(x)$.
%
%\item Étudier soigneusement le signe de $f'(x)$.
%
%\item Dresser le tableau de variation de $f$.
%
%\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[-\pi~;~\pi]$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$.
On sait que $\cos a=\cos b\Leftrightarrow a=b~[2\pi]$ ou $a=-b~[2\pi]$.\\
Soit l'équation $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas :$2x+\dfrac{\pi}{4}=x-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ donc \\
$x=-\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi$.

\item Deusième cas : $2x+\dfrac{\pi}{4}=-\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+2k'\pi$ donc \\
$3x=-\dfrac{\pi}{12}+2k'\pi$ qui donne $x=-\dfrac{\pi}{36}+\dfrac{2k'}{3}$.

\end{enumerate}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi,~n\in\mathbb{Z}\right]\cup\left\{-\dfrac{\pi}{26}+2k'\dfrac{\pi}{3},~k'\in\mathbb{Z}\right]}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sin(3x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin(3x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sin(3x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $3x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$.\

\item Deusième cas : $3x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+2k'\pi\Leftrightarrow\\
 3x=\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{2k'\pi}{3}$, $k'\in\mathbb{Z}$.
\end{enumerate}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{\pi}{9}+2k\dfrac{\pi}{3},~k\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{\dfrac{2\pi}{9}+2k'\dfrac{\pi}{3},~k'\in\mathbb{Z}\right\}}}$

\item %Représenter sur le cercle trigonométrique les solutions appartenant à l'intervalle $[0~;~\pi]$.
Les solutions appartenant à $[0~;~2\pi]$ sont $\dfrac{\pi}{9}$, $\dfrac{2\pi}{9}$, $\dfrac{7\pi}{9}$ et $\dfrac{9\pi}{9}$.
\end{enumerate}
On place alors les quatre solutions appartenant à l'intervalle $[0~;~\pi]$, représentées par les points A, B, C et D :
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
\pscircle(0.,0.){2.}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.0253304363716,0.0337896340495){\blue{$O$}}
\rput[bl](-0.50271272041,0.727613781914){$c$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=red](0.939692620786,0.342020143326)
\rput[bl](0.964756052507,0.377631689629){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=red](0.766044443119,0.642787609687)
\rput[bl](0.792835024718,0.67849348826){\darkgray{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=red](-0.766044443119,0.642787609687)
\rput[bl](-0.742174151974,0.67849348826){\darkgray{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=red](-0.939692620786,0.342020143326)
\rput[bl](-0.914095179764,0.377631689629){\darkgray{$D$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{courbe}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A :}}\\

\bigskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3+3x+8$.

\begin{enumerate}[a)]
\item %Étudier le sens de variation de $g$ et montrer que l'equation $g(x)=0$ admet  dans $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude 0.1. 
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g'(x)=3x^2+3\geqslant 3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g'(x)>0}}$.\\
$g$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$.\\
Comme $g$ est continue, l'équation $g(x)=0$ admet au moins une   solution ; comme $g$ est croissante, celle-ci est unique. on la note $\alpha$.\\
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{-1,6<\alpha<-1,5}}$.

\item P%réciser le signe de $g(x)$ selon la valeur de $x$. 
$g(x)<0$ pour $x<\alpha$, $g(\alpha)=0$ et $g(x)>0$ pour $x>\alpha$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =\dfrac{x^3-4}{x^2+1} $et $\mathscr{C}$ sa courbe representative ( unité 1cm) 

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{\left(x^2+1\right)^2}$.\\
% Étudier alors le sens de variation de f. 
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions dérivables.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^3-4$ et $v(x)=x^2+1$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=2x$.\\
On en déduit $f'(x)=\dfrac{3x^2\left(x^2+1\right)-2x\left(x^3-4\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4+8x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{x^4+3x^2-6x}{\left(x^2+1\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{xg(x)}{\left(x^2+1\right)^2}}}$

\item %Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
Pour $x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{x^3\left(1-\frac{4}{x^3}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=x\times \dfrac{1-\frac4{x^3}}{1+\frac1{x^2}}$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1-\dfrac{4}{x^3}\right)=1$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1$.\\
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x=-\infty)}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.

\item %Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha$, où $\alpha$ est le nombre déterminé dans la partie A.
Par définition de $\alpha$, on a $\alpha^3+3\alpha+8=0$.\\
On en déduit : $\alpha^3+3\alpha=-8\Leftrightarrow \alpha^3+2\alpha^3+3\alpha=2\alpha^3-8\Leftrightarrow 3\alpha^3+3\alpha=2\alpha^3-8\\
\Leftrightarrow 3\alpha\left(\alpha^2+1\right)=2\left(\alpha^3-4\right)\Leftrightarrow \dfrac{3\alpha}{2}=\dfrac{\alpha^3-4}{\alpha^2+1}=f(\alpha)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha}}$

\item  %Dresser le tableau de variation de $f$ .   
Comme le dénominateur de $f'(x)$ est strictement positif, $f'(x)$ est du signe de $xg(x)$.\\
Tableau de variation de $f$ :   
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&0&&\pI\\
\hline
x&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{signe de }f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\dfrac{3}{2}\alpha}&\d&-4&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Montrer qu'il existe quatre réels a b c et d tel que : 

%          \[f(x) = ax+b + \dfrac{cx+d}{x^2+1}\]
$ax+b + \dfrac{cx+d}{x^2+1}=\dfrac{(ax+b)\left(x^2+1\right)+cx+d}{x^2+1}=\dfrac{ax^3+bx^2+(a+c)x+b+d}{x^2+1}$.\\
On veut que cette expression soit égale à $f(x)$.\\
On identifie les coefficients du numérateur.\\
On obtient $a=1$, $b=0$, $c=-1$ et $d=-4$ d'où $f(x)=x+\dfrac{-x-4}{x^2+1}=\boxed{\textcolor{red}{x-\dfrac{x+4}{x^2+1}}}$
\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer  que $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left[f(x)-x]\right]=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-x]=0$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)-x=-\dfrac{x+4}{x^2+1}$.\\
Pour $x\neq 0$, on obtient $-x\dfrac{\left(1+\frac4x\right)}{x^2\left(1+·rac1{x^2}\right)}=-\dfrac{1+\frac4x}{x\left(1+\frac1{x^2}\right)}$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\dfrac{4}{x}\right)=1$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1$ d'où $\lim_{x\rightarrow ±pm\infty}\left[-\dfrac{1+\frac4x}{x\left(1+\frac1{x^2}\right)}\right]=0$.\\
`Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow ±pm\infty}[f(x)-x]=0}}$


\item %On rappelle que la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote à la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d'une fonction en $-\infty$ ou en $+\infty$ si, et seulement si, la limite en $-\infty$ (ou $+\infty$) de $f(x)-[ax+b]=0$.\\
%En déduire que $\mathscr{C}$ admet une asymptote oblique $\Delta$.
Puisque $\lim_{x\rightarrow ±pm\infty}[f(x)-x]=0$, la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.

\item %En étudiant le signe de $f(x)-x$, donner la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\Delta$. 
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x)-x=-\dfrac{x+4}{x^2+1}$ qui est du signe de $-(x+4)$, donc positif pour $x\leqslant -4$ et négatif pour $x\geqslant -4$.\\
On en déduit que $\mathscr{C}_f$ est au dessus de $\Delta$ pour $x\leqslant -4$ et en dessous pour $x\geqslant -4$ avec intersection en $x=-4$.

\end{enumerate}
   

\item %Determiner les abscisses des point B et B' de $\mathscr{C}$ admettant une tangente parallele à $\Delta$. 
$\Delta$ a pour coefficient directeur 1 ; on doit donc résoudre l'équation $f'(x)=1$.\\
$f'(x)=1\Leftrightarrow \dfrac{xg(x)}{\left(x^2+1\right)^2}=1\Leftrightarrow xg(x)=x^4+2x^2+1\Leftrightarrow x\left(x^3+3x+8\right)=x^4+2x^2+1\Leftrightarrow x^4+3x^2+8x=x^4+2x^2+1\Leftrightarrow x^2+8x-1=0$.\\
$\Delta=68$ ; les deux solutions sont $\dfrac{-8-\sqrt{68}}{2}=\dfrac{-8-2\sqrt{17}}{2}=-4-\sqrt{17}$ et $-4+\sqrt{17}$.


\item %Tracer sur la feuille annexe $\Delta$ et $\mathscr{C}$ en plaçant les points A, B, B' ainsi que trois points trois points I J et K d'abscisses respectives 1, 2 et -1 avec leur tangentes. 
Pour le tracé :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(1)=-\dfrac{3}{2}$ et $f'(1)=3$ (coefficient directeur de la tangente)

\item $f(2)=\dfrac{4}{5}$ et $f'(2)=\dfrac{44}{25}$

\item $f(-1)=-\dfrac{5}{2}$ et $f'(-1)=-1$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}


%\begin{center}
%\def\F{x 3 exp 4 sub x 2 exp 1 add div}
%\newrgbcolor{dcrutc}{0.862745098039 0.078431372549 0.235294117647}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-9.,-7.)(7.,7.)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.,-7.)(7.,7.)
%\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=dcrutc,plotpoints=200]{-9.0}{7.0}{(x^(3.00000000000)-4.00000000000)/(x^(2.00000000000)+1.00000000000)}%courbe
%%\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-11.0}{7.0}{\F}
%\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-9.0}{7.0}{x}%asymptote
%\psplot{-8.5}{-7.5}{(--0.0615528128088--1.*x)/1.}%tangente en B
%\psplot{-7.}{7.}{(-4.06155281281--1.*x)/1.}%tangente en B'
%\psplot{-7.}{7.}{(-4.5--3.*x)/1.}%tangente en P
%\psplot{-7.}{7.}{(-2.72--1.76*x)/1.}%tangente en J
%\psplot{-7.}{7.}{(-3.5-1.*x)/1.}%tangente en K
%
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-7.50832254658,-7.60303492113){\dcrutc{$f$}}
%\rput[bl](-7.32954860912,-7.60303492113){$g$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-8.12310562562,-8.06155281281)
%\rput[bl](-9.94411744449,6.69888007574){\darkgray{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.123105625618,-3.93844718719)
%\rput[bl](0.223650248605,-3.80408875009){\darkgray{$B'$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.,-1.5)
%\rput[bl](1.09517319373,-1.36829385218){\darkgray{$I$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,0.8)
%\rput[bl](2.07842984976,0.933420592628){\darkgray{$J$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.,-2.5)
%\rput[bl](-0.916033602708,-2.3738972504){\darkgray{$K$}}
%%\rput[bl](-7.37424209349,-7.60303492113){$a$}
%%\rput[bl](-3.26244153188,-7.60303492113){$h$}
%%\rput[bl](3.28515392762,6.363678943){$i$}
%%\rput[bl](4.84942588041,6.363678943){$j$}
%%\rput[bl](-9.83238373357,5.8497038728){$k$}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\huge{\textcolor{red}{Courbe de l'exercice VIII}}
\def\F{x 3 exp 4 sub x 2 exp 1 add div}
 \begin{pspicture}(-11,-9)(7,9)%X\psgrid
%\psplotTangent{0}{1}{\F}

\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=2.5pt]{-9.0}{7.0}{\F}%Courbe

\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{-9.0}{7.0}{x}%asymptote

\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-4,-4)

\psset{linecolor=red, arrows=<->, arrowscale=2}%

\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-8.123,-8.06)
\uput[d](-8.123,-8.06){B}
\psplotTangent[linecolor=red]{-8.123}{1}{\F}%tangente en B

\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.123,-3.94)
\uput[d](0.123,-3.94){B}
\psplotTangent[linecolor=red]{0.123}{1}{\F}%tangente en B

\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,-3.5)
\uput[d](1,-3.5){I}
\psplotTangent[linecolor=red]{1}{1}{\F}%tangente en I

\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](2,0.8)
\uput[d](2,0.8){I}
\psplotTangent[linecolor=red]{2}{1}{\F}%tangente en J

\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-1,-2.5)
\uput[d](-1,-2.5){K}
\psplotTangent[linecolor=red]{-1}{1}{\F}%tangente en K

\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-11,-9)(7,7)%Axes

\uput[ul](0,0){O}

\psgrid[subgriddiv=2](-11,-9)(7,7)%Grille

\uput[d](3,2.3){$\mathscr{C}_f$}
\uput[u](5,5){$\Delta$}
 \end{pspicture}
\end{center}


\label{fin}
\end{document}  