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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correctin du DM \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit l'inéquation $\dfrac{2x+3}{x+5}\geqslant \dfrac{-5x-2}{x-1}$.\\
L'ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{5~;~1\right\}}}$.\\
On suppose que $x\in\mathscr{D}$.\\
Alors $\dfrac{2x+3}{x+5}\geqslant \dfrac{-5x-2}{x-1}\Leftrightarrow \dfrac{2x+3}{x+5}- \dfrac{-5x-2}{x-1}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{(2x+3)(x-1)-(x+5)(-5x-2)}{(x+5)(x-1)}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{(2x+3)(x-1)+(x+5)(5x+2)}{(x+5)(x-1)}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{\left[2x^2-2x+3x)3\right]+\left[5x^2+2x+25x+10\right]}{(x+5)(x-1)}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{7x^2+28x+7}{(x+5)(x-1)}\geqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{7\left(x^2+4x+1\right)}{(x+5)(x-1)}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{x^2+4x+1}{(x+5)(x-1)}\geqslant 0$. (après simplification par 7)

On étudie le signe du numérateur et celui du dénominateur.\\
Signe de $x^2+4x+1$ : $\Delta=12>0$ ; l'expression a deux racines : \\
$x_1=\dfrac{-4-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{-4-2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\left(-2-\sqrt{3}\right)}{2}=-2-\sqrt{3}$ et \\
$x_2=-2+\sqrt{3}$.\\
Le coefficient de $x^2$ est 1, positif, donc l'expression est positive à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.\\
\textbf{Signe du dénominateur}  $(x+5)(x-1)$. les deux racines sont -5 et 1 ; le coefficient de $x^2$ est 1, donc positif. L'expression est positive à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.\\
On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-5&&-2-\sqrt{3}&&-2+\sqrt{3}&&1&&\pI\\
\hline
x^2+4x+1&&+&\bb&-&\z&-&\z&-&\bb&+&\\
\hline
(x+5)(x-1)&&+&\bb&-&\z&+&\z&-&\bb&+&\\
\hline
\text{Quotient}&&+&\bb&-&\z&+&\z&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L'ensemble des solutions de l'inéquation est finalement : \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-5[\cup[-2-\sqrt{3}~;~-2+\sqrt{3}]\cup[1~;~+\infty[}}.\]

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On suppose $\left(u_n\right)$ arithmétique : le terme général est de la forme $u_0+nr$ donc de la forme $an+b$ avec $a=r$ et $b=u_0$.

\item Réciproquement : on suppose que $u_n=an+b$ : pour tout $n$;, $u_{n+1}-u_n=a$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique.
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} :\\
 \fbox{\textcolor{red}{\begin{minipage}{7cm}
les suites arithmétiques sont les suites dont l'expression est une fonction affine de $n$
\end{minipage}}}.

\item 
 \begin{enumerate}[$\bullet$]

\item On suppose $\left(u_n\right)$ géométrique : le terre général est de la forme $u_0q^n$ donc de la forme $aq^n$ avec $a=u_0$.

\item Réciproquement : on suppose que $u_n=aq^n$ : pour tout $n$;, $u_{n+1}=qu_n$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} :\\
 \fbox{\textcolor{red}{\begin{minipage}{7cm}
les suites géométrique sont les suites dont l'expression est de la forme $aq^n$
\end{minipage}}}.

\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=\dfrac{3}{2}\\u_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_{n}}\end{array}\right.$.\\
Démontreonpar récurrence que, pour tout $n$, $u_{n}$ est un nombre rationnel.\\
Soit $\mathscr{P}_n $ la proposition : $u_n=\dfrac{a_n}{b_n}$ avec $a_n$ et $b_n$ eniers naturels, $b_n\neq 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}}  : $u_0=\dfrac{3}{2}\in\mathbb{Q}$. La proposition est vraie au rang $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} On suppose la proposition vraie à un rang $n$ quelconque. IL existe $a_n$ et $b_,$ entiers naturels tels que $u_n=\dfrac{a_n}{b_n}$\.\
$u_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_{n}}=\dfrac{1}{1+\frac{a_n}{b_n}}=\dfrac{1}{\frac{a_n+b_n}{b_n}}=\dfrac{b_n}{a¨n+b_n}$.\\
On pose $a_{n+1}=bn\in\mathbb{N}$ et $b_{n+1}=a_n+b_n\in\mathbb{\mathbb{N}}$ \\avec $b_{n+1}\geqslant b_n\neq 0$.\\
La propriété est \textbf{héréditaire}.
\end{enumerate}
La propriété est donc vraie pour tout $n$, d'près l'axiome de récurrence.\\
On a $a_0=3$, $b_0=2$, $\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=b_n\\a_{n+1}=a_n+b_n\end{array}\right.$.

\subsection{}
La suite de Fibonacci est définie par : $F_{1}=F_{2}=1$ et \\
$F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}$.\\
Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, \\
$F_{1}^2+F_{2}^2+\cdots+F_{n}^2=F_{n}\times F_{n+1}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $F_{1}\times F_{2}=1\times 1=1$ et $F_{1}^2=1^2=1$ donc $F_{1}^2=F_{1}\times F_{2}$. La propriété est vraie au rang 1.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité }}On suppose la propriété vraie au rang $n$, donc : \\
$F_{1}^2+F_{2}^2+\cdots+F_{n}^2=F_{n}\times F_{n+1}$.\\
Alors : $F_{1}^2+F_{2}^2+\cdots+F_{n}^2+F_{n+1}^2=\left[F_{1}^2+F_{2}^2+\cdots+F_{n}^2\right]+F_{n+1}^2\\
=F_{n}\times F_{n+1}+F_{n+1}^2=F_{n+1}\left[F_{n}+F_{n+1}\right]=F_{n+1}\times F_{n+2}$\\
car $F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}$.\\
La propriété est vraie au rang $n+1$.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} on peut montrer, par exemple par  une méthode analogue à celle utilisée dans un TD précédent où nous avons cherché deux réels $a$ et $b$ tels que $a+b=4$ et $ab=1$, que pour tout $n$ : \[\boxed{\textcolor{red}{F_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)}}\].

\subsection{}
Héléne a acheté une voiture d'occasion à \numprint{3500} \euro{} le 1\ier{} janvier 2006.\\
Une étude statistique montre que si $u_{n}$ et $u_{n+1}$ sont les valeurs de cette automobile le 1\ier{} janvier respectivement de la $n$-iéme année et de la $(n+1)$-iéme qui suivent l'achat, alors : \[u_{n+1}=0,7u_{n}+210.\]
On pose $u_{0}=\numprint{3500}$.
\begin{enumerate}
\item On a $u_{1}= \numprint{2660}$ et $u_{2}= \numprint{2072}$.

\item %Pour tout entier $n$, on pose : $v_{n}=u_{n}-\alpha$, où $\alpha$ est solution de l'équation $x=0,7x+210$.


\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
On note $\alpha$ la solution de l'équation $x=0,7x+210$ (qu'on appelle point fixe de la fonction \\
$f:x\mapsto 0,7x+210$).\\
Par conséquent $\alpha=0,7\alpha+210$.\\
Valeur de $\alpha$ : $x=0,7x+210\Leftrightarrow 0,3x=210$ d'où $\alpha=\dfrac{210}{0,3}=-\dfrac{2100}{3}=700$.

On en déduit $\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=0,7u_n+210\\\alpha=0,7\alpha+210\\\end{array}\right.$.\\
Par soustraction, on obtient = $u_{n+1}-\alpha=0,7\left(u_n-\alpha\right)$.\\
Par conséquent : $v_{n+1}=0,7v_n$ : la site $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{blue}{géométrique}}, de raison $q=0,7$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Autre méthode}} : pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-700\\
=0,7u_n+210-700=0,7u_n-490=0,7\left(u_n-700\right)\\
=0,7v_n$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{blue}{géométrique}} de raison 0,7.

\item %En déduire les expressions de $v_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction de $n$.
On en déduit $v_n=v_0q^n$ : $v_0=u_0-\alpha=\numprint{3500}-700\\
=\numprint{2800}$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{v_n=\numprint{2800}\times 0,7^n}}$.\\
Alors : $u_n=v_n+\alpha=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{700}+\numprint{2800}\times 0,7^n}}$.
\end{enumerate}

\item %Déterminer par approximations à l'aide de la calculatrice à partir de quelle date la voiture vaudra moins de \numprint{1000} \euro.\\
En faisant un tableau de valeurs sur la calculatrice, on trouve que la voiture vaudra moins de \numprint{1000} euros au bout de 7 ans.
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
\begin{enumerate}
\item  %Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 20] par
%\[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]
	\begin{enumerate}
		\item  On a $f(x) = 2x - \dfrac{x^2}{10}$, donc $f'(x) = 2 - \dfrac{x}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{10-x}{5}}}$.\\
$f'(x) \leqslant 0 \iff x \leqslant 10$ et $f'(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant 10$. La fonction $f$ est donc croissante sur [0 ; 10] et décroissante sur [10 ; 20].

		% \'Etudier les variations de $f$ sur [0 ; 20].
		\item Sur [0 ; 20], le maximum de $f$ est donc \\
		$f(10) = 10,~f(0) = 0$ et $f(20) = 0$ sont les minimums de $f$.
		
		On a donc quel que soit $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$. 
		\item Voir ci-dessous. 
		 	\end{enumerate}
			
\item Démontrons par récurrence la propriété $P_n$: pour tout $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 10$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : On a $u_{1} = f\left(u_{0} \right) = f(1) = 2 - 0,1 = 1,9$
On a bien  $0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 10$.

\item Hérédité : Supposons qu'il existe une valeur de $n$ quelconque, pour laquelle la propriété $P_n$ soit vraie, c'est-à-dire : $0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.


On a vu que sur l'intervalle [0 ; 10], le fonction $f$ est croissante, donc $\leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \Rightarrow f\left(u_{n} \right) \leqslant  f\left(u_{n+1} \right) \iff u_{n+1} \leqslant u_{n+2}.$

De plus d'après la question \textbf{1. b.} quel que soit un nombre dans l'intervalle [0 ; 20] et \emph{a fortiori} dans l'intervalle [0 ; 10], son image par $f$ et elle aussi dans l'intervalle [0 : 10]. on a donc bien $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 10$.


La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
Le propriété est donc vraie pour tout $n$.

. 
\item On vient  de démontrer que, pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$, donc la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est croissante. Comme elle majorée par $10$, elle converge vers une limite $\ell$ inférieure ou égale à $10$.

On admet que $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$.\\
$f(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{1}{10}x(20-x)=x\Leftrightarrow x(20-x)=10x\\\
\Leftrightarrow -x^2+20x=10x\\
\Leftrightarrow -x^2+10x=0\Leftrightarrow x(10-x)=0$.\\
L'équation a deux solutions 0 et 10. Comme $\left(u_n\right)$ est croissante et que $u_0=1$ et la suite étant croissante, la suite est minorée par 1, donc la limite ne peut pas être 0.\\
Par conséquent :$\boxed{\textcolor{red}{\ell=10}}$.

	\end{enumerate}

\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  