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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS-correction de la feuille de révisions \no 4}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2012}}

\textbf{\textcolor{red}{Proposition 1}}
 
%La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
Un vecteur directeur $\overrightarrow{d}$ de la droite $\mathcal{D}$ a pour cordonnées $(-2~;~2~;~2)$ ;

Un vecteur $\overrightarrow{u}$ normal au plan $\mathcal{P}$ a pour cordonnées $(1~;~- 1~;~- 1)$.

Comme $\overrightarrow{d} = - 2\overrightarrow{u}$, es vecteurs $\overrightarrow{d}$ et $\overrightarrow{u}$  sont  colinéaires, donc la droite $\mathcal{D}$ est  orthogonale au plan $\mathcal{P}$. \textbf{\textcolor{red}{VRAIE}}

 
\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 2 }}

%L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : 

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x&= &	1 - t' \\
%y&=	& - 1 -	2t'\\ 
%z&=	&t'
%\end{array}\right. \quad t' \in \R.\] 
Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient ‡  $\mathcal{P}$ et ‡ $\mathcal{P}'$ si ses coordonnées vérifient les deux équations :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - y - z - 2 &=& 0\\
x + y + 3z &=& 0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - y &=& z + 2\\
x + y &=& - 3z
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par somme) $2x = - 2z + 2 \iff x = - z + 1$.

En reportant dans la première équation on obtient :

$- z + 1 - y = z + 2 \iff - 2z - 1 = y$.

Finalement en posant $z = t'$, on a :

$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \cap \mathcal{P}' \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 - t'\\
y&=&- 1 - 2t'\\
z&=&t'
\end{array}\right.$ \textbf{\textcolor{red}{VRAIE}}

\emph{Remarque} : on peut aussi vérifier que les points de $\Delta$ appartiennent aux deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ en remplaçant dans les équations des deux plans $x$, $y$ et $z$ per leurs expressions en fonction de $t$.

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Proposition 3}}
 
%Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires. 
Un vecteur directeur $\overrightarrow{d}$ de la droite $\mathcal{D}$ a pour cordonnées $(-2~;~2~;~2)$ ;

Un vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ de la droite $\Delta$ a pour cordonnées $(-1~;~- 2~;~1)$ ;

$\overrightarrow{d}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires, donc $\mathcal{D}$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles ; si elles sont sécantes il existe un point $M(x~;~y~:~z)$ dont les cordonnées vérifient  les deux représentations paramétriques soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
-3 - 2t&=&1 - t' \\
2t&=&- 1 - 2t'\\ 
1 + 2t&t'
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
t'&=&2t + 4 \\
2t' &=&- 1 - 2t\\ 
t'&=&1 + 2t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 + 2t&=&2t + 4 \\
2(1 + 2t) &=&- 1 - 2t\\ 
t'&=&1 + 2t
\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
0t&=&3 \\
6t&=&- 3\\ 
t'&=&1 + 2t
\end{array}\right.$

Ce système n'a pas de solution : les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ n'étant ni parallèles ni sécantes ne sont pas coplanaires. \textbf{\textcolor{red}{FAUSSE}}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2013}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}% \subsection{partie A}

\medskip
 
\emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline
$P(X \leqslant x)$&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $P(390 \leqslant X \leqslant 410)=P( X \leqslant 410) - P(X < 390)= 0,818 - 0,182 = \boxed{\textcolor{red}{0,636}} $.

\noindent On peut aussi utiliser la calculatrice.

\item Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si 

\og $X \geqslant 385$ \fg. 

\og$X\geqslant385$\fg est l'événement contraire de \og$X<385$\fg.

On a donc $p(X\geqslant385)=1- p(X < 385) = 1 - 0,086 = \boxed{\textcolor{red}{0,914}}$.

\item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.

Soit Y la variable aléatoire de paramètres $\mu = 400$ et $\sigma$, on a :

 $p(X \geqslant 385)= 0,96\Leftrightarrow1-p(Y<385)=0,96\Leftrightarrow p(Y < 385)= 0,04$
 
Si Y suit une loi normale de paramètres $\mu=400$ et $\sigma$, on sait que $Z=\dfrac{X-400}{\sigma}$ suit une loi normale centrée réduite et $p(Y<385)=0,04\Leftrightarrow P\left(Z \leqslant \dfrac{385-400}{\sigma}\right) = 0,04$.

Or $P(Z \leqslant  -1,751) \approx 0,040$.On a donc : $\dfrac{-15}{\sigma}= - 1,751\Leftrightarrow\sigma=\dfrac{15}{1,751}= \boxed{\textcolor{red}{8,6}} $.

Pour $\sigma=8,6$, au dixième près; la probabilité qu'un pain soit commercialisable est de 96\% 

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}% \subsection{partie B}

\medskip
 
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96\,\% de pains commercialisables. 

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300~pains fabriqués.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300 est de la forme 
 
\[I_{300}=\left[ p-1,96{\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}~;~p-1,96{\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\right]\]

avec $p = 0,96$ et $n = 300$.

On a donc: $\boxed{\textcolor{red}{I_{300} = [0,93~;~0,99]}}$

\item Parmi les 300~pains de l'échantillon, 283 sont commercialisables. 
Ce qui représente 94\,\% de la production. 0,94 est dans l'intervalle de fluctuation $I_{300}$.

\noindent Au regard de l'intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, on accepte que l'objectif a été atteint.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}% \subsection{partie C}

\medskip 

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une \textbf{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $p(T\geqslant30)=0,913$. 

On a par ailleurs :	 $p(T\leqslant30) = \int_0^{30}{\lambda \text{e}^{-\lambda x }\:\text{d}x} = \left[-\text{e}^{-\lambda x}\right]_0^{30} = 1-\text{e}^{-30\lambda}$.

On en déduit : $p(T\geqslant 30) = 1 - p(T\leqslant30) = \text{e}^{-30\lambda}$ et finalement :

$\text{e}^{-30\lambda} = 0,913\Leftrightarrow  - 30\lambda =\ln(0,913)\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\lambda \approx 0,003}}$.

\medskip
 
Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\medskip
 
\item Calculons $p_{T\geqslant 60}\left(T\geqslant 90\right)$.

On a 
$p_{T\geqslant 60}\left(T\geqslant 90\right)
= \dfrac{p((T\geqslant 60)\cap(T\geqslant 90))}{p(T\geqslant 60)}
= \dfrac{p(T\geqslant 90)}{p(T\geqslant 60)}
= \dfrac{1-p(T\leqslant90)}{1-p(T\leqslant 60)}
= \dfrac{\text{e}^{-90\lambda}}{\text{e}^{-60\lambda}} = \boxed{\textcolor{red}{\text{e}^{-30\lambda}}}$. (On pouvait le trouver directement puisqu'une moi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement)

On a donc $p_{T \geqslant 60}\left(T \geqslant 90\right) = p(T\geqslant30) = \boxed{\textcolor{red}{0,913}}$.

La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours est 0,913.

 \item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. Calculons la durée maximale $t_{max}$ pour laquelle la probabilité que la balance dérègle est inférieure à 0,5.

$p(T\leqslant t_{\text{max}})\leqslant 0,5 \iff =\int_0^{t_{\text{max}}}{\lambda \text{e}^{-\lambda x }\:\text{d}x} \leqslant 0,5\iff[-\text{e}^{-\lambda x}]_0^{t_{\text{max}}}\leqslant 0,5 \iff1-\text{e}^{-\lambda t_{\text{max}}}\leqslant 0,5$

$1-\text{e}^{-\lambda t_{\text{max}}}\leqslant 0,5\Leftrightarrow \text{e}^{-\lambda t_{\text{max}}}\geqslant 0,5\Leftrightarrow-\lambda t_{max}\geqslant \ln0.5 $

Avec $\lambda = 0,003$, on trouve $t_{\text{max}} \approx \boxed{\textcolor{red}{231}}$. Le vendeur avait donc \textbf{\textcolor{red}{tort}}.

On pouvait aussi calculer $P(X\geqslant 365)$ et on troue moins de 0,5

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2013}}
\begin{enumerate}
\item L'algorithme \no 1 calcule tous les termes de $v_{0}$ à $v_{n}$ mais n'affiche que le dernier $v_{n}$.

L'algorithme \no 2 calcule $n$ fois de suite $v_{1}$ à partir de $v_{0}$ : il ne calcule pas les termes de $0$ à $v_{n}$.

L'algorithme \no 3 calcule tous les termes de 0  à $v_{n - 1}$ et les affiche tous : il manque donc en fait l'affichage de $v_{n}$ !

\item D'après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à $n = 9$, il semblerait que la suite  soit \textbf{\textcolor{red}{croissante}} et converge vers un nombre
\textbf{\textcolor{red}{proche de 3}}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrons par récurrence la proprieété $P_{n} : 0 < v_{n} < 3$ pour tout entier naturel $n$.

\emph{\textcolor{red}{Initialisation}} : $n = 0$, on a bien $0 < v_{0} < 3$ vraie, puisque $v_{0} = 1$ ; ainsi $P_{0}$ est vraie.

\emph{\textcolor{red}{Hérédité}} : Supposons $P_{n}$ vraie, montrons alors que $P_{n+1}$ est vraie.

On suppose  donc que $0 < v_{n} < 3$.

Donc $6 =  6  - 0 >  6 - v_{n} > 6 - 3  = 3$, puis

$\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6 - v_{n}} < \dfrac{1}{3}$, car la fonction inverse est décroissante sur $]0~;~+ \infty[$.

$\dfrac{3}{2} \dfrac{9}{6} < \dfrac{9}{6 - v_{n}} < \dfrac{9}{3} = 3$.

Ainsi $1 < \dfrac{3}{2} < v_{n+1} < 3$. L'hérédité est tablie puisque $P_{n+1}$ est vraie.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : Par le principe de récurrence, : $P_{n} : 0 < v_{n} < 3$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
		\item Pour tout $n$, $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{9}{6 - v_{n}} - v_{n} = \dfrac{9 - v_{n}\left(6 - v_{n} \right)}{6 - v_{n}} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\left(v_{n} - 3 \right)^2}{6 - v_{n}}}}$.

Or, d'après la question précédente, $0 < v_{n} < 3$ pour tout $n$ entier naturel, ainsi $6 - v_{n}$ est positif, donc $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(v_{n} - 3 \right)^2}{6 - v_{n}} > 0$, ainsi la suite $\left(v_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle \textbf{\textcolor{red}{converge}} vers une limite inférieure ou égale à 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout $n$, $w_{n+1} - w_{n} = \dfrac{1}{v_{n+1} - 3} - \dfrac{1}{v_{n} - 3} = \dfrac{1}{\frac{9}{6 - v_{n}} - 3} - \dfrac{1}{v_{n} - 3} = \dfrac{6 - v_{n}}{3v_{n} - 9} - \dfrac{1}{v_{n} - 3} = \dfrac{6 - v_{n} - 3}{3v_{n} - 9} = \dfrac{v_{n} - 3}{3v_{n} - 9} = \boxed{\textcolor{red}{- \dfrac{1}{3}}}$.

ainsi la suite $\left(w_{n}\right)$ est arithmétique de raison $\boxed{\textcolor{red}{r = - \dfrac{1}{3}}}$.

\item $w_{n} = w_{0} + nr = \dfrac{1}{1 - 3}- \dfrac{1}{3}n = \boxed{\textcolor{red}{- \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}n}}$.

Comme $w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}$, on a $v_{n} = \dfrac{1}{w_{n}} + 3 = \dfrac{1}{- \frac{1}{2} - \frac{1}{3}n} + 3 = \dfrac{6}{- 3 - 2n} + 3$.

Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{6}{- 3 - 2n} = 0$, donc  $\boxed{\textcolor{red}{\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$, donc, par opérations $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}
$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x$. Or $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^x=0$ (croissances comparées) et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^x=0$, donc, par opérations  $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0}}$.

\item Pour tout réel $x$,$ f'(x)=1\mathrm{e}^x+(x+1)\mathrm{e}^x=\boxed{\textcolor{red}{(x+2)\mathrm{e}^x}}$.

\item Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $x+2$. On en déduit le tableau de variations suivant:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|ccccc|}
%\hline
%$x$ & $- \infty$ & \qquad\qquad & $-2$ & \qquad\qquad & $+\infty$\\
%\hline
%$f'(x)$&&$-$&0&$+$&\\
%\hline
%&\rnode{a}{$0$}& & & &\rnode{c}{$+\infty$}\\
%$f$& & & & & \\
%& & &\rnode{b}{$-1/\mathrm{e}^2$}& & \\
%\hline
%\end{tabular}
%\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
%\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
%\end{center}

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{0}&\d&-\frac1{\mathrm{e}^2}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\smallskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
 On a, pour tout réel $x$:
 \begin{eqnarray*}
 g_m(x)=0 &\Longleftrightarrow& x+1=m\mathrm{e}^x\\
 &\Longleftrightarrow& (x+1)\mathrm{e}^x=m\\
 &\Longleftrightarrow& \boxed{\textcolor{red}{f(x)=m}}.
 \end{eqnarray*}

\item D'après l'équivalence et le tableau de variations précédents:
\begin{itemize}
\item si $m<-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$: l'équation $g_m(x)=0$ ne possède aucune solution, donc $\mathcal{C}_m$ ne coupe pas l'axe des abscisses;
\item si $m=-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$: l'équation $g_m(x)=0$ possède une solution, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en un point;
\item si $-\frac{1}{\mathrm{e}^2}<m<0$: l'équation $g_m(x)=0$ possède deux solutions, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en deux points;
\item si $m\geqslant 0$: l'équation $g_m(x)=0$ possède deux solutions, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en deux points.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item
La courbe 1 ne coupe pas l'axe des abscisses, donc l'équation $g_m(x)=0$ n'a pas de solution et cela entraîne que $m<-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$. La seule possibilité est donc que $\boxed{\textcolor{red}{m=-\mathrm{e}}}$.

\item La courbe 2 coupe l'axe des abscisses une seule fois, donc $m=-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ ou $m\geqslant 0$. La seule possibilité est donc $\boxed{\textcolor{red}{m=0}}$.
\item Par élimination, la courbe 3 correspond à $\boxed{\textcolor{red}{m=\mathrm{e}}}$.
\end{itemize}

\item Pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=-m\mathrm{e}^x$ qui est du signe de $-m$; on en déduit:
\begin{itemize}
\item si $m>0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est en dessous de $\mathcal{D}$;
\item si $m<0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est au dessus de $\mathcal{D}$;
\item si $m=0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=00$, donc $\mathcal{C}_m$ et  $\mathcal{D}$ sont confondues.
\end{itemize}

\item Le domaine $D_2$ hachuré:
\begin{enumerate}
\item
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.82,-2.51)(4.23,5.85)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.82,-2.51)(4.23,5.85)
\pscustom[linewidth=0pt,hatchcolor=black,fillstyle=hlines,hatchangle=30.0,hatchsep=0.08]{\psplot{0}{2}{x+1-2.718281828^(-x+1)}\lineto(2,3.37)\psplot{2}{0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}\lineto(0,-1.72)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.8209836065573772}{4.227213114754098}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot{-1.82}{4.23}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=200]{-1.8209836065573772}{4.227213114754098}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.13,5.74){$\mathcal{C}_{-\mathrm{e}}$}
\rput[tl](-1.34,-0.23){$\mathcal{C}_0$}
\rput[tl](0.12,-1.26){$\mathcal{C}_{\mathrm{e}}$}
\psline(2,-2.51)(2,5.85)
\rput[tl](2.13,-1.13){$\Delta_2$}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](1,2){$b = -4.7$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Pour tout $a\geqslant 0$, la courbe $\mathcal{C}_{-\mathrm{e}}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{\mathrm{e}}$, par conséquent l'aire $\mathcal{A}(a)$ est donnée par:
\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(a)&=&\int_0^af_{-\mathrm{e}}(x)-f_{\mathrm{e}}(x)\text{d}x\\
&=&\int_0^a\left((x+1)+\mathrm{e}\mathrm{e}^{-x}\right)-\left((x+1)-\mathrm{e}\mathrm{e}^{-x}\right)\text{d}x\\
&=&\int_0^a2\mathrm{e}\mathrm{e}^{-x}\text{d}x\\
&=&2\mathrm{e}\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_0^{a}\\
&=&2\mathrm{e}\left(-\mathrm{e}^{-a}+1\right)\\
&=&2\mathrm{e}-2\mathrm{e}^{1-a}.
\end{eqnarray*}
On a de plus $\lim_{a\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{1-a}=0$, par conséquent: $\lim_{a\rightarrow +\infty}\mathcal{A}(a)=\boxed{\textcolor{red}{2\mathrm{e}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\smallskip

On a:
\begin{eqnarray*}
f\in\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right] & \Longleftrightarrow & p-\frac{1}{\sqrt{n}}\leqslant f\leqslant p+\frac{1}{\sqrt{n}}\\
& \Longleftrightarrow & -f-\frac{1}{\sqrt{n}}\leqslant -p\leqslant -f+\frac{1}{\sqrt{n}}\\
& \Longleftrightarrow & f-\frac{1}{\sqrt{n}}\leqslant p\leqslant f+\frac{1}{\sqrt{n}}\\
& \Longleftrightarrow & p\in\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]
\end{eqnarray*}
On a donc bien:
\[
P\left(f\in\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]\right)
=
P\left(p\in\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]\right)
\geqslant \numprint{0,95}
\]

\smallskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Arbre pondéré illustrant la situation:
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,5)
\uput[0](0,3){\rnode{o}{}}
\uput[0](2,2){\rnode{rbarre}{$\overline{R}$}}
\uput[0](2,4){\rnode{r}{R}}
\uput[0](4,1){\rnode{c}{C}}
\uput[0](4,2){\rnode{b}{B}}
\uput[0](4,3){\rnode{a}{A}}
\uput[0](4,4){\rnode{aa}{A}}
\ncline[nodesepB=2pt]{o}{r}\naput{$r$}
\ncline[nodesepB=2pt]{o}{rbarre}\nbput{$1-r$}
\ncline[nodesep=2pt]{r}{aa}\naput{\small 1}
\ncline[nodesep=2pt]{rbarre}{a}\naput{\small $1/3$}
\ncline[nodesep=2pt]{rbarre}{c}\nbput{\small $1/3$}
\ncline[nodesep=2pt]{rbarre}{b}\ncput*{\small $1/3$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item On a, d'après l'arbre précédent:
\[
P(A)=P(A\cap R)+P(A\cap\overline{R})=r+\frac13(1-r)=\frac13(3r+1-r)=\boxed{\textcolor{red}{\frac13(1+2r)}}.
\]
\item On a: $P_A(R)=\dfrac{P(A\cap R)}{P(A)}=\dfrac{r}{\frac13(1+2r)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3r}{1+2r}}}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item L'expérience consiste en une  répétition de 400 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, où la probabilité de \og succès\fg{} (c'est-à-dire que l'étudiant ait la bonne réponse) est égale à $P(A)$. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=400$ et $p=P(A)=\frac13(1+2r)$.\\
\item On a $n=400$ et $f=\frac{240}{400}=\numprint{0,6}$, donc $n\geqslant 30$, $nf\geqslant 5$ et $n(1-f)\geqslant 5$, un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de l'estimation de $p$ est donc:
\[
\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]=
\boxed{\textcolor{red}{[\numprint{0,55}~;~\numprint{0,65}]}}.
\]
Ainsi, avec une probabilité supérieure à 95~\%:
\[
\numprint{0,55}\leqslant p\leqslant\numprint{0,65}
\]
or $p=\frac13(1+2r)$, donc:
\[
\numprint{0,55}\leqslant\frac13(1+2r)\leqslant\numprint{0,65}
\]
d'où:
\[
\numprint{1,65}\leqslant 1+2r\leqslant\numprint{1,95}
\]
puis:
\[
\numprint{0,325}\leqslant r\leqslant\numprint{0,475}
\]
Un intervalle de confiance au seuil de 95~\% de $r$ est donc: $\boxed{\textcolor{red}{[\numprint{0,325}~;~\numprint{0,475}]}}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Ici $r=\numprint{0,4}$, donc $p=\frac13(1+2r)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,6}}}$. 

La loi binomiale de paramètres $n=400$ et $p=\numprint{0,6}$ a pour espérance $np=240$ et pour variance $V=np(1-p)=96$. On peut alors l'approcher par la loi normale de paramètres $\mu=240$ et $\sigma=\sqrt{96}$.

\item Par lecture de la table fournie (ou utilisation de la calculatrice):
\[
P(X\leqslant 250)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,846}}}.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  