\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015}}
$u_n=\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\text{ d}x$.

\begin{enumerate}
\item $\boxed{\textcolor{red}{u_0=\ln 2}}$


\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=\int_0^1\dfrac{x^{n+1}+x^n}{1+x}\text{ d}x=\int_0^1\dfrac{x^n(1+x)}1+x{\text{ d}x=\int_0^1}x^n\text{ d}x=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{n+1}}}$ en ulilisant la linéarité et en factorisant.

\item On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{u_1=1-u_0=1-\ln 2}}$.
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item \text{ }
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Initialisation}&Affecter à $u$ la valeur $\ln 2$\\
\textbf{Traitement}: &Pour $i$ variant de 1 à $n$\\&\\
&Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{i}+u$\\
&Fin de Pour \\
Sortie :& Afficher $u$
\end{tabular}

\end{center}

\item On peut supposer que la suite est \textbf{décroissante} . 
\end{enumerate}



\item 
\begin{enumerate}
\item  Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=\int_0^1\dfrac{x^n(x-1)}{1+x}\text{ d}x\leqslant 0$ car $x^n\geqslant 0$, $1+x\geqslant 0$ et $x-1\leqslant 0$ sur [0~;~1] (\textbf{positivité de l'intégrale}). Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}-u_n\leqslant 0}}$.

La suite est donc \textbf{\textcolor{red}{décroisssante}}.

\item Pour tout $n$, $u_n\geqslant 0$ car c'est l'intégrale d'une fonction positive.

\noindent La suite est\textbf{ décroissante}, \textbf{minorée} donc \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers un réel $\ell$ positif.
		\end{enumerate}


\item On appelle la limite de la suite $\ell$.
\og{}En passant à la limite \fg{}dans l'égalité : $u_{n+1}+u_n=\dfrac{1}{n+1}$, on obtient $2\ell=0$  (par unicité de la limite) donc $\boxed{\textcolor{red}{\ell=0}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015}}

\begin{enumerate}
\item La tangente en 1 est bien la droite d'équation $y=\mathrm{e}x$ ; il suffit d'écrire l'équation de la tangente $y=f'(a)(x-a)=f(a)$ avec $a=1$.

\item On conjecture qu'il y a : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 0 point d'intersection pour $0\leqslant ù<\mathrm{e}$.

\item 1 point d'intersection pour $m=\mathrm{e}$.

\item 2 points d'intersection pour $m=\mathrm{e}$
\end{enumerate}

\item \textbf{Démonstration} : il faut considérer l'équation $f(x)=mx\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=mx\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}-mx=0$.

\noindent On étudie alors la fonction $g:x\mapsto \mathrm{e}^{x}-mx=0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g'(x)=\mathrm{e}^{x}-m$ qui s'annule en $\ln(m)$.

\item $g'(x)\geqslant 0$ pour $x\geqslant \ln(m)$ et $g'(x)\leqslant 0$ pour $x\leqslant \ln(m)$.

\item Limites : facile en $-\infty$ et en faisant apparaître $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ en $+\infty$ (en $+\infty$, on utilise les croissances comparées).

\item Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\ln(m)&&\pI\\
\hline
g'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\h{\pI}&\d&m(1-\ln(m))&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015}}


\begin{enumerate}

\item Arbre :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $0,47$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{ $0,9$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{ $0,1$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{ $0,53$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{ $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{ $0,2$}
}
}


\end{center}
\item 
\begin{enumerate}
\item Les événements A et B partitionnent l'univers donc d'après la formule des probabilités totales : $p(V)=p_A(V)\times p(A)+p_B(V)\times p(B)=\boxed{\textcolor{red}{0,047}}$.

\item $p_V(A)=\dfrac{p(A\cap V)}{p(V)}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,499}}$
\end{enumerate}

\item $p(\cap V)+p(B\cap\overline{V})\approx \boxed{\textcolor{red}{0,529}}$.


\item L'intervalle de confiance au seuil de 95\:\% est donné par: 
$\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ avec $f=0,529$ et $n=\numprint{1200}$.

On vérifie que les conditions d'utilisation sont vérifiées: 
$n\geqslant 30$, $nf\geqslant 5$ et $n(1-f)\geqslant 5$.
et on obtient: $\boxed{\textcolor{red}{[0,5001~;~0,5579]}}$.

\noindent Au seuil de 95\:\%, avec la fourchette donnée par l'intervalle de confiance, le candidat A \textbf{\textcolor{red}{peut croire}} en sa victoire. 


\item En une demi-heure, on répète 10 expériences de Bernoulli indépendantes dont la probabilité du succès (la personne accepte de répondre) est 0,4. 

\noindent La variable aléatoire  qui compte le nombre de personnes qui  répondent au cours de la demi-heure suit la \textbf{loi \textcolor{red}{binomiale}} de paramètres 10 et 0,4. 
On a $E(X)=np=4$.
 
\noindent Cela signifie que l'institut peut espérer obtenir 4 réponses par demi-heure. 

\noindent Du coup l'institut doit prévoir $\dfrac{\numprint{1200}}{4}=300$ demi-heures en moyenne, soit \textbf{\textcolor{red}{150 heures}}. 

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie mars 2015}}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'énoncé la fonction $f_2$ est  dérivable sur $\mathbb{R}$.

On a $\boxed{\textcolor{red}{f'_2(x) = \text{e}^x - 2}}$.

Or $\text{e}^x - 2 =  0 \iff  \text{e}^x = 2 \iff x = \ln 2$. Donc :

Donc $\text{e}^x - 2 >   0 \iff  x > \ln 2$ : la fonction $f$ est décroissante sur $[-\infty~;~\ln 2[$.

$\text{e}^x - 2 <   0 \iff  x < \ln 2$ : la fonction $f$ est croissante sur $[\ln 2~;~+ \infty[$.

$f_2(\ln 2) = \text{e}^{\ln 2} - 2\times \ln 2 = 2 - 2\ln 2$ est le minimum de la fonction $f_2$ sur $\mathbb{R}$.

On a le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\ln 2&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&2-2\ln 2>0&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,3)
%\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
%\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln 2$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
%\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$}
%\rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$2 - 2\ln 2$}
%\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

		\item Comme $2 - 2\ln 2 \approx 0,614 > 0$, le minimum de la fonction $f_2$ étant supérieur à zéro, on en déduit que la fonction est strictement positive sur $\mathbb{R}$, soit 
		
$\text{e}^x - 2 x > 0 \iff \text{e}^x > 2x$ donc la représentation graphique de la fonction $x \longmapsto \text{e}^x$ est au dessus de la droite $\Delta_2$. 

$\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont \textbf{pas de point commun}.
	\end{enumerate}
\item 	$f_a(x) = \text{e}^x - ax$
	\begin{enumerate}
		\item $\bullet~~$ limite en plus l'infini :

$f_a(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - a\right)$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} - a = + \infty$, donc par produit des limites :

$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = + \infty}}$.

$\bullet~~$ limite en moins l'infini :

On sait que  $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}   f_a(x) = + \infty$.
		\item $f_a$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables et 

$f'_a(x) = \text{e}^x - a$.

$\text{e}^x - a = 0 \iff \text{e}^x = a \iff x =  \ln a$ (car $a > 0$).

On a le même tableau de variations que pour $f_2$ en remplaçant 2 par $a$.
		\item La fonction $f_a$ décroissante, puis croissante admet donc un minimum $\boxed{\textcolor{red}{f_a(\ln a) = a - a\ln a}}$.
		
		\item $a - a \ln a = 0 \iff a(1 - \ln a) = 0 \iff 1 - \ln a = 0$ (car $a \neq 0$) $\iff$
		
$1 = \ln a \iff \text{e}^1 = \text{e}^{\ln a} \iff \boxed{\textcolor{red}{\text{e} = a}}$.
	
On a donc  :

$\bullet~~$$a - a \ln a > 0 \iff a < \text{e}$ : le minimum est positif, donc comme à la question 1, la fonction $f_a$ est strictement positive et la courbe et la droite n'ont pas de point commun.

$\bullet~~$$a - a \ln a < 0 \iff a > \text{e}$ : le minimum est inférieur à zéro.

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\ln a&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&a-a\ln a&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,3)
%\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
%\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln a$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
%\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$}
%\rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$a - a\ln a$}
%\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

Donc sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln a[$, la fonction $f_a$ continue car dérivable et strictement monotone sur cet intervalle passe d'une valeur positive à une valeur négative  : il existe donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire un réel $\alpha \in ]- \infty~;~\ln a[$   tel que $f_a(\alpha)  = 0$, soit $\text{e}^{\alpha} = a\alpha$.

De même sur $]\ln a~;~+ \infty[$, la fonction $f_a$ continue car dérivable et strictement monotone sur cet intervalle passe d'une valeur négative  à une valeur positive : il existe donc un réel $\beta \in ]\ln a~;~+ \infty[$ tel que $f_a(\beta) = 0$, soit $\text{e}^{\beta} = a\beta$.

Conclusion : si $a > \text{e}$ la courbe $\Gamma$ et la droite $\Delta_a$ ont \textbf{\textcolor{red}{deux points communs}}.

$\bullet~~$$a - a \ln a = 0 \iff a  = \text{e}$, la fonction $f_a = f_{\text{e}}$ s'annule une seule fois en $x = 1$, donc $f_{\text{e}}(1) = 0$ : $\Gamma$ et $\Delta_{\text{e}}$ ont un seul point commun (la droite est tangente à la courbe)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.4)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-0.4)(2,5)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=green]{-1}{2}{x 2 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{-1}{2}{x 2.71828 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=cyan]{-1}{2}{x 3 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{-1}{2}{2.71828 x exp }
\rput{45}(1.8,3.4){\green $y = 2x$}
\rput{53}(1.8,4.6){\red $y = \text{e}x$}
\rput{57}(1,3.2){\cyan $y = 3x$}
\rput(-0.5,0.75){\blue $\Gamma$}
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  