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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord, mai 2014}}
\textbf{Partie A : Positions relatives de \boldmath$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$\unboldmath}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:

$g(x)= 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} =\boxed{\textcolor{red}{ \text{e}^{-x} \left( 5 - 3 \text{e}^{-x} \right) }}$. 

Comme $\text{e}^{-x}>0$ (positivité de l'exponentielle), $g(x)$ est du signe de $5 - 3 \text{e}^{-x} $.

 $5 - 3 \text{e}^{-x} > 0 \Leftrightarrow 5 > 3\text{e}^{-x}  \Leftrightarrow \dfrac{5}{3} > \text{e}^{-x}  \Leftrightarrow \ln \left( \dfrac{5}{3} \right) >-x \Leftrightarrow  \ln \left( \dfrac{3}{5} \right) < x$ ce qui est toujours vrai car  
 
$\ln \left( \dfrac{3}{5} \right)<0 < x$.
 
 Finalement, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \: $\boxed{\textcolor{red}{g(x)>0}}$.
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont un point commun d'abscisse $x$ si et seulement si $ f(x) = x-3$ soit $ g(x) = 0 $ ce qui n'est pas possible car on vient de voir que $g(x) > 0$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ n'ont \textbf{pas de point commun}.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$,  $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Comme $M$ et $N$ ont la même abscisse, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[ $, 

$MN = \mid f(x) - (x-3) \mid = \mid g(x) \mid =\boxed{\textcolor{red}{ g(x)}} $ car $g(x) >0$ d'après la première question.
\item %On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Si $u$ est dérivable,$\left( \text{e}^{u}\right)' = u' \text{e}^{u} $.

La dérivée de $ x \mapsto \text{e}^{-x} $ est donc $ x \mapsto -\text{e}^{-x} $ et celle de $ x\mapsto \text{e}^{-2x} $ est $ x \mapsto -2 \text{e}^{-2x} $. 

Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $g'(x) =- 5 \text{e}^{-x} + 2 \times 3 \text{e}^{-2x} =\boxed{\textcolor{red}{ 6\text{e}^{-2x} -5\text{e}^{-x}}}$. 

\item $g$ étant dérivable sur  $[0~;~+\infty[$, on étudie le signe de sa dérivée sur  $[0~;~+\infty[$. 

Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, 

$\begin{array}{lll}
 g'(x) \geqslant 0 & \Leftrightarrow 6\text{e}^{-2x} -5\text{e}^{-x} \geqslant 0 & \\
 & \Leftrightarrow 6 \text{e}^{-x} -5 \geqslant 0  & \text{on a divisé par } \text{e}^{-x}>0 \\[5pt]
 & \Leftrightarrow \text{e}^{-x} \geqslant \dfrac{5}{6} & \\[5pt]
 & \Leftrightarrow - x \geqslant \ln \left( \dfrac{5}{6} \right)& \text{croissance de la fonction } \ln \\[8pt]
  & \Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x \leqslant \ln \left( \dfrac{6}{5} \right) }}\\
\end{array}$ 

En $ \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)  $, la dérivée s'annule en changeant de signe $ (+ ; -) $, donc $g\left( \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)\right) $ est un \textbf{maximum} pour $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

$g\left( \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)\right) = 5 \times \text{e}^{\frac{5}{6}}-3 \times \left( \text{e}^{\frac{5}{6}}\right)^2  = 5 \times \dfrac{5}{6} - 3 \times \left( \dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{75}{36}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{25}{12}}}$ 
 
La distance entre un point de la courbe  $\mathcal{C}_{f}$ et le point de même abscisse sur la droite  $\mathcal{D}$ est donc maximale lorsque $ x =  \ln \left( \dfrac{6}{5} \right) $. Cette distance maximale vaut $ \dfrac{25}{16} $ unités.

Remarque : Comme le repère est orthogonal (a priori pas orthonormé), il s'agit d'unité en ordonnée.)
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Étude d'une aire}

\medskip
 
On considère la fonction $\mathcal{A}$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Hachurer sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} le domaine dont l'aire est donnée par $\mathcal{A}(2)$.

$\mathcal{A}(2) = \displaystyle\int_{0}^2 [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t =  \displaystyle\int_{0}^2 g(t)\: \text{d}t $  et $g>0$ sur $[0;2]$. $\mathcal{A}(2)$ mesure donc (en unités d'aires) l'aire du domaine limité par les droites d'équation $x=0$, $x=2$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$.


\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.2)(\n,1.25)}
\multido{\n=-3.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,-3)(4.5,1.5)
\def\f{5 2.71828 x exp div 3 2.71828 x 2 mul exp div sub x add 3 sub}
\def\g{x 3 sub}
\uput[ul](4,1.15){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](4,1){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchangle=-45,linestyle=solid]
{% linecolor=white,linewidth=0.0pt permet de ne pas avoir de trait en diagonales 
% reliant les deux  points d'intersections
\psplot{0}{2}{\f} % courbe du bas
\psplot{2}{0}{\g} % courbe du haut
%\closepath
}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}



\item La fonction $g$ est continue sur $ [0 ; +\infty [ $ et $ \mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x g(t)\: \text{d}t $, la fonction $ \mathcal{A} $ est donc dérivable sur  $ [0 ; +\infty [ $ et $  \mathcal{A}' = g >0 $. La fonction $\mathcal{A}$ est donc bien \textbf{croissante} sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 

\item Pour tout réel $x$ strictement positif, 

$ \begin{array}{lll}
\mathcal{A}(x) & =  \displaystyle\int_{0}^x g(t)\: \text{d}t & \\[8pt]
&= 5\displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-t} \: \text{d}t - 3\displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-2t} \: \text{d}t  & \text{ par linéarité de l'intégrale} \\[8pt]
& = 5\displaystyle \left[-\text{e}^{-t} \right]_0^x -3\displaystyle \left[-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2t} \right]_0^x \\[8pt]
&= 5\left( -\text{e}^{-x} +1 \right)  - 3 \left( -\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{1}{2} \right) & \\[8pt]
& = 5  - 5 \text{e}^{-x}+ \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x} -\dfrac{3}{2} \\[8pt]
\end{array}  $ \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathcal{A}(x) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{7}{2}}}
$

\item $\mathcal{A}(x) = 2 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{7}{2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{3}{2} = 0$ 

On pose $ X = \text{e}^{-x} $

$\begin{array}{lll}
x \text{ solution de }  \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{3}{2} = 0 & \Leftrightarrow X \text{ solution de } \dfrac{3}{2}X^2 - 5 X + \dfrac{3}{2}= 0 \\[5pt]
&\Leftrightarrow X \text{ solution de } 3X^2-10X+3=0 & \text{ équation du second degré} \\[5pt]
&\Leftrightarrow X = \dfrac{1}{3} \text{ ou } X = 3 \\[5pt]
&\Leftrightarrow \text{e}^{-x} =\dfrac{1}{3} \text{ ou } \text{e}^{-x} = 3 & \text{on revient à } x \text{ et } X = \text{e}^{-x} \\[5pt]
&\Leftrightarrow x = \ln 3 \text{ ou } x = - \ln 3 & - \ln \dfrac{1}{3} = -(-\ln 3) = \ln 3 \\[5pt]
&\Leftrightarrow x = \ln 3 & \text{car } x \geqslant 0 \text{ et } -\ln3 <0
\end{array} $
\end{enumerate}

Finalement, $\mathcal{A}(x) = 2 \Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x = \ln 3}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2014}}
Pour $n$ de $\mathbb{N}^*$, on note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[ 0~;~1]$ par 
$f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}$.

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on définit le nombre $I_{n}$ par 
$I_{n} = \int_{0}^1 f_{n}(x) \d x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n} \d x$. 
 
\begin{enumerate}
\item 

%Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l'aide d'un logiciel sont tracées ci-après. 

%\begin{figure}[!b]
%\begin{center}
%\psset{unit=8cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1.1,1.1)
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1)
%\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 3 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 4 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 5 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 10 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 50 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div}
%\uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$}
%\uput[ur](0.4,0.862){$f_{2}$}
%\uput[d](0.5,0.9){$f_{3}$}
%\uput[l](0.96,0.9){$f_{50}$}
%\uput[r](0.98,0.93){$f_{200}$}
%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0,1)(0.2,0)
%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.2,0.962)(0.4,0)
%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.4,0.862)(0.6,0)
%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.6,0.735)(0.8,0)
%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.8,0.61)(1,0)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{figure}

%En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite $\left(I_{n}\right)$ l'existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ et tout $x$ de $[ 0\,;\, 1()$, $1+x^n >0$ donc $f_n(x) >0$. 

Donc $I_n = \int_0^1 f_n(x) \d x$ est égale à l'aire du domaine délimité par la courbe représentant la fonction $f_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. 

D'après le graphique, cette  aire tend à se rapprocher de 1 quand $n$ tend vers $+\infty$.


\item % Calculer la valeur exacte de $I_{1}$. 
$I_1= \int_0^1 \dfrac{1}{1+x} \d x = \left [ \rule[-5pt]{0pt}{12pt} \ln (1+x)\right ]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ 

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 

%\[\dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1.\] 

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ et tout $x$ de $[ 0\,;\, 1]$:

$0 \leqslant  x^n \leqslant 1 \iff 1 \leqslant 1+x^n \leqslant 2 \iff \dfrac{1}{1} \geqslant \dfrac{1}{1+x^n} \geqslant \dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{1}{1+x^n} \leqslant 1$.

		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $I_{n} \leqslant 1$.
		
Pour tout $x$ de $] 0\,;\, 1[$, $\dfrac{1}{1+x^n} \leqslant 1$ donc, d'après la positivité de l'intégration:
 
\smallskip 
 
\hfill $\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \d x \leqslant \int_0^1 1 \d x \iff I_n \leqslant \left [x \rule[-2pt]{0pt}{10pt} \right ]_0^1 \iff I_n \leqslant 1$\hfill\,
		
	\end{enumerate} 
	
\item% Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
%\[1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ et pour tout $x$, $\left (x^n\right )^2 \geqslant 0$ donc $1- \left (x^n\right )^2 \leqslant 1$ ce qui équivaut à $\left (1-x^n\right )\left (1+x^n\right ) \leqslant 1$ et comme $1+x^n >0$ pour $x \in ] 0\,;\, 1[$: $1-x^n \leqslant \dfrac{1}{1+x^n}$.

\item%  Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\text{d}x$. 

$\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\d x 
= \left [ x-\dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right ]_0^1 
= \left [1-\dfrac{1}{n+1}\right ] - 0 = \dfrac{n}{n+1} $

\item% À l'aide des questions précédentes, démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 

On a vu que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ et tout réel $x$ de $] 0\,;\, 1[$, $1-x^n \leqslant \dfrac{1}{1+x^n}$. D'après la positivité de l'intégration, on peut en déduire que 
$  \int_0^1 (1-x^n) \d x \leqslant  \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \d x$ c'est-à-dire  $\dfrac{n}{n+1} \leqslant I_n$.

On a vu aussi que pour tout $n$, $I_n \leqslant 1$.

Donc, pour tout $n$, $\dfrac{n}{n+1} \leqslant I_n \leqslant 1$.

\smallskip

On sait que $\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n+1\rule[-2pt]{0pt}{0pt}}=0$ donc $\lim_{n \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{n+1}=1$ ce qui équivaut à $\lim_{n \to +\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$, $\lim_{n \to +\infty} 1 = 1$ et, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $\dfrac{n}{n+1\rule[-3pt]{0pt}{0pt}} \leqslant I_n \leqslant 1$; donc, d'après le théorème des gendarmes, la suite $(I_n)$ est convergente et a pour limite 1.

\item% On considère l'algorithme suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline 
%\textbf{Variables :}&  $n,\:p$ et $k$ sont des entiers naturels\\
%					& $x$ et $I$ sont des réels\\
%					&\\ 
%\textbf{Initialisation :}& $I$ prend la valeur $0$\\
%					&\\ 
%\textbf{Traitement :}& 	Demander un entier $n \geqslant 1$\\
%					& Demander un entier $p \geqslant 1$\\ 
%					&Pour $k$ allant de 0 à $p - 1$ faire :\\ 
%					&\hspace{0,5cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{k}{p}$\\ 
%					&\hspace{0,5cm} $I$ prend la valeur $I + \dfrac{1}{1 + x^n} \times \dfrac{1}{p}$\\ 
%					&Fin Pour \\
%					&Afficher $I$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item% Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l'on entre les valeurs $n = 2$ et $p = 5$ ?

On fait tourner l'algorithme proposé avec $n=2$ et $p=5$:
		 
%On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme. Les valeurs de $I$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$k$& $x$&$I$\\ \hline 
0 & 0	& 	0,2 \\ \hline
1 & 0,2	&	0,392\\ \hline
2 & 0,4 &	0,565\\ \hline
3 & 0,6 &	0,712\\ \hline
4 &	0,8 &	0,834\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

La valeur de $I$ arrondie au centième qui sera affichée est 0,83.

		\item% Expliquer pourquoi cet algorithme permet d'approcher l'intégrale $I_{n}$.
Il faut reconnaitre dans l'algorithme proposé la méthode des rectangles permettant de calculer des valeurs approchées d'aire sous une courbe; plus précisément, comme la fonction $f_n$ est décroissante sur $] 0\,;\, 1[$, on obtient la somme de rectangles majorant l'intégrale $I_n$ cherchée.

%\begin{figure}[!b]
\begin{center}
\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1)
\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 3 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 4 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 5 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 10 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 50 exp 1 add div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div}
%\uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$}
\uput[ur](0.4,0.862){$f_{2}$}
%\uput[d](0.5,0.9){$f_{3}$}
%\uput[l](0.96,0.9){$f_{50}$}
%\uput[r](0.98,0.93){$f_{200}$}
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0,1)(0.2,0)
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.2,0.962)(0.4,0)
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.4,0.862)(0.6,0)
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.6,0.735)(0.8,0)
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.8,0.61)(1,0)

\end{pspicture}
\end{center}
%\end{figure}

	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2014}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

			\begin{enumerate}
				\item L'image de $0$ par la fonction $f_1$ est : $f_1(0) = 0 + \mathrm{e}^{-0} = \boxed{\textcolor{red}{1}}$.\\
					Le point d'abscisse $0$ sur la courbe $\mathcal{C}_1$, représentative de la fonction $f_1$, est le point de coordonnées $\left(0~;~f_1(0)\right)$, c'est à dire ici $\left(0~;~1\right)$. Le point $A$, de coordonnées $\left(0~;~1\right)$ est donc bien un point de la courbe $\mathcal{C}_1$.
					
\item La fonction $f_1$ est dérivable sur \textbf{R}, en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur \textbf{R}. \\
Sa dérivée est définie sur \textbf{R} par :\\
					$f_1'(x) = 1 + (-1)\mathrm{e}^{-x} = \boxed{\textcolor{red}{1 - \mathrm{e}^{-x}}}$.\\
					\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~\iff~$} l}
						On a : $f_1'(x) \geqslant 0$ & $1 - \mathrm{e}^{-x}$\\
						& $ 1 \geqslant \mathrm{e}^{-x}$\\
						& $0 \geqslant -x$, car $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$\\
						& $ x \geqslant 0$.
					\end{tabular}\\
					On en déduit donc le tableau de variations suivant :
											\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\filet
f_1'(x)&&-&\z&+&\\
\filet
f_1(x)&\h{\pI}&\d&1&\c&\h{\pI}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

Justifions maintenant les deux limites :\\
					On a $\lim\limits_{x \to +\infty}x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}\mathrm{e}^{-x} = \lim\limits_{y \to -\infty}\mathrm{e}^y = 0$, et donc par somme : \\
					$\lim\limits_{+\infty}f_1 = \boxed{\textcolor{red}{+\infty}}$.\\
					Pour tout $x$ on a : $f_1(x) = \mathrm{e}^{-x} \times \left(x \mathrm{e}^x + 1\right)$. Et on a : $\lim\limits_{x \to -\infty} x \mathrm{e}^x = 0$, d'après la propriété des croissances comparées. On en déduit, par somme : $\lim\limits_{x \to -\infty} x \mathrm{e}^x + 1 = 1$.\\
					Comme par ailleurs on a : $\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{-x} = \lim\limits_{y \to +\infty}\mathrm{e}^y = +\infty$, on en déduit, par produit : $\lim\limits_{-\infty} f_1 = \boxed{\textcolor{red}{+\infty}}$.
				\end{enumerate}

		\smallskip

		\textbf{Partie B}
			
			\begin{enumerate}
				\item 
				\begin{enumerate}
					\item Soit un entier naturel $n$ non nul, et un réel $x$, choisi dans l'intervalle $[0~;~1]$.\\
					$x$ étant dans l'intervalle $[0~;~1]$, $x$ est positif. La fonction exponentielle étant à valeurs strictement positives, on en déduit que $\mathrm{e}^{-nx}$ est également un nombre positif. La somme de deux nombres positifs étant elle-même positive, on en déduit que $f_n(x)$ est positif. \\
					On a donc prouvé que pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est à valeurs positives sur l'intervalle $[0~;~1]$.\\
					$I_n$ est donc l'intégrale sur un intervalle d'une fonction positive sur cet intervalle, c'est donc l'aire (exprimée en unité d'aire) de la portion de plan délimitée par : l'axe des abscisses; la courbe $\mathcal{C}_n$, représentative de $f_n$, et les droites verticales d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) et $x = 1$.
					
					\item Sur l'intervalle $[0 ~;~1]$, il semble que, plus $n$ augmente, plus les courbes $\mathcal{C}_n$ semblent se rapprocher du segment d'équation $y = x$, chaque courbe semblant être en dessous de la courbe d'indice précédent.\\
					On en déduit que les aires successives sous ces courbes doivent être de \textbf{plus en plus petites}, et donc que la suite $\left(I_n\right)$ doit être \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.\\
					Comme de plus il semble que les courbes "s'écrasent" sur le segment d'équation $y = x$, à la limite, l'aire sous la courbe devrait tendre vers l'aire sous le segment, c'est à dire $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac12}}$.\\
					On peut donc émettre la conjecture que la suite converge vers $\dfrac12$ en décroissant.
				\end{enumerate}
				
				\item On a :
				\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~=~$} l}
					$I_{n+1}-I_n$ & $\displaystyle{\int_0^1{f_{n+1}(x)~\text{d} x} - \int_0^1{f_{n}(x)~\text{d} x}}$\\
					& $\displaystyle{\int_0^1{\left(f_{n+1}(x) - f_n(x) \right)~\text{d} x}}$, par linéarité de l'intégrale.\\
					& $\displaystyle{\int_0^1{\left(x + \mathrm{e}^{-(n+1)x} - \left(x + \mathrm{e}^{-nx} \right) \right)~\text{d} x}}$\\
					& $\displaystyle{\int_0^1{\left(x + \mathrm{e}^{-(n+1)x} - x - \mathrm{e}^{-nx} \right)~\text{d} x}}$\\
					& $\boxed{\textcolor{red}{{\int_0^1{\mathrm{e}^{-(n+1)x} \left(1 - \mathrm{e}^{x} \right)~\text{d} x}}}}$\\
				\end{tabular}\\
				Ce qui est ce que l'on souhaitait démontrer.\\
				On va maintenant en déduire le signe de cette différence. 
				
				Pour tout entier $n$ naturel non nul et pour tout $x$ dans l'intervalle $[0~;~1]$, le nombre $\mathrm{e}^{-(n+1)x}$ est strictement positif, car la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, quant au nombre $1 - \mathrm{e}^x$, il est négatif, car $x$ étant dans l'intervalle $[0~;~1]$, on a $x \geqslant 0$, et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur \textbf{R}, donc on en déduit que $\mathrm{e}^x \geqslant \mathrm{e}^0$, soit $\mathrm{e}^x \geqslant 1$, donc il suit que $ 1 - \mathrm{e}^x \leqslant 0$.\\
				
				Le produit de deux nombres de signes contraires étant négatif, on vient de prouver que, pour tout entier $n$ naturel non nul et pour tout $x$ dans l'intervalle $[0~;~1]$, le nombre $\mathrm{e}^{-(n+1)x} \left(1 - \mathrm{e}^x \right)$ est négatif. 
				
				L'intégrale entre deux bornes bien rangées d'une fonction négative étant négative, on en déduit que, pour tout entier $n$ non nul, la différence $I_{n+1} - I_n $ est négative. On en déduit que la suite $(I_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.\\
				Comme par ailleurs, on a déjà prouvé que, pour tout $n$ naturel non nul, la fonction $f_n$ est à valeurs positives sur l'intervalle d'intégration $[0~;~1]$, on en déduit que l'intégrale de cette fonction positive entre des bornes (0 et 1) bien rangées est positive, donc cela signifie que pour tout $n$ naturel non nul, $I_n$ est positif. On a donc prouvé que la suite est \fbox{\textcolor{red}{minorée par 0}}.\\
				
				$(I_n)$ étant une suite minorée et décroissante, on peut en conclure qu'elle est \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers une limite $\ell \geqslant 0$, car la suite est minorée par $0$.

		\item Nous allons maintenant déterminer cette limite $\ell$. Pour tout entier $n$ naturel non nul, une primitive de $f_n$ sur l'intervalle $[0~;~1]$ est définie par :\\
		$F_n(x) = \dfrac12 x^2 + \dfrac{-1}{n} \mathrm{e}^{-nx} = \dfrac12 x^2 - \dfrac{1}{n} \mathrm{e}^{-nx}$.
		On a donc : \\
		$I_n = \displaystyle{\int_0^1{f_n(x) \text{d}x}} = \left[\dfrac12 x^2 - \dfrac{1}{n} \mathrm{e}^{-nx}\right]_0^1 = F_n(1) - F_n(0) $\\
		$I_n = \dfrac12 \times 1^2 - \dfrac1n \mathrm{e}^{-n} - \left( \dfrac12 \times 0^2- \dfrac1n \mathrm{e}^0 \right) = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac12 + \dfrac1n \times \left( 1 - \mathrm{e}^{-n} \right)}}$.\\
		
		Comme on a : $\lim\limits_{n \to +\infty}\mathrm{e}^{-n} = 0$, on en déduit que $\lim\limits_{n \to +\infty}1 - \mathrm{e}^{-n} = 1$ et comme $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac1n = 0$, par produit, puis par somme de limites, on en déduit :		$\lim\limits_{n \to +\infty}I_{n} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac12}}$.\\
		Finalement, nos deux conjectures sont bien vérifiées : la suite est bien décroissante, et converge vers une limite qui est bien $\dfrac12$, l'aire sous la droite d'équation $y=x$ entre les abscisses 0 et 1.
			
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  