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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2012}}
\begin{enumerate}
\item 

%On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
%On considère les évènements suivants :

%\setlength\parindent{3mm}
%\begin{itemize}
%\item D : \og{}Le candidat est retenu sur dossier\fg{}, 
%\item E$_{1}$ : \og{}Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien\fg{}, 
%\item E$_{2}$ : \og{}Le candidat est recrut?\fg{}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{0,4}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{0,7}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{0,25}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,75}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{0,3}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,6}		 		
}
\end{center}
\medskip
 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$.
On a $p\left(E_{1}\right) = p\left(D \cap E_{1}\right) = p(D) \times p_{D}\left(E_{1}\right) \\
= 0,4 \times 0,7 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,28}}$. 
		\item %On note $F$ l'évènement \og{}Le candidat n'est pas recruté\fg{}.
		 
%Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit :

$p(F) = p\left(\overline{D}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{1}}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{2}}\right) \\
= 0,6 + 0,4 \times 0,3 + 0,4 \times 0,7 \times 0,75 \\
= 0,6 + 0,12 + 0,21 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,93}}$. D'où $p\left(\overline{F}\right) = 1 - p(F) = 1 - 0,93 = \boxed{\textcolor{red}{0,07}}$.

On peut directement calculer la probabilité d'être recruté, soit :

$p\left(\overline{F}\right) = p\left(D \cap E_{1}\cap E_{2}\right) = 0,4 \times 0,7 \times 0,25 = 0,07$.

D'où $p(F) = 1 - p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,07 = 0,93$.
	\end{enumerate} 
\item %Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
%On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
		Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.  La variable $X$ suit donc une loi binomiale $\boxed{\textcolor{red}{\mathcal{B}(n=5,\:p=0,07)}}$. 
		
		\item %Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
		On a $p(X = 2) = \binom{5}{2}0,07^2 \times 0,93^3  = 10 \times 0,07^2 \times 0,93^3 \approx \numprint{0,0394} \approx \boxed{\textcolor{red}{0,039\text{ à }10^{-3}}}$ près
	\end{enumerate} 		 
\item %Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
On reprend ici la loi binomiale mais avec $n$ candidats chacun ayant une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.

La probabilité qu'aucun ne soit retenu est égale à : $\binom{0}{n}\times 0,07^0 \times 0,93^n = \boxed{\textcolor{red}{0,93^n}}$.

La probabilité qu'un au moins des $n$ candidats soit recruté est donc égale à $\boxed{\textcolor{red}{1 - 0,93^n}}$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - 0,93^n > 0,999 \iff 0,001 > 0,93^n \iff \ln 0,001 > n \ln 0,93$ \:(par croissance de la fonction ln) $\iff n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93}$ car $\ln 0,93 < 0$.

Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93} \approx \boxed{\textcolor{red}{95,1}}$.

Il faut donc traiter \fbox{\textcolor{red}{au moins 96}} dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un candidat.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2012}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
  
\begin{enumerate}
\item $~$\vspace{-1cm}\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(0,-2.5)(10,2.5)
\psline(4,2) \psline(4,-2)
\rput(4.5,2){{$N$}} \uput[u](2,1){$0,7$}
\rput(4.5,-2){{$B$}} \uput[u](2,-2.3){$0,3$}
\psline(5,2)(9,3) \psline(5,2)(9,1)
\psline(5,-2)(9,-1) \psline(5,-2)(9,-3)
\rput(10,3){{$N$}} \uput[u](7,2.5){$0,7$}
\rput(10,1){{$B$}}\uput[u](7,0.3){$0,3$}
\rput(10,-1){{$N$}} \uput[u](7,-1.7){$0,7$}
\rput(10,-3){{$B$}}\uput[u](7,-3.8){$0,3$}
\end{pspicture}\vspace{0,4cm}
\end{center}
D'où : $p=P\left(G\right)=0,7\times0,3+0,3\times0,7\Rightarrow \boxed{\textcolor{red}{p=0,42}}$.
 
\item Soit $n$ un entier tel que $n > 2$. Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et $p_{n}$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties. 
	\begin{enumerate}
		\item L'expérience aléatoire a deux issues :
\begin{center}
\begin{itemize}
	\item succès : le joueur gagne avec une probabilité de $p=0,42$
	\item échec : le joueur perd avec une probabilité de $q=1-p=0,58$
\end{itemize}
\end{center}
		On répète cette expérience $n$ fois de manière indépendante. Donc, \textbf{la variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \boldmath $n$ et $p$ \unboldmath}. 
		\item $p_{n}=1-P(X=0)=\boxed{\textcolor{red}{1-0,58^n}}$
$ p_{10}=1-0,58^{10}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,996}}$

		\item  $1-0,58^n\geqslant 0,99 \Rightarrow 0,01 \geqslant 0,58^n \Rightarrow \ln(0,01) \geqslant \ln\big(0,58^n\big) \Rightarrow \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,58)} \leqslant n$
		
		le joueur doit jouer au moins \fbox{\textcolor{red}{9}} parties.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $~$\vspace{-0,7cm}\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(0,-2.5)(10,2.5)
\psline(4,2) \psline(4,-2)
\rput(4.5,2){{$N$}} \uput[u](2,1){$\frac{k}{k+3}$}
\rput(4.5,-2){{$B$}} \uput[u](2,-2.3){$\frac{3}{k+3}$}
\psline(5,2)(9,3) \psline(5,2)(9,1)
\psline(5,-2)(9,-1) \psline(5,-2)(9,-3)
\rput(10,3){{$N$}} \uput[u](7,2.5){$\frac{k}{k+3}$}
\rput(10,1){{$B$}}\uput[u](7,0.2){$\frac{3}{k+3}$}
\rput(10,-1){{$N$}} \uput[u](7,-1.7){$\frac{k}{k+3}$}
\rput(10,-3){{$B$}}\uput[u](7,-3.8){$\frac{3}{k+3}$}
\end{pspicture}\vspace{0,4cm}
\end{center}
		On en déduit que :\\
		$p\left(Y_{k} = 5\right) =\dfrac{k}{(k + 3)}\times \dfrac{3}{(k + 3)}+\dfrac{3}{(k + 3)}\times \dfrac{k}{(k + 3)}$ donc  $p\left(Y_{k} = 5\right) =\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{6k}{(k + 3)^2}}}$
		
		\item 
$$\begin{array}{*{4}{|c}|}
\hline
y_{i} =    & -9 & -1 & +5 \\
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}P\left(Y_{k} = y_i\right) = & \dfrac{9}{(k + 3)^2} & \dfrac{k^2}{(k + 3)^2}  & \dfrac{6k}{(k + 3)^2} \\
\hline
\end{array}$$
\end{enumerate}
\item E$\left(Y_{k}\right) = -9\times \dfrac{9}{(k + 3)^2}+ (-1)\times \dfrac{k^2}{(k + 3)^2}+ 5\times \dfrac{6k}{(k + 3)^2}=\dfrac{-81-k^2+30k}{(k + 3)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-(k-3)(k-27)}{(k + 3)^2}}}$\\
D'où :

\[\text{E}\left(Y_{k}\right)>0 \Longleftrightarrow k\in ]3~;~27[\]

Le jeu est favorable au joueur pour $\boxed{\textcolor{red}{k \in ]3~;~27[}}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  