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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : Correction du contrôle sur la fonction exponentielle et les exponentielles complexes}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (1,5 point)}}
Simplifier les expressions suivantes :\\


\begin{enumerate}[$A= $]
\item $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{3x}}=\mathrm{e}^{x-3x}=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{-2x}}}$

\item $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^3=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{3x}}}$

\item $\left(\mathrm{e}^{2}\right)^3\times \mathrm{e}=\mathrm{e}^{6}\times \mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}^{6+1}=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{7}}}$
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2,5 points)}}
%Résoudre les équations  suivantes :
Résolvons les équations  suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{1}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=1}}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{x}=-2$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$ (car, pour tout $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$)

\bigskip


\item $\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-4=0$

\noindent On pose $X=\mathrm{e}^{x}$.

\noindent L'équation équivaut à $\left\{\begin{array}{l}X=\mathrm{e}^{x}\\X^2+3X-4=0\end{array}\right.$
Or $X^2+3X-4=0\Leftrightarrow (X-1)(X+4)=0$ (1 est racine évidente). L'autre racine est -4\\
On doit donc avoir $\mathrm{e}^{x}=1\Leftrightarrow x=0$ ou $\mathrm{e}^{x}=-4$ qui n'a pas de solution.

\noindent L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{0\right\}}}$
\end{enumerate}

%\item $\mathrm{e}^{x^2}\leqslant \left(\mathrm{e}^{x}\right)^2$
%
%\bigskip

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
%Résoudre soigneusement l'inéquation :  \[\mathrm{e}^{\frac1x}\leqslant \mathrm{e}^{\frac{x}{x+2}}\]
Résolvons l'inéquation :  \[\mathrm{e}^{\frac1x}\leqslant \mathrm{e}^{\frac{x}{x+2}}\]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\mathbb{R}\setminus\left\{-2~;~0\right\}$

\item Pour $x\in\mathscr{D}$, $\mathrm{e}^{\frac1x}\leqslant \mathrm{e}^{\frac{x}{x+2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{x}{x+2}$ (car la fonction $x\mapsto \mathrm{e}^{x}$ est croissante).

\noindent Cela équivaut à $\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x+2}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{x+2-x^2}{x(x+2)\leqslant 0}$.

\noindent $x+2-x^2=-x^2+x+2=(x+1)(2-x)$ car -1 est un racine évidente.

\noindent L'inéquation équivaut à : $\dfrac{(x+1)(2-x)}{x(x+2)}\leqslant 0$ .

\noindent Le numérateur s'annule pour $x=-1$ ou $x=2$.

\item On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&-1&&0&&2&&\pI\\
\hline
x+1&&-&\bb&-&\z&+&\bb&+&\l&+&\\
\hline
2-x&&+&\bb&+&\l&+&\bb&+&\z&-&\\
\hline
x&&-&\bb&-&\l&-&\bb&+&\z&+&\\
\hline
x+2&&-&\bb&+&\l&+&\bb&+&\z&+&\\
\hline
\text{Quotient}&&-&\bb&+&\z&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : 

l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=-]\infty~;~-2[\cup[-1~;~0[\cup]2~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
%Déterminer, en justifiant, les limites suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item %$\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x+1}$
$\lim_{x\rightarrow +\infty}(-x+1)=-\infty$ donc \\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{-x+1}=\lim_{X\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{X}=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

\bigskip

\item %$\lim_{x\rightarrow -\infty}(x+1)\mathrm{e}^{-x+1}$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}(-x+1)=+\infty$ \\
donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{-x+1}=\lim_{X\rightarrow }\mathrm{e}^{X}=+\infty$.

\noindent $\lim_{x\rightarrow -\infty}(x+1)=-\infty$.

\noindent Par produit, on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}(x+1)\mathrm{e}^{-x+1}=-\infty}}$

\bigskip

\item %$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}+1}\right)$
On a une forme indéterminée : 

\noindent $\forall x,~\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x+1}}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}\left(1+\frac1{\mathrm{e}^{x}}\right)}$.

\noindent $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)=1$

\noindent $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ car $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty$ (croissances comparées).

\noindent Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}+1}\right)=0}}$
\bigskip

\item %$\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)\mathrm{e}^{-x+1}$
$\forall x\neq 1,~(x+1)\mathrm{e}^{-x+1}=\dfrac{x+1}{-x+1}\times (-x+1)\mathrm{e}^{-x+1}$

\noindent $\lim_{x\rightarrow +\infty}(-x+1)\mathrm{e}^{-x+1}=\lim_{X\rightarrow -\infty}X\mathrm{e}^{X}=0$ (en posant $X=-x+1$ et en appliqnant les formules de croissances comparées).

\noindent $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x+1}{-x+1}\right)=-1$ car $\dfrac{x+1}{-x+1}=\dfrac{x\left(1+\frac1x\right)}{x\left(-1+\frac1x\right)}=\dfrac{1+\frac1x}{-1+\frac1x}$

\noindent Par produit, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}(x+1)\mathrm{e}^{-x+1}=0}}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
\begin{enumerate}

\item %Expliquer pourquoi $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}\right)=1$.
$\lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}\right)=1$ car la limite est le nombre dérivé de $\exp$ en 0 \\
$\left(\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\text{ si la limite existe et est réelle}\right)$

\item %Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ définie par :\[\left\{\begin{array}{l}f(x)=\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}-1}\text{ si }x\neq 0\\\\f(0)=0\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Continuité : $\forall x\neq 0,~f(x)=\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}-1}=x\times \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}$ ;

\noindent $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)=1$ d'après la question précédente, donc $\lim_{x\rightarrow 0}\left(x\times \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)=0$ ; or $f(0)=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)}}$ : la fonction $f$ est \textbf{\textcolor{red}{continué en 0}}.

\item Dérivabilité en 0 : 

\noindent $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}$ d'où $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{f(x)-f(0)}x{}\right)=\lim_{x\rightarrow O}\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)=1$ d'après la première question.

\noindent $f$ est donc dérivable en 1 et $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=1}}$
\end{enumerate}
\newpage
Voilà la courbe (non demandée) qui illustre les résultats :
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-3.)(3.,1.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-3.)(3.,2.)
\psplot[plotpoints=400,linecolor=red,linewidth=2pt]{-3.0}{0.01}{x^(2.00000000000)/(EXP(x)-1.00000000000)}
\psplot[plotpoints=400,linecolor=red,linewidth=2pt]{0.01}{3}{x^(2.00000000000)/(EXP(x)-1.00000000000)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-1.34,-3.02){$f$}
\psline[linecolor=blue]{<->}(-1,-1)(1,1)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2 points)}}
On considère la fonction $f:x\mapsto x\mathrm{e}^{x}$, définie sur $\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer limites en $-\infty$ et en $+\infty$ de $f$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$ (croissances comparées)

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ donc, par produit : $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.
\end{enumerate}

\item %Après avoir expliqué pourquoi la fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$, calculer $f'(x)$ puis étudier les variations de $f$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.\\
$\forall x\in\mathbb{R},~f'(x)=1\times \mathrm{e}^{x}+x\times \mathrm{e}^{x}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^{x}}}$.

\noindent $f'(x)$ est du signe de $x+1$, donc nul en -1, négatif pour $x\leqslant -1$ et positif pour $x\geqslant -1$.

\noindent $f$ est donc décroissante sur $]-\infty~;~-1$ et croissante sur $[-1~;~+\infty]$.

\noindent $f(-1=-\mathrm{e}^{-1}=-\dfrac{1}{\mathrm{e}}\approx -0,4$

\item %Dresser alors le tableau de variations.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{0}&\d&-\dfrac{1}{\mathrm{e}}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item %Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$.
Courbe :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-1.)(2.,5.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-1.)(2.,5.)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-5.0}{2.0}{x*EXP(x)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-4.2,-0.36){$f$}
\end{scriptsize}
\psline{<->}(-2,-0.37)(1,-0.37)
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}

%\subsection{}
%Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
%\begin{enumerate}[$A= $]
%\item $2\sqrt{3}+6\mathrm{i}$
%
%\bigskip
%
%\item $(1+\mathrm{i}\sqrt{3})^4$
%\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ (unité = 4 cm).

\noindent On note A, B, C et D les points d'affixes respectives\\
\begin{tabular}{*{3}{p{2cm}}}
a=1&$b=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi 3}$&$c=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item 
%Écrivez $c$ sous forme exponentielle.
$\vert c \vert=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{}4}=\sqrt{\dfrac{12}{4}}=\sqrt{3}$.\\
Alors $c=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\sqrt{3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi 6}$

\item 
\begin{enumerate}
\item 

P%lacez les points A, B, C dans le repère.
$B$ est sur le cercle trigonométrique et la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$.

\noindent $\arg(c)=\dfrac{\pi}{6}$ donc on place le point du cercle trigonométrique qui est sur la droite d'équation $y=\dfrac{1}{2}$ ; alors C est sur l'intersection de la demi-droite [OE) et du cercle de centre O et de rayon $\sqrt{3}$.

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-2.)(2.,2.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1.)(2.,2.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!60,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(1.,0.)(1.5,0.866025403784)(0.5,0.866025403784)
\pscircle(0.,0.){2.}
\pscircle(0.,0.){3.464}
\psline(0.5,-1.)(0.5,2.)
\psplot{-1.}{2.}{(--0.5-0.*x)/1.}
\psline(0.,0.)(1.5,0.866025403784)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(1.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.,0.)(1.5,0.866025403784)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,0.866025403784)(0.5,0.866025403784)
\psline[linecolor=zzttqq](0.5,0.866025403784)(0.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,0.)
\rput[bl](1.02979824842,0.0445271571556){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.5,0.866025403784)
\rput[bl](0.532345534054,0.911057691849){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.5,0.866025403784)
\rput[bl](1.53527439365,0.911057691849){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.0348928196936,0.0445271571556){\blue{$O$}}
\rput[bl](-0.502677049051,0.694425058175){$c$}
\rput[bl](-0.871754869383,1.31222923569){$d$}
\rput[bl](0.556415826685,3.21378235349){$a$}
\rput[bl](-1.72223854232,0.566050164147){$b$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.866025403784,0.5)
\rput[bl](0.901423354387,0.550003302393){\blue{$E$}}
\rput[bl](0.813165614742,0.325347237843){$e$}
\rput[bl](0.49222837967,-0.123964891257){\zzttqq{$o$}}
\rput[bl](1.35875891436,0.373487823104){\zzttqq{$a_1$}}
\rput[bl](0.997704524908,0.999315431493){\zzttqq{$c_1$}}
\rput[bl](0.131173990215,0.501862717132){\zzttqq{$b_1$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Démontrez que OACB est un losange.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $OA=1$ (évident)

\item $OB=1$ (évident)

\item $BC=1$ (évident car ce sont des points de même ordonnée)

\item $AC=\vert c-a \vert=\vert  \dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}2
{2}\mathrm{i}-1\vert=\vert  \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\vert=1$
\end{enumerate}
Les quatre côtés du quadrilatère OACB ont la même longueur, 1, donc c'est un \textbf{\textcolor{red}{losange}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Racine n\up{ième} de l'unité\hfill (2 points)}}
Il y avait quelques fautes de frappe dans l'énonce.

\noindent Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on appelle racine n\up{ième} de l'unité tout nombre complexe tel que $z^n=1$.

On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines n\up{ième} de l'unité.\\
Par exemple : $\mathbb{U}_2=\{-1~;~1\}$.

\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\mathbb{N}^*$.% ; démontrer que, pour tout $k\in\mathbb{N}$ avec $0\leqslant k\leqslant n$, $\mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}k\pi}n}$ appartient à $\mathbb{U}_n$.
$\left(\mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}k\pi}n}\right)^n=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}k\pi}=1$ donc c'est bien un élémernt de $\mathbb{U}_n$.

\item %Réciproquement, montrer qu'un nombre complexe vérifiant $z^n=1$ appartient à $\mathbb{U}_n$ (indication : écrire $z$ sous la forme $r\mathrm{e}^{j\theta}$)
Réciproquement : soit $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $z^n=1\Rightarrow \vert z^n \vert=1\Rightarrow \vert z \vert^n=1$ donc $r^n=1$ d'où$r=1$.

\noindent On en déduit $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$.

\item $z^n=1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}=1\Leftrightarrow n\theta=0+2k\pi\Leftrightarrow \theta=\dfrac{2k\pi}{n}$.

\noindent Les racines n\up{ieme} de l'unité s'obtiennent en faisant varier $k$de 0 à $n-1$
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  