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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\[\fbox{\Large{\text{\textcolor{red}{Correction du devoir commun \no 1 - TS - 18/10/14}}}}\]

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
\begin{enumerate}
\item \text{ }\\
\begin{tabular}{*{2}{p{8cm}l}}
$v_{0}=\fbox{\text{$0$}}$&
$v_{1}=v_{0}+2\times 0+1=0+0+1=\fbox{\text{$1$}}$ \\
$v_{2}=v_{1}+2\times 1+1=1+2+1=\fbox{\text{$4$}}$ &
$v_{3}=v_{2}+2\times 2+1=4+4+1=\fbox{\text{$9$}}$ \\
$v_{4}=v_{3}+2\times 3+1=9+6+1=\fbox{\text{$16$}}$&
\end{tabular}\\

\noindent On conjecture que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \fbox{\textcolor{red}{\text{$u_{n}=n^{2}$}}}.

\item Posons, pour $n\in\mathbb{N}$ :
$\mathcal{P}(n) \ : \og{} \ u_{n}=n^{2} \fg$
		\begin{enumerate}[$\diamond$]
		\item \underline{Initialisation :}\\
		$0^{2}=0=u_{0}$ donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
		\item \underline{Hérédité :}\\
		Supposons qu'il existe $p\in\mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(p)$ soit vraie et montrons qu'alors $\mathcal{P}(p+1)$ est vraie.\\
		On a :
		\begin{align*}
		u_{p+1}&=u_{p}+2p+1 \\
		       &=p^{2}+2p+1 \ \ \text{d'après l'hypothèse de récurrence}\\
					 &=(p+1)^{2}
		\end{align*}
		Donc $\mathcal{P}(p+1)$ est vraie. 
		\item \underline{\textcolor{red}{Conclusion} :}\\
		D'après l'axiome de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
		\end{enumerate}
	
\end{enumerate}		


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}
\begin{enumerate}[a)]		
\item Considérons la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par \fbox{\text{$u_{n}=2-\frac{1}{n+1}$}}.\\
La suite $(u_{n})$ est croissante, majorée par 3 mais converge vers 2.

\item Considérons la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par \fbox{\text{$v_{n}=(-1)^{n}$}}.\\
La suite $(v_{n})$ est bornée puisque, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $-1 \leqslant v_{n} \leqslant 1$.\\
Pourtant, $(v_{n})$ ne converge pas (elle n'a pas de limite).

\item Considérons à nouveau la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par \fbox{\text{$v_{n}=(-1)^{n}$}}.\\
Le produit de cette suite par elle-même est la suite constante égale à $1$, qui converge.
\end{enumerate}


\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}
\begin{enumerate}
\item
		\begin{enumerate}[$a.$]
		\item %\[\includegraphics[scale=0.6]{construction-suite.eps}\]
		\text{ }
		\begin{center}
		\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{4.25}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){$\mathcal{C}$}
\psset{linewidth=0.3pt,linecolor=red}
\psline(5,0)(5,2.714)(2.714,2.714)(2.714,2.09)(2.09,2.09)(2.09,1.8)(1.8,1.8)(1.8,1.632)
\psset{linestyle=dashed}
\uput[d](5,-0.3){$u_{0}$}
\psline(2.714,2)(2.714,0)\uput[d](2.714,-0.3){$u_{1}$}
\psline(2.09,1.75)(2.09,0)\uput[d](2.09,-0.3){$u_{2}$}
\psline(1.8,1.6)(1.8,0)\uput[d](1.8,-0.3){$u_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item On conjecture que la suite $(u_{n})$ est \textbf{\textcolor{blue}{décroissante}} et \textbf{\textcolor{blue}{converge vers $1$}}.
		\end{enumerate}
\item 
		\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Posons, pour $n\in\mathbb{N}$ :
				$\mathcal{P}(n) \ : \og{} \ u_{n}-1>0 \fg{}$
				\begin{enumerate}[$\diamond$]
				\item \underline{Initialisation :}\\
				$u_{0}-1=5-1=4>0$ donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
				\item \underline{Hérédité :}\\
				Supposons qu'il existe $p\in\mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(p)$ soit vraie et montrons qu'alors $\mathcal{P}(p+1)$ est vraie.\\
				On a :
				$ u_{p+1}-1=\frac{4u_{p}-1}{u_{p}+2}-1=\frac{4u_{p}-1-u_{p}-2}{u_{p}+2}=\frac{3u_{p}-3}{u_{p}+2}=\frac{3(u_{p}-1)}{u_{p}+2}$.
				Or, d'après l'hypothèse de récurrence, $u_{p}-1>0$ donc :
						\begin{enumerate}[$\bullet$]
						\item $3(u_{p}-1)>0$
						\item $u_{p}+2>3>0$.
						\end{enumerate}
						Par quotient, $\boxed{\textcolor{red}{u_{p+1}-1>0}}$.
				Donc $\mathcal{P}(p+1)$ est vraie. 
				\item \underline{Conclusion :}\\
				D'après l'axiome de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
				\end{enumerate}
				
		\item On a montré dans la question précédente que la suite $(u_{n})$ était minorée (par $1$). \\
		Montrons qu'elle est \textbf{décroissante}.\\
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$,
		$$u_{n+1}-u_{n}=\frac{4u_{n}-1}{u_{n}+2}-u_{n}=\frac{4u_{n}-1}{u_{n}+2}-\frac{u_{n}(u_{n}+2)}{u_{n}+2}=\frac{-u_{n}^{2}+2u_{n}-1}{u_{n}+2}=\frac{-(u_{n}^{2}-2u_{n}+1)}{u_{n}+2}=\frac{-(u_{n}-1)^{2}}{u_{n}+2}$$
		Or $u_{n}-1>0$ et $u_{n}+2>0$ d'après la question précédente. D'où $u_{n+1}-u_{n}<0$, ce qui prouve que la suite $(u_{n})$ est \textbf{\textcolor{blue}{décroissante}}.\\
		La suite $(u_{n})$ est décroissante et minorée, donc \textbf{\textcolor{blue}{convergente}} vers une limite $\ell\geqslant 1$.\\
		Comme $f$ est continue, $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$, donc $\ell=1$ (voir fin du chapitre sur la continuité)
		\end{enumerate}
\item 
		\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, 
		$v_{n+1}-v_{n}=\frac{1}{u_{n+1}-1}-\frac{1}{u_{n}-1}=\frac{1}{\frac{4u_{n}-1}{u_{n}+2}-1}-\frac{1}{u_{n}-1}
		=\frac{1}{\frac{4u_{n}-1-u_{n}-2}{u_{n}+2}}-\frac{1}{u_{n}-1}
		=\frac{u_{n}+2}{4u_{n}-1-u_{n}-2}-\frac{1}{u_{n}-1}=\frac{u_{n}+2}{3(u_{n}-1)}-\frac{1}{u_{n}-1}=\frac{u_{n}+2-3}{3(u_{n}-1)}=\frac{u_{n}-1}{3(u_{n}-1)}=\boxed{\textcolor{red}{\frac{1}{3}}}$.\\
		
		Donc la suite $(u_{n})$ est \textbf{\textcolor{blue}{arithmétique}} de raison $\frac{1}{3}$.
		
		\item On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n}=v_{0}+nr$. Or $v_{0}=\frac{1}{u_{0}-1}=\frac{1}{4}$.\\
		Donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{v_{n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}n}}$.\\
		Or $v_{n}=\frac{1}{u_{n}-1} \Leftrightarrow u_{n}-1=\frac{1}{v_{n}} \Leftrightarrow u_{n}=\frac{1}{v_{n}}+1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{u_{n}=\frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}n}+1}}$.
		\item Par somme et produit, $\lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}n\right)=+\infty$.\\
		Par quotient, $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}n}=0$.\\
		Par somme, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n}=1}}$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4}}
\noindent\textbf{\textcolor{red}{Partie A :}}\\
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ :\\
$u_{n+1}-u_{n}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}-\frac{u_{n}(3+u_{n})}{3+u_{n}}=\frac{1+3u_{n}-u_{n}(3+u_{n})}{3+u_{n}}=\frac{1+3u_{n}-3u_{n}-u_{n}^{2}}{3+u_{n}}=\frac{1-u_{n}^{2}}{3+u_{n}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\frac{(1-u_{n})(1+u_{n})}{3+u_{n}}}}$

\item On étudie le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ c'est-à-dire celui de $\frac{(1-u_{n})(1+u_{n})}{3+u_{n}}$.\\
Par hypothèse, $u_{n}>1$ donc $1-u_{n}<0$ et $1+u_{n}>2>0$ et $3+u_{n}>4>0$.\\
Par produit et quotient, $\frac{(1-u_{n})(1+u_{n})}{3+u_{n}}<0$, ce qui prouve que la suite $(u_{n})$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.\\
La suite $(u_{n})$ est par ailleurs minorée par $1$, donc elle \textbf{\textcolor{red}{converge}}.
\end{enumerate}
\hfill\\


\noindent\textbf{\textcolor{red}{Partie B :}}\\
\begin{enumerate}
\item Pour $n=3$, on obtient le tableau suivant :
$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$i$ & $1$ & $2$ & $3$\\
\hline
$u$ & $0,8$ & $1,077$ & $0,976$ \\ 
\hline
\end{tabular}$$
car :\\
$\frac{1+0,5\times 2}{0,5+2}=0,8 \ \ \ ; \ \ \ \frac{1+0,5\times 0,8}{0,5+0,8}=\frac{14}{13} \simeq 1,077 \ \ \ \text{et} \ \ \ \frac{1+0,5\times \frac{14}{13}}{0,5+\frac{14}{13}}=\frac{40}{41} \simeq 0,976$
\item On conjecture que la suite $(u_{n})$ \textbf{\textcolor{red}{converge vers $1$}}.
\item
		\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Pour tout entier naturel $n$, on a :\\
$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}=\frac{\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}-1}{\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}+1}=\frac{\frac{1+0,5u_{n}-(0,5+u_{n})}{0,5+u_{n}}}{\frac{1+0,5u_{n}+0,5+u_{n}}{0,5+u_{n}}}=\frac{-0,5(u_{n}-1)}{1,5(1+u_{n})}=\frac{-0,5}{1,5}v_{n}=\boxed{\textcolor{red}{\frac{-1}{3}v_{n}}}$.\\

		Donc la suite $(v_{n})$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $\frac{-1}{3}$.
		
		\item $v_{0}=\frac{u_{0}-1}{u_{0}+1}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$. Donc, pour tout entier naturel $n$, on a :
		$\boxed{\textcolor{red}{v_{n}=\frac{1}{3}\times \left(\frac{-1}{3}\right)^{n}}}$
		\end{enumerate}
\item
		\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Pour tout entier naturel $n$, $\left(\frac{-1}{3}\right)^{n}<1$ donc $\frac{1}{3}\times \left(\frac{-1}{3}\right)^{n}<\frac{1}{3}$. Donc $v_{n} \not= 1$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, \\
$v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+1} \Leftrightarrow v_{n}(u_{n}+1)=u_{n}-1 \Leftrightarrow v_{n}\times u_{n}+v_{n}=u_{n}-1 \Leftrightarrow v_{n}\times u_{n}-u_{n}=-v_{n}-1\Leftrightarrow u_{n}(v_{n}-1)=-(v_{n}+1)\Leftrightarrow u_{n}=\frac{-(v_{n}+1)}{v_{n}-1} \Leftrightarrow u_{n}=\frac{v_{n}+1}{1-v_{n}}$

		\item Comme $-1<\frac{-1}{3}<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty} \left(\frac{-1}{3}\right)^{n}=0$. Donc, par produit, $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n}=0$.\\[0.2cm]
		Par somme, $\lim_{n\rightarrow +\infty}(1+v_{n})=1$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}(1-v_{n})=1$.\\
		Par quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=1}}$.
		\end{enumerate}		
\end{enumerate}
\hfill\\


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 5}}
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, on a : $3x^{2}+5x+1=x^{2}\left(3+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)$.\\
Or $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{5}{x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x^{2}}=0$.\\
Donc, par somme, $\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(3+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)=3$.\\
Or $\lim_{x \rightarrow -\infty} x^{2}=+\infty$. Donc, par produit, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \rightarrow -\infty} 3x^{2}+5x+1 =+\infty}}$

\item Pour tout réel $x$ différent de $-\frac{3}{2}$, on a :$\frac{3x^{2}+3x-1}{2x+3}=\frac{x^{2}\left(3+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(2+\frac{3}{x}\right)}=\frac{x\left(3+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{2+\frac{3}{x}}$.\\
Or $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{3}{x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x^{2}} = 0$. Donc, par somme $\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(3+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)=3$ et $\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(2+\frac{3}{x}\right)=2$.\\
De plus, $\lim_{x \rightarrow -\infty} x =-\infty$.\\
Donc, par produit et quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{3x^{2}+3x-1}{2x+3} =-\infty}}$

\item Pour tout réel $x$ non nul, on a : $\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x\left(1+\frac{\sqrt{x}}{x}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}$.\\
Or $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0$ par quotient. \\
Par somme, $\lim_{x\rightarrow +\infty} 1+\frac{1}{\sqrt{x}}=1$.\\
Donc par produit et quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}=0}}$

\item Pour tout réel $x$ différent de $-3$, $\frac{x^{2}-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -3} \frac{x^{2}-9}{x+3} = -6}}$.

\item Pour tout réel $x$, on a :
$$-1\leqslant \sin(3x+7) \leqslant 1 \Leftrightarrow x\leqslant x+1+\sin(3x+7) \leqslant x+2$$
Or $\lim_{x \rightarrow +\infty} x=+\infty$.\\
Donc, d'après le théorème de minoration, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x \rightarrow +\infty} (x+1+\sin(3x+7)) = +\infty}}$.
\end{enumerate}




\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 6}}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x>1$, on a :
\begin{align*}
-1 \leqslant \sin x \leqslant 1 & \Leftrightarrow   2x-1 \leqslant 2x+\sin x \leqslant 2x+1  \\
                                & \Leftrightarrow   \frac{2x-1}{x-1} \leqslant \frac{2x+\sin x}{x-1} \leqslant \frac{2x+1}{x-1}  \ \ \text{car $x-1>0$}\\
																& \Leftrightarrow   \fbox{\text{$\frac{2x-1}{x-1} \leqslant f(x) \leqslant \frac{2x+1}{x-1}$}}\\
\end{align*}
\item Pour tout $x>1$, on a : $\frac{2x-1}{x-1}=\frac{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$.\\
Or $\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(2-\frac{1}{x}\right)=2$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty 1-\frac{1}{x}}=1$ donc, par quotient, $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x-1}{x-1} = 2$.\\
On montre de même que $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x+1}{x-1} = 2$.\\
D'après le théorème des gendarmes, \fbox{\text{$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=2$}}.
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Bonus}}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Faux}. Si $(u_{n})$ converge vers $0$, la suite $(v_{n})$ est divergente puisque $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{-4}{u_{n}}=\pm \infty$ (suivant le signe de $u_{n}$).

\item \textbf{Faux}. Si $(u_{n})$ est minorée par $2$, alors $(v_{n})$ est minorée par $-2$ puisque :
$$u_{n} \geqslant 2 \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n}} \leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{4}{u_{n}} \leqslant 2  \Leftrightarrow \frac{-4}{u_{n}} \geqslant -2   \Leftrightarrow v_{n} \geqslant -2$$
Contre-exemple : $(u_{n})$ définie par $u_{n}=2+\frac{1}{n}$. Alors $v_{1}=\frac{-4}{2+\frac{1}{1}}=\frac{-4}{3}$ donc $(v_{n})$ n'est pas minorée par $2$.
\item \textbf{Faux}. Contre-exemple : $(u_{n})$ définie par $u_{n}=\frac{1}{n+1}$. On a alors $v_{n}=\frac{-4}{\frac{1}{n+1}}=-4(n+1)$.\\
La suite $(v_{n})$ est décroissante bien que la suite $(u_{n})$ soit également décroissante.
\item \textbf{Faux}. Si $(v_{n})$ est la suite divergente définie par $u_{n}=(-1)^{n}$, alors $(v_{n})$ est définie par $v_{n}=\frac{-4}{(-1)^{n}}$.\\
Or la suite $(v_{n})$ est également divergente puisqu'elle n'admet pas de limite. ($u_{n}$ vaut $-4$ si $n$ est pair et $4$ si $n$ est impair).
\end{enumerate}



\label{fin}
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\end{document}
