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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\newcommand{\limi}[2]{\displaystyle\lim_{#1 \to #2}}

\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du baccalauréat blanc de mars 2015}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2011}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right)$.
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$.
$f(x) = x \iff x - \ln \left(x^2 + 1\right) = x \iff \ln \left(x^2 + 1\right) = 0 \iff x^2 + 1 = 1 \iff x^2 = 0 \iff \boxed{\textcolor{red}{x = 0}}$ \marginpar{(1)}

\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $[0~;~1]$ est dérivable et sur cet intervalle :

$\forall x\in[0~;~1],~f'(x) = 1 - 2x \times \dfrac{1}
{x^2 + 1} = \dfrac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 + 1} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}}}$.

$\forall x$, $x^2 + 1\geqslant 1 > 0$ et sur [0~;~1], $(x - 1)^2 \geqslant 0$, donc sur [0~;~1], $f'(x) \geqslant 0$ : la fonction est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur [0~;~1].

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{f(0) = 0}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(1) = 1 - \ln 2 < 1}}$.

\noindent On en déduit le \textbf{tableau de variation} de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1\\
\hline
f'(x)&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{1-\ln 2}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
%En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
Toutes les images $f(x)$ appartiennent donc à l'intervalle [0~;~1].\marginpar{(2,5)}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item Conctruction des termes :
\begin{center}
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\psset{xunit=5cm , yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.6)(1.6,1.3)
\def\xmin{-0.3} \def\xmax{1.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{1.2}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.4,-0.6)(1.6,1.3)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,0.30685)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,0.30685)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0.30685)(0,0.30685)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1,0.30685)(0,0.30685)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.30685,0.30685)(0.30685,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0.30685,0.30685)(0.30685,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.30685,0)(0.30685,0.21686)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0.30685,0)(0.30685,0.21686)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.21686,0.21686)(0.21686,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0.21686,0.21686)(0.21686,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.21686,0)(0.21686,0.1709)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0.21686,0)(0.21686,0.1709)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.21686,0.1709)(0,0.1709)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0.21686,0.1709)(0,0.1709)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.1709)(0.1709,0.1709)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,0.1709)(0.1709,0.1709)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1709,0.1709)(0.1709,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0.1709,0.1709)(0.1709,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1709,0)(0.1709,0.14211)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0.1709,0)(0.1709,0.14211)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0.1709,0.14211)(0,0.14211)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.14211)(0.14211,0.14211)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,0.14211)(0.14211,0.14211)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.14211,0.14211)(0.14211,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0.14211,0.14211)(0.14211,0)
\def\F{x x 2 exp 1 add ln sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-0.3}{1.4}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.3}{1.4}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](1,0){ $u_0$}
\uput[180](0,0.30685){ $u_1$}
\uput[-90](0.30685,0){ $u_1$}
\uput[180](0,0.21686){ $u_2$}
\uput[-90](0.21686,0){ $u_2$}
\uput[180](0,0.1709){ $u_3$}
\uput[-90](0.1709,0){ $u_3$}
\uput[180](0,0.14211){ $u_4$}
\uput[-90](0.14211,0){ $u_4$}
\end{pspicture*}

\marginpar{(1)}
\end{center}

\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$.
Démontrons par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \emph{\textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} :} $u_{0} = 1 \leqslant 1$, donc $u_{0} \in [0~;~1]$.

\item \emph{\textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} :} Supposons qu'il existe un entier $p$ tel que $u_{p} \in [0~ ;~1]$ ; d'après la partie A, on a $u_{p+1} = f\left(u_{p} \right)$ et on a vu que si $u_{p} \in [0~ ;~1]$, alors
$f\left(u_{p} \right) = u_{p+1} \in [0~;~1]$.

\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence,  pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n\in[0~;~1]}}$.\marginpar{(2)}

\item %Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
On a $u_{n+1} - u_{n} = - \ln \left(u_{n}^2  + 1\right)$

Or $u_{n} \geqslant 0 \Rightarrow u_{n}^2 \geqslant 0 \Rightarrow  u_{n}^2 + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \ln \left(u_{n}^2  + 1\right) \geqslant 0 \iff  0 \geqslant - \ln \left(u_{n}^2  + 1\right)$.

\textbf{Conclusion} : quel que soit le naturel $n,~u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0$ : la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.\marginpar{(1,5)}

\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tous ses termes sont minorés par $0$ : elle est donc \textbf{convergente} vers une limite $\ell$ supérieure ou égale à $0$.

%Déterminer sa limite.
$f$ est continue comme somme et composée de fonctions continues. On en déduit que $\ell$ est solution de l'équation $x = f(x)$, équation dont on a vu que la seule solution est $0$.

\noindent $\left(u_n\right)$ converge donc vers 0.\marginpar{(2)}

\end{enumerate} 

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud novembre 2013}}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
 
On considère l'équation $(E) :\quad  z^2 -2z\sqrt{3} + 4 = 0$.
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 

On résout l'équation (E):
$z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0$; $\Delta= \left(-2\sqrt 3\right)^2 - 4\times 1\times 4 = 12-16 = - 4<0$.

L'équation admet donc deux solutions \textbf{complexes conjuguées}:

$z' = \dfrac{-\left(-2\sqrt 3\right) +\i\sqrt 4}{2}=\dfrac{2\sqrt 3 + 2\i}{2} = \boxed{\textcolor{red}{\sqrt 3 +\mathrm{i}}}$ et $z''=\overline{z'}= \boxed{\textcolor{red}{\sqrt 3 -\mathrm{i}}}$.\marginpar{(1)}

\item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \mathrm{e}^{\i(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$. 
$z_1=2^1 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-1\right)^1 \frac{\pi}{6}} = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{-\pi}{6}}
 = 2\left(\cos\left( \dfrac{-\pi}{6}\right) + \mathrm{i} \sin\left(\dfrac{-\pi}{6}\right)\right)
= 2\left(\dfrac{\sqrt 3}{2} +\mathrm{i} \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)
=\sqrt 3 - \mathrm{i} = z''$

Donc \fbox{\textcolor{red}{$z_1$ est solution de l'équation (E)}}.\marginpar{(1)}				
		\item %Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique. 
$z_2= 2^2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-1\right)^2 \frac{\pi}{6}} = 4 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{\pi}{6}}=4\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + \mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = 4 \left(\dfrac{\sqrt 3}{2} +\mathrm{i} \dfrac{1}{2}\right)= \boxed{\textcolor{red}{2\sqrt 3 + 2\mathrm{i}}}$.

$z_3= 2^3 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-1\right)^3 \frac{\pi}{6}} = 8 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{-\pi}{6}}=8\left(\cos\dfrac{-\pi}{6} + \mathrm{i}\sin\dfrac{-\pi}{6}\right) = 8 \left(\dfrac{\sqrt 3}{2} +\mathrm{i} \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)=\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt 3 - 4\mathrm{i}}}$.\marginpar{(1)}

%$z_4= 2^4 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-1\right)^4 \frac{\pi}{6}} = 16 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{\pi}{6}}=16\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + \mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = 16 \left(\dfrac{\sqrt 3}{2} +\mathrm{i} \dfrac{1}{2}\right)= 8\sqrt 3 + 8\mathrm{i}$

		\item %Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left|z_1\right|=2$ donc le point $M_1$ d'affixe $z_1$ est situé sur le cercle de centre O et de rayon 2; de plus, la partie imaginaire de $z_1$ est $-1$ donc le point $M_1$ est situé sur la droite d'équation $y=-1$.

\item Pour placer le point $M_2$, on utilise le fait que $\left|z_2\right|=4$ et que $\text{Im}\left(z_2\right)=2$.

\item Pour placer le point $M_3$, on utilise le fait que $\left|z_3\right|=8$ et que $\text{Im}\left(z_3\right)=-4$.

\item $z_4=2^4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-1\right)^4\frac{\pi}{6}}=16 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$;
pour placer le point $M_4$, on utilise le fait que $\left|z_4\right|=16$; de plus $\arg\left(z_4\right)=\dfrac{\pi}{6}= \arg\left(z_2\right)$ donc les points O, $M_2$ et $M_4$ sont alignés donc $M_4 \in \left(OM_2\right)$. \marginpar{(1)}

\item \textbf{Voir la figure en annexe}.
\end{enumerate}
	\end{enumerate} 
	
\item %Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$. 

Si $n\geqslant 1$ et $n$ pair, $\left(-1\right)^n=+1$, donc $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-1\right)^n\frac{\pi}{6}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\mathrm{i}}{2}= \dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\left(-1\right)^n\mathrm{i}}{2}$.

Donc si $n\geqslant 1$ pair, $z_n= 2^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-1\right)^n\frac{\pi}{6}} =\boxed{\textcolor{red}{ 2^n\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\left(-1\right)^n\mathrm{i}}{2}\right)}}$.

\smallskip

Si $n$ impair, $\left(-1\right)^n=-1$, donc $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-1\right)^n\frac{\pi}{6}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{-\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt 3}{2}- \dfrac{\mathrm{i}}{2}= \dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\left(-1\right)^n\mathrm{i}}{2}$.

Donc si $n$ impair, $z_n= 2^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(-1\right)^n\frac{\pi}{6}} =\boxed{\textcolor{red}{ 2^n\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\left(-1\right)^n\mathrm{i}}{2}\right)}}$.

\smallskip

Donc pour tout entier $n \geqslant 1$, $\boxed{\textcolor{red}{z_n= 2^n\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\left(-1\right)^n\mathrm{i}}{2}\right)}}$\marginpar{(2)}

\item %Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.

$M_1M_2 = \left| z_2-z_1 \right|=  \left| 2\sqrt 3+2\mathrm{i} -\left(\sqrt 3-\mathrm{i}\right) \right|
= \left| 2\sqrt 3+2\mathrm{i} -\sqrt 3 +\mathrm{i} \right|
= \left| \sqrt 3+3\mathrm{i}  \right|\\[3pt] 
\phantom{M_1M_2} = \sqrt{\left(\sqrt 3\right)^2+3^2} 
= \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = \boxed{\textcolor{red}{2\sqrt 3}} $

\smallskip

$M_2M_3 = \left| z_3-z_2 \right|=  \left| 4\sqrt 3 - 4\mathrm{i} -\left(2\sqrt 3+2\mathrm{i}\right) \right|
= \left| 4\sqrt 3 -4\mathrm{i} -2\sqrt 3 -2\mathrm{i} \right|
= \left| 2\sqrt 3 - 6\mathrm{i}  \right|\\[3pt] 
\phantom{M_2M_3} = \sqrt{\left(2\sqrt 3\right)^2 + \left(-6\right)^2}
= \sqrt{12+36} = \sqrt{48} = 4\sqrt 3 =\boxed{\textcolor{red}{2^2\sqrt 3}}$\marginpar{(2)}

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $\boxed{\textcolor{red}{M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}}}$. 

\item On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots 	+ M_{n}M_{n+1}$.
	\begin{enumerate}	
		\item %Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \mathrm{e}ll^n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$. 

D'après la question 4,
$\ell_n = 2\sqrt 3 + 2^2\sqrt 3 + \cdots + 2^n\sqrt 3 =
\left(2+2^2+ \cdots + 2^n\right)\sqrt 3$  

La suite $\left(2^n\right)$ définie pour $n\geqslant 1$ est \textbf{géométrique} de raison $q=2$ et de premier terme $2^1=2$; la somme S de ses premiers termes consécutifs est donnée par la formule:

\[S= \text{premier terme} \times \dfrac{1- \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}\]

donc
$2+2^2+ \cdots 2^n = 2\times \dfrac{1-2^n}{1-2} = 2 \times \dfrac{2^n-1}{2-1} = 2\left(2^n-1\right)$

\smallskip

$\ell_n = \left(2+2^2+ \cdots + 2^n\right)\sqrt 3 = \boxed{\textcolor{red}{2\sqrt 3\left(2^n-1\right)}}$ \marginpar{(1)} 

		\item %Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\mathrm{e}ll^n \geqslant  \np{1000}$.

$\ell_n \geqslant  \numprint{1000} \iff 2\sqrt 3\left(2^n-1\right) \geqslant \numprint{1000} 
\iff 2^n-1 \geqslant \dfrac{\numprint{1000}}{2\sqrt 3}
\iff 2^n \geqslant \dfrac{\numprint{1000}}{2\sqrt 3}+1$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,,\, +\infty[$, donc

$\ell_n \geqslant  \numprint{1000}
\iff \ln\left(2^n\right) \geqslant \ln\left(\dfrac{\numprint{1000}}{2\sqrt 3}+1\right)=\dfrac{500}{\sqrt{3}+1}
\iff n\ln 2 \geqslant \ln\left(\dfrac{\numprint{500}}{\sqrt 3}+1\right)$

Or $\ln 2>0$ donc

$\ell_n \geqslant  \numprint{1000} 
\iff n \geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{\numprint{500}}{\sqrt 3}+1\right)}{\ln 2}
\iff \boxed{\textcolor{red}{n \geqslant 8,18}}$.

\smallskip

Le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant \numprint{1000}$ est $\boxed{\textcolor{red}{9}}$.

On peut vérifier que $\ell_8 = 510\sqrt 3 \approx 883 < \numprint{1000}$ et $\ell_9 = \numprint{1022}\sqrt 3 \approx \numprint{1770} > \numprint{1000}$.		\marginpar{(1)}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-1,-9)(17,9)
\multido{\n=0+2}{9}
        {\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=gray](\n,-9)(\n,9)}
\multido{\n=-8+2}{9}
        {\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9)
\uput[dl](0,0){O}
%\psdots
\psline[showpoints=true](2;-30)(4;30)(8;-30)(16;30)
\psset{linecolor=red}
\psarc[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){2}{-60}{0}
\psarc[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){4}{0}{60}
\psarc[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){8}{-60}{0}
\psarc[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){16}{0}{60}
\uput[dr](2;-30){$M_1$} 
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,-1)(2.5,-1)
\uput[l](0,-1){\red $-1$}
\uput[80](4;30){$M_2$}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,2)(4.5,2)
\uput[dr](8;-30){$M_3$}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,-4)(8.5,-4)
\uput[80](16;30){$M_4$}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0)(18;30)
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2012}}
%On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ réelle : $\mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right)$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conjecture graphique}}\\

%\noindent Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\left(x^2+x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%¿ l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.\\
%
%\bigskip

Les solutions de l'équation $ (E) $ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir $2$. L'une comprise entre $-1$ et $0$, l'autre entre $0$ et $1$.\marginpar{(1)}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in \mathbb{R},x^2 + x^3 = x^2(1+x)$. Comme un carré est positif ou nul, $ x^2+x^3 $ est du signe de $ 1 + x $. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $ x^2+x^3=0 $ pour $x \in \left\lbrace -1~;~0 \right\rbrace $.
\item $ x^2+x^3 >0$ pour $ x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[$.
\item  $ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]\infty~;~ -1[$.\marginpar{(1)}
\end{enumerate}

\item $x$ solution de $(E)\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right) \Leftrightarrow x^2+x^3 = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3}$. Or, pour tout réel $x, \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3} >0$, alors que  $ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]\infty~;~-1[$. $(E)$ n'a \textbf{\textcolor{red}{pas de solution}} sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.

\item $ \mathrm{e}^{x} = 1 $  et $ 3 \times (0^2 + 0^3)=0 $. Donc \fbox{\textcolor{red}{$0$ n'est pas solution de (E)}}.\marginpar{(0,5)}
\end{enumerate}

\item $\forall x \in ]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[, 
(E)  \Leftrightarrow  \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right) 
\Leftrightarrow \ln \mathrm{e}^{x} = \ln \left( 3\left(x^2+x^3\right)\right) \\
 \Leftrightarrow  x = \ln 3 + \ln \left( x^2\left( 1+x \right) \right) 
\Leftrightarrow 	 x = \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) \\
 \Leftrightarrow   \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) -x = 0
 \Leftrightarrow 	\boxed{\textcolor{red}{h(x) = 0}} $\marginpar{(1,5)}

\item 
\begin{enumerate}
\item $h$ est une somme et composée de fonctions de référence dérivables, donc $h$ est bien \textbf{\textcolor{red}{dérivable}} sur $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$. 

Si $u>0$ sur un intervalle, alors $ \ln u $ est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est $ \dfrac{u'}{u} $.

Pour tout réel $x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[, h'(x) = 0 + \dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2}{x}+ \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2(x+1)+x-x(x+1)}{x(x+1)}  =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.}}$\marginpar{(1,5)}

\item Pour étudier le sens de variations de $h$, on étudie le signe de sa dérivée. 

Les numérateurs et dénominateurs sont des trinômes du second degré. 

Pour le dénominateur, les racines sont $0$ et $-1$, le coefficient du terme $x^2$ est $1>0$. Il est donc positif \og à l'extérieur \fg{} des racines, négatif \og entre \fg{} les racines (voir le tableau).

Pour le numérateur, pas de racine évidente. On calcule donc le discriminant. On trouve : $ \Delta =12>0 $ et les deux racines sont $ x_1 = \dfrac{-2+2 \sqrt{3}}{-2} = \boxed{\textcolor{red}{1-\sqrt{3}}} $ et $ x_2 =\boxed{\textcolor{red}{ 1+\sqrt{3}}} $. Le coefficient du terme $x^2$ est $-1>0$, d'où le signe (voir tableau)


Étude des limites aux bornes :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en $ -1 $

%$ \left. \begin{array}{l}
%\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3 - 1 \\
% \left\lbrace \begin{array}{lcc}
%\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad x^2  & = & 1 \\
%\displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad  \ln X  & = & 0
%\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad \ln x^2   =  0  \\
%
%\left\lbrace \begin{array}{lcc}
%\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad 1+x  & = & 0 \\
%\displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X  & = & -\infty
%\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad \ln (1+x)   =  -\infty 
%\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad h(x)  =  0  $
$\lim_{x\rightarrow -1}\ln x^2=\lim_{X\rightarrow 1}\ln X=0$\\
$\lim_{x\rightarrow -1}\ln(1+x)=\lim_{X\rightarrow 0}\ln X=-\infty$\\
$\lim_{x\rightarrow -1}x=-1$\\
Par somme :$\lim_{x\rightarrow -1}h(x)=-\infty$

\item Limite en $ 0 $

%$ \left. \begin{array}{l}
%\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3  \\
% \left\lbrace \begin{array}{lcc}
%\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad x^2  & = & 0 \\
%\displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X  & = & -\infty
%\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad \ln x^2   =  -\infty  \\
%
%\left\lbrace \begin{array}{lcc}
%\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad 1+x  & = & 1 \\
%\displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad  \ln X  & = & 0
%\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad \ln (1+x)   =  0 
%\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad h(x)  =  -\infty  $
$\lim_{x\rightarrow 0}\ln x^2=\lim_{X\rightarrow 0}\ln X=-\infty$\\
$\lim_{x\rightarrow 0}\ln(1+x)=\lim_{X\rightarrow 1}\ln X=0$\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 0}h(x)=-\infty}}$

\item Limite en $ +\infty $

%$ \left. \begin{array}{r}
%\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad \ln 3 -x   =  - \infty \\
% \left\lbrace \begin{array}{lcc}
%\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad x^2  & = & +\infty \\
%\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
%\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln x^2   =  +\infty  \\
%
%\left\lbrace \begin{array}{lcc}
%\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
%\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
%\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln (1+x)   =  +\infty 
%\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \text{on a la F.I. }"+\infty - \infty"$
Pour $x>0$, $h(x)=\ln 3+2\ln x+\ln(x+1)-x=\ln 3+x\left[2\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{x+1}{x}\times \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}-1\right]$.\\
D'après les croissances comparées, $\lim_{x\rightarrow =\infty}=0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$.
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x+1}{x}=1$ car $\dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}=1$
\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=-\infty}}$

\noindent $\lim_{x\rightarrow +\infty}$
$ h(x) = \ln 3 +(x+1) \left( \dfrac{2 \ln x}{x+1} + \dfrac{\ln(1+x)}{x+1}-\dfrac{x}{x+1} \right)  $.

%
%\begin{itemize}
%\item $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{x}{x+1}   = \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} = 1  $ 
%\item $  \left\lbrace \begin{array}{lcc}
%\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
%\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad \dfrac{ \ln X }{X} & = & 0
%\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad\dfrac{\ln(1+x)}{x+1}   =  0 $
%\item Pour tout $x > 1, 0 \leqslant\dfrac{\ln x}{x + 1} < \dfrac{ \ln x}{x}  $. Par comparaison, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x} = 0 $ et le théorème des gendarmes assure que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x+1} = 0 $
%
%Finalement avec des opérations élémentaires, on obtient enfin $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } h(x) = -\infty $.

Pour avoir le tableau de variations complet, il nous faut encore les signes de $ h\left(1-\sqrt{3}\right) <0 $ et $ h(1 + \sqrt{3})> 0 $ que l'on obtient avec la calculatrice. 

\begin{center}
\begin{variations}
x&-1&&1-\sqrt{3}&&&0&&&1+\sqrt{3}&&\pI\\
\filet
-x^2+2x+2	&\bb&-&\z&+&&\l&&+&\z&-&\\
\filet
x(x+1)&\bb&-&\l&-&&\z&&+&\l&+&\\
\filet
h'(x)&\bb&+&\z&-&&\bb&&+&\z&-&\\
\filet
\m{h(x)}&\bb&\c&\h{\approx -0.11}&\d&\mI&\bb&\mI&\c&\h{\approx 1,7}&\d&\mI\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}\marginpar{(2)}


\item \begin{itemize}
\item Sur l'intervalle $ \left]-1 ~;~ 0\right[  $, la dérivée s'annule en changeant de signe $ (+;-) $, donc $ h(1-\sqrt{3}) $ est un maximum pour $h$ sur cet intervalle. Or $ h(1-\sqrt{3}) <0$ donc l'équation $ h(x) = 0 $ \textbf{n'a pas de solution} sur $ \left]-1~;~0\right[$, contrairement à la conjecture émise dans la partie A.

\item Sur l'intervalle $ ]0 ~;~ 1+\sqrt{3}[ $ la fonction $h$ est  continue ; $0$ est compris entre $ \displaystyle \lim_{x \to 0 }h(x) $ et $ h\left(1+\sqrt{3}\right) $, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ h(x) = 0 $ admet donc au moins une solution sur $ \left[0~;~ 1+\sqrt{3} \right[$. Comme $h$ est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution $ \alpha_1 $ est unique.

La calculatrice donne : $ h(0,61) \approx -0,02 $ et $ h(0,62) \approx 0,24 $.

$0$ est donc compris entre $ h(0,61) $ et $ h(0,62) $, le raisonnement précédent assure donc que 

$ \boxed{\textcolor{red}{\alpha_1 \in [0,61~;~0,62 ] }}$. 

Une valeur approchée de $\alpha_1$, arrondie au centième est donc par exemple $ 0,61 $.

\item Comme $ h(1+\sqrt{3}) > 0 $, $0$ est aussi compris entre  $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty }h(x) $ et $ h\left(1 + \sqrt{3}\right) $. Le même raisonnement assure donc l'existence d'une autre solution dans cet intervalle. Voir le tableau.

Avec la calculatrice, on trouve  $\boxed{\textcolor{red}{\alpha_2\approx  7,11}}$,  au centième près.\marginpar{(1,5)}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item La conjecture de la partie A est erronée. Il y a bien deux solutions mais pas celles envisagées !\marginpar{(1)}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013}}

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $\limi{x}{+\infty}(x+1)=+\infty$ et $\limi{x}{+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$, donc, par opérations $\boxed{\textcolor{red}{\limi{x}{+\infty}f(x)=+\infty}}$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x$. Or $\limi{x}{-\infty}x\mathrm{e}^x=0$ (croissances comparées) et $\limi{x}{-\infty}\mathrm{e}^x=0$, donc, par opérations  $\boxed{\textcolor{red}{\limi{x}{-\infty}f(x)=0}}$.\marginpar{(1,5)}

\item Pour tout réel $x$,$ f'(x)=1\mathrm{e}^x+(x+1)\mathrm{e}^x=\boxed{\textcolor{red}{(x+2)\mathrm{e}^x}}$.\marginpar{(1)}

\item Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $x+2$. On en déduit le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{0}&\d&-\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}\marginpar{(1)}

\end{center}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
 On a, pour tout réel $x$:
 \begin{eqnarray*}
 g_m(x)=0 &\Longleftrightarrow& x+1=m\mathrm{e}^x\\
 &\Longleftrightarrow& (x+1)\mathrm{e}^x=m\\
 &\Longleftrightarrow& f(x)=m.
 \end{eqnarray*}\marginpar{(1,5)}

\item D'après l'équivalence et le tableau de variations précédents:
\begin{itemize}
\item si $m<-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$: l'équation $g_m(x)=0$ ne possède aucune solution, donc $\mathcal{C}_m$ ne coupe pas l'axe des abscisses;
\item si $m=-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$: l'équation $g_m(x)=0$ possède une solution, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en un point;
\item si $-\frac{1}{\mathrm{e}^2}<m<0$: l'équation $g_m(x)=0$ possède deux solutions, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en deux points;
\item si $m\geqslant 0$: l'équation $g_m(x)=0$ possède une solution, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe des abscisses en un points.\marginpar{(2)}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item
La courbe 1 ne coupe pas l'axe des abscisses, donc l'équation $g_m(x)=0$ n'a pas de solution et cela entraîne que $m<-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$. La seule possibilité est donc que $m=-\mathrm{e}$.
\item La courbe 2 coupe l'axe des abscisses une seule fois, donc $m=-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ ou $m\geqslant 0$. La seule possibilité est donc $m=0$.
\item Par élimination, la courbe 3 correspond à $m=\mathrm{e}$.\marginpar{(2)}
\end{itemize}
\item Pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=-m\mathrm{e}^x$ qui est du signe de $-m$; on en déduit:
\begin{itemize}
\item si $m>0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est en dessous de $\mathcal{D}$;
\item si $m<0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est au dessus de $\mathcal{D}$;
\item si $m=0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=00$, donc $\mathcal{C}_m$ et  $\mathcal{D}$ sont confondues.\marginpar{(1)}
\end{itemize}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  