\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}

\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Correction du contrôle commun \no  5 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
30 mai 2015}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : correction du contrôle commun \no 5}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie novembre 2013}}
\begin{enumerate}

\item Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11~mm; donc la probabilité qu'une bille soit dans la norme est $P\left(9 \leqslant X \leqslant 11\right) \approx 0,98758067$.

\noindent La probabilité que la bille soit hors norme est donc : $1-P\left(9 \leqslant X \leqslant 11\right) \approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0124}}}$

\noindent Une valeur approchée à  \numprint{0,0001} de la probabilité qu'une bille soit hors norme est alors : \\
$1-P\left(X\leqslant 11\right)\approx\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0124}}}$.

\item 

	\begin{enumerate}

		\item On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé:

\begin{center}
\psset{treemode=R,nodesep=0mm,levelsep=40mm}% treesep=15mm
\pstree{\Tdot}
	   {
	   \pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$N$}\taput{\numprint{0,9876}}}
	          {
	          \Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{0,99}
	          \Tdot~[tnpos=b]{$\overline A$}\tbput{0,01}
	          } 
	   \pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline N$}\tbput{\numprint{0,0124}}}
	          {
	          \Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{0,02}
	          \Tdot~[tnpos=b]{$\overline A$}\tbput{0,98}
	          }
	   }
\end{center}



		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $A$. 
D'après la formule des probabilités totales:

$P\left(A\right)=P\left(N \cap A\right) + P\left(\overline N \cap A\right) = P\left(N\right)\times P_N\left(A\right) + P\left(\overline N\right) \times P_{\overline N}\left(A\right)\\
\phantom{P\left(A\right)}= \numprint{0,9876} \times 0,99 + \numprint{0,0124} \times 0,02 = \numprint{0,977724} + \numprint{0,000248} = \numprint{0,977972}\\
\phantom{P\left(A\right)} \approx \numprint{0,9780}$		

La probabilité de $A$ est $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,9780}}}$ (arrondie au dix-millième).		
		
		\item %Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?
On cherche: $P_A\left(\overline N\right) = \dfrac{P\left(A \cap \overline N\right)}{P\left(A\right)} = \dfrac{\numprint{0,000248}}{\numprint{0,977972}} \approx \numprint{0,0003}$

La probabilité qu'une bille acceptée soit hors norme est $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0003}}}$ (arrondie au dix-millième).		

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}% \section{partie B}

%\medskip
%
%Ce contrà´le de production se révélant trop coà»teux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. 
%
%On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de \numprint{0,0124}.
% 
%On admettra que prendre au hasard un sac de $100$~billes revient à  effectuer un tirage avec remise de $100$~billes dans l'ensemble des billes fabriquées.
% 
%On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à  tout sac de $100$~billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ? 

La probabilité qu'une bille soit hors norme est \numprint{0,0124} : on admet que prendre au hasard un sac de 100 billes revient à  effectuer un tirage avec remise de 100 billes dans l'ensemble des billes fabriquées.

Donc la variable aléatoire $Y$ qui, à  tout sac de 100 billes, associe le nombre de billes hors norme, suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p= \numprint{0,0124}$.
%$\mathcal B\left(100\,; 0,0124\right)$

\item %Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ? 

L'espérance mathématique et l'écart type d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ sont respectivement
$np$ et $\sqrt{\,np\left(1 - p\right)\;}$.

Donc $E\left(Y\right)= np =100 \times \numprint{0,0124} =\boxed{\textcolor{red}{1,24}}$ 

et $\sigma\left(Y\right)= \sqrt{\,np\left(1-p\right)\;} = \sqrt{\,100\times \numprint{0,0124} \times \numprint{0,9876} \vphantom{\large \text 1}\;} \approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{1,1066}}}$.

\item La probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne exactement deux billes hors norme est $P\left(Y = 2\right)$.

$P\left(Y=2\right)=\displaystyle \binom{n}{2}\,p^2\left(1-p\right)^{n-2} = \binom{100}{2}\times \numprint{0,0124}^2\times \numprint{0,9876}^{\;98} \approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,2241}}}$ (se calcule directement à la calculatrice !).

\item %Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne au plus une bille hors norme ? 
Un sac de billes contient au plus une bille hors norme est l'événement $\left(Y \leqslant 1\right)$.

$\displaystyle P\left(Y \leqslant 1\right) = P\left(Y =0\right) + P\left(Y = 1\right)\\[5pt]
\phantom{P\left(Y \leqslant 1\right)} =  \binom{100}{0}\times 0,0124^0\times \numprint{0,9876}^{\;100} +  \binom{100}{1}\times \numprint{0,0124}^1\times \numprint{0,9876}^{\;99}\\[5pt]
\phantom{P\left(Y \leqslant 1\right)} \approx \numprint{0,2871} + \numprint{0,3605} \approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,6476}}}$ (se calcule directement à la calculatrice).

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole septembre 2013}}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A :}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
Par lecture graphique, le signe de $f(x)$ est donné par :

\begin{center} 
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\pI\\
\hline
f(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
 On sait que $F$ est une primitive de $f$ donc , $F^{\prime}=f$ \\ $ F^{\prime}(0) = f(0) = 2$, $ F^{\prime}(-2) = f(- 2) = 0$. 
		\item ${\cal C}_3$ ne convient pas car la tangente au point d'abscisse $0$ n'a pas pour coefficient directeur $2$:
		
\vskip 0.5 cm

%\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(1.8,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.5)(1.8,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
%\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
%\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
%\uput[dl](0,0){O}
%\rput(-0.3,-1.5){$B$}\rput(1,0.3){$I$}
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
%\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\uput[r](1.3,1){$d_{3}$}
%\uput[u](1,1.2){$\mathcal{C}_{3}$}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{0.9}{3.5 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul 0.5 add}
%\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{1.5 x mul 1.5 sub}
%\end{pspicture*}

Elle passe par $B(0~;~-1,5)$ (environ) et $I(1~;~0)$ donc le coefficient directeur de cette tangente est $\frac{y_I - y_B}{x_I - x_B} = 1,5$, donc ${\cal C}_3$ ne convient pas.
 
\vskip 0.5 cm  
 
%${\cal C}_2$ ne convient pas car la tangente au point d'abscisse $(-2)$ n'a pas pour coefficient directeur $0$. \vskip 0.5 cm \begin{pspicture*}(-3,-3.5)(1.8,1.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(1.8,1.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
%\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
%\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
%\uput[dl](0,0){O}
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
%\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\uput[r](0.9,1){$d_{2}$}
%\psline[linewidth=1.25pt](-3.66,0)(0,-2.97)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{1}{-0.81  x mul 2.97 sub}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-1}{0}{0 x mul 2.42 sub}
%\psline(-2,0)(-2,-1.35)
%\uput[u](-2,-1.2){$\mathcal{C}_{2}$}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{1}{4 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul}
%\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
%\end{pspicture*}

${\cal C}_2$ ne convient pas, la tangente horizontale semble plutôt concerner le point d'abscisse $(- 0,5)$ de la courbe.

\vspace{0.5cm}

Il reste donc  ${\cal C}_1$

%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(2,1.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(2,1.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
%\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
%\multido{\n=-1+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{1.2}{ x 2 mul  2.71828 x 2 div exp mul 2 sub}
%\uput[dl](0,0){O}
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
%\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\uput[r](1.4,0.8){$d_{1}$}
%\uput[u](-2,-3.3){$\mathcal{C}_{1}$}
%\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
%\end{pspicture*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B :}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f^{\prime}(x)=\text{e}^{\frac{1}{2}x}+(x+2)\text{e}^{\frac{1}{2}x}\times \frac{1}{2}$ donc \\$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(2+x+2)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$, donc 
$\boxed{\textcolor{red}{f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(x+4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}}}$.

		\item On sait que la fonction $\exp$ ne prend que des valeurs strictement positives, donc $f^{\prime}(x)$ est du signe de $(x+4)$, et donc le sens des variations de $f$ est donné par le tableau : 
	\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-4&&\pI\\
\hline
f\prime(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&-2\mathrm{e}^{-2}&\c\\
\hline
\end{variations}
\end{center}	
%\begin{center}		\begin{tabular}{|c|ccccc|}
%\hline 
%$x$ & $-\infty$ & & $-4$ &  & $+\infty $\\ 
%\hline 
%$f^{\prime}(x)$ &  & $-$ & $0$ & $+$ &  \\ 
%\hline 
%$f$ &  & $\searrow $& $(-2)\text{e}^{-2}$ & $\nearrow $ &  \\ 
%\hline 
%\end{tabular}\end{center}

Il y a donc bien un minimum en $x = -4$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item si $x > (-2)$, $f(x) > 0$ vu son expression, donc sur $[0~;~1]$ $f$ est positive, continue (car produit de fonctions continues), son intégrale sur $[0~;~1]$ est donc l'aire entre la courbe de $f$, l'axe des $x$ et les verticales d'équations $x = 0$ et $x = 1$ (en unité d'aire).
		
\begin{center}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.2)(1.5,4.95)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.1,-0.2)(1.5,4.95)
\pscustom[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{0}{1}{(x+2)*EXP(x/2)}\lineto(1,0)\lineto(0,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-.3}{1.0600000000000005}{(x+2)*EXP(x/2)}
\begin{scriptsize}
%\rput[bl](0.38,0.24){\zzttqq{$s = 3.3$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

		\item  $2(u(x)v'(x) + u(x)v'(x)) = 2\left(1\times \text{e}^{\frac{1}{2}x}+x\times \frac{1}{2}\text{e}^{\frac{1}{2}x}\right) = (2+x)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$\\ Ainsi on voit bien que $f$ est une dérivée : $f = (2uv)^{\prime}$; donc $(2uv)$ est une primitive de $f$.
		
		\item L'intégrale $I$ se calcule à  l'aide d'une primitive de $f$ donc $I = [2u(x)v(x)]_0^1 = [2x\text{e}^{\frac{1}{2}x}]_0^1=2\text{e}^{\frac{1}{2}} = \boxed{\textcolor{red}{2\sqrt \text{e}}}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faisons un tableau des valeurs successives de $k$ et $s$ pendant le déroulement de l'algorithme pour $n = 3$ :
		

\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables : 	&	$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
				& $s$ est un nombre réel.\\ 
Entrée : 		&Demander à   l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
Initialisation :& Affecter à   $s$ la valeur $0$.\\ 
Traitement :	& 	Pour $k$ allant de $0$ à   $n - 1$\\ 
				& \hspace{0,5cm}| Affecter à   $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
				&Fin de boucle.\\ 
Sortie :		& 	Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular} 

\bigskip
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
$k$ & $s$ \\ 
\hline 
$0$ & $0$ \\ 
\hline 
$0$ & $0+\frac{1}{3}f\left(\frac{0}{3}\right)$ \\ 
\hline 
$1$ & $\frac{1}{3}f\left(\frac{0}{3}\right)+\frac{1}{3}f\left(\frac{1}{3}\right)$ \\ 
\hline 
$2$ & $\frac{1}{3}f\left(\frac{0}{3}\right)+\frac{1}{3}f\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}f\left(\frac{2}{3}\right)$ \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\vskip 0.5 cm

Le traitement est alors fini car $k$ a atteint la valeur $(3 - 1)$ ce qui a été suivi de la nouvelle valeur de $s$, l'affichage est alors $\frac{1}{3}f\left(\frac{0}{3}\right)+\frac{1}{3}f\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}f\left(\frac{2}{3}\right)$,

or chacun de ces trois termes est l'aire d'un des trois rectangles (largeur obtenue en divisant l'unité par $n = 3$, leurs longueurs successives sont  $f\left(\frac{0}{3}\right)$, $f\left(\frac{1}{3}\right)$ ; $f\left(\frac{2}{3}\right)$.

\begin{center} \psset{xunit=4cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.5)(1.1,4.95)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.1,-0.2)(1.1,4.95)
%\psplot[plotpoints=200]{-.3}{1.0600000000000005}{(x+2)*EXP(x/2)}
\pscurve[linecolor=blue](0,2)(0.333,2.6)(0.666,3.6)(1,4.6)
\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,2)
\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,2.6)
\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,3.6)
\psline[linestyle=dashed](1,3.6)(1,4.6)
%\uput[l](0,0.25){1}
\uput[ul](0.333,2.6){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture} 
\end{center}

\item D'une façon générale  l'affichage de l'algorithme obtenu après $n$ boucles ( de $k =0$ à  $k=(n-1)$) est  la somme de $n$ termes qui sont de la forme $\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})$ donc l'affichage est : \begin{displaymath}{\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right)}\end{displaymath} c'est la somme des aires des rectangles \og sous la courbe \fg{} et au dessus de l'axe des $x$ entre $x = 0$ et $x = 1$, leur largeur vaut  $\frac{1}{n}$.

Quand $n$ devient grand,  $s_n$ se rapproche de  $\displaystyle{I= \int_{0}^1  f(x)\,\text{d}x}$. (cours)  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Métropole septembre 2014}}
On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
 
%Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$. 
	\begin{enumerate}
	
		\item% Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
Comme 20\,\% du médicament est éliminé par minute, il en reste 80\,\%; prendre 80\,\% d'un nombre c'est multiplier par $0,8$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,8\,u_n}}$.

Donc la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $0,8$ et de premier terme  $u_0 = 10$.

		\item% Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
La suite $(u_n)$ es géométrique, donc pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = \boxed{\textcolor{red}{10 \times 0,8^n}}$.

		\item% Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
La quantité de médicament est inférieure à 1\,\% de la quantité initiale quand $u_n < \dfrac{1}{100}\times u_0$ c'est-à-dire $u_n < 0,1$.

On résout l'inéquation:

$\begin{array}{@{\hspace{1cm}} l @{\ \iff \ } l l}
u_n < 0,1 & 10 \times 0,8^n < 0,1 & \\
 & 0,8^n < 0,01 & \\
 & \ln\left (0,8^n\right ) < \ln 0,01 & \text{croissance de la fonction $\ln$ sur } \left[0\,;\,+\infty\right] \\
 & n \ln 0,8 < \ln 0,01 & \text{propriété de la fonction ln}\\
 & n > \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} & \text{car } \ln 0,8 <0
\end{array}$


Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} \approx 20,6$ donc c'est au bout de \textbf{\textcolor{red}{21 minutes}} que la quantité de médicament dans le sang devient inférieure à 1\,\% de la quantité initiale.

\emph{On trouve à la calculatrice que $u_{20}\approx 0,115>0,1$ et $u_{21}\approx 0,092 < 0,1$.}
		
	\end{enumerate} 

\item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit.
Au bout de 15 minutes, on arrête la machine.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$.
L'algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
& \\[-5pt]
Variables :&$n$ est un entier naturel.\\
&$v$ est un nombre réel.\\ 
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ 
Traitement :& 	Pour $n$ allant de 1 à 15\\ 
&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ 
Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\
Afficher $v$.\\
\end{tabular}\\  
&Fin de boucle.\\ 
& \\ \hline%[-5pt]
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.
		
Le tableau ci-dessous donne la quantité restante de médicament minute par minute: 				
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline
$v_{n}$ &10 
&8 &6,4 &  \textbf{ \textcolor{red}{5,12}} & \textbf{\textcolor{red}{8,10}} & \textbf{ \textcolor{red}{6,48}} & \textbf{\textcolor{red}{5,18}} &8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 6,12, car $6,4\textbf{}0,8=5,12$

\item $5,12\times 0,8=4,096<5$, donc on ajoute 4, ce qui donne $8 096\approx 8,10$

\item $8,10\times 0,8\approx 6,48$

\item $6,48\times 0,8\approx 5,18$

\item $5,18\times 0,8\approx 4,15$ donc on ajoute 4, ce qui donne 8,15.
\end{enumerate}
 
		\item% Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
Les 15 premières minutes, le patient a absorbé 10~mL au début, 	puis 4~mL les minutes 4, 7, 10 et 13 soit 16~mL; ce qui fait un total de \textbf{\textcolor{red}{26~mL}}.	
		
		
		\item On programme la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes.
		 
%Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.

L'algorithme suivant affiche la quantité de médicament restant dans le sang minute par minute:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
& \\[-5pt]
Variables :&$n$ est un entier naturel.\\
&$v$ est un nombre réel.\\ 
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ 
Traitement :& 	Pour $n$ allant de 1 à {\red 30}\\ 
&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ 
Si ${\red v \leqslant 6}$ alors affecter à $v$ la valeur ${\red v+2}$\\
Afficher $v$.\\
\end{tabular}\\  
&Fin de boucle.\\ 
& \\\hline
\end{tabular}
\end{center} 


	\end{enumerate} 
\item On programme la machine de façon que :

\begin{itemize}
\item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament, 
\item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament.
\end{itemize}
 
On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.
Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes. 

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$. 
Comme 20\,\% du médicament est éliminé chaque minute, il en reste 80\,\% donc on multiplie par 0,8.
De plus, toutes les minutes, on rajoute 1 mL.

On peut donc dire que, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{w_{n+1}=0,8w_n+1}}$.		
		
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$, donc $w_n=z_n+5$. 

%Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
Pour tout $n$, $z_{n+1}= w_{n+1}-5 = 0,8w_n+1-5 = 0,8 \left (z_n+5\right ) - 4 = 0,8\,z_n+4-4 = \boxed{\textcolor{red}{0,8z_n}}$

$z_0 = w_0-5$; or à l'instant 0, on injecte 10~mL donc $w_0=10$. On a donc $\boxed{\textcolor{red}{z_0=5}}$.

La suite $(z_n)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de premier terme $z_0=5$ et de raison $q=0,8$.

		\item% En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
D'après les propriétés des suites géométriques, on peut dire que, pour tout $n$:
$z_n= z_0 \times q^n = \boxed{\textcolor{red}{5 \times 0,8^n}}$.

Or $w_n=z_n+5$ donc, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{w_n = 5 \times 0,8^n + 5}}$.
		 
		\item% Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner?
La suite $(z_n)$ est géométrique de raison 0,8; or $-1<0,8 <1$ donc la suite $(w_n)$ est \textbf{convergente} vers 0. D'après les théorèmes sur les limites de suite, on peut en déduire que la suite $(w_n)$ est convergente et a pour limite $\boxed{\textcolor{red}{5}}$.

Cela veut dire que, si on poursuit ce traitement, la quantité de médicament présente dans le sang du patient va se rapprocher de 5~mL.

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2015}}
ABCDEFGH est un cube.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,6.5)
\psframe(0.5,0.5)(4.5,4.5)%BCGF
\psline(4.5,0.5)(6.4,1.9)(6.4,5.9)(4.5,4.5)%CDHG
\psline(6.4,5.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)%HEF
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](0.5,0.5)(2.4,1.9)(2.4,5.9)%BAE
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](2.4,1.9)(6.4,1.9)%AD
\uput[ur](2.4,1.9){A} \uput[dl](0.5,0.5){B} \uput[dr](4.5,0.5){C} 
\uput[r](6.4,1.9){D} \uput[u](2.4,5.9){E} \uput[l](0.5,4.5){F} 
\uput[dr](4.5,4.5){G} \uput[ur](6.4,5.9){H} \uput[ul](1.45,1.2){I} 
\uput[u](4.4,5.9){J} \uput[d](2.5,0.5){K} \uput[r](4.5,2.5){L} 
\psdots(2.4,1.9)(0.5,0.5)(4.5,0.5)(6.4,1.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)(4.5,4.5)(6.4,5.9)
(1.45,1.2)(4.4,5.9)(2.5,0.5)(4.5,2.5)
\end{pspicture}
\end{center}

I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}},~ 
 \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
 
\medskip
 Les coordonnées des différents points sont :
 
 A(0~;~0~;~0), B(1~;~0~;~0), C(1~;~1~;~0), D(0~;~1~;~0), E(0~;~0~;~1), F(1~;~0~;~1), G(~;~1~;~1), H(0~;~1~;~1), I$\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~0\right)$, J$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$, K$\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$ et L$\left(1~;~1~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
On a $\overrightarrow{\text{IJ}}\begin{pmatrix}-\frac23\\\frac12\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{IK}}\begin{pmatrix}\frac12\\\frac12\\0\end{pmatrix}$.
  Il est clair que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

$\overrightarrow{\text{}\text{}FD}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$~;~ $\overrightarrow{\text{FD}}.\overrightarrow{\text{IJ}}=0$ et $\overrightarrow{\text{FD}}.\overrightarrow{\text{IK}}=0$.

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{FD}}$ est donc orthogonal à deux vecteurs con colinéaires $\boxed{\textcolor{red}{IJ}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{IK}}$ du plan (IJK) ; c'est un vecteur normal à ce plan.

		\item %En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
		On en déduit qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : 
		
		\noindent $-\left(x-x_I\right)+\left(y-y_I\right)+\left(z-z_I\right)=0$ donc $-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+y-z=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{-x+y-z+\dfrac{1}{2}=0}}$
		
	\end{enumerate}
	
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
$\overrightarrow{\text{FD}}$ est un vecteur directeur de la droite (FD).

\noindent Une représentation paramétrique de (FD) est donc :

$\left\{\begin{array}{l}x=x_F-t\\y=y_F+t\\z=z_F-t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$ donc $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\y=t\\z=1-t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$.

\item %Soit $M$ le point d'intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point $M$.
M appartient à la droite (FD) donc ses coordonnées de calculent avec la représentation paramétrique ci-dessus. Comme M appartient aussi au plan (IJK), ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne trouvée ci-dessus. 

\noindent On doit donc avoir : 

$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\y=t\\z=1-t\\-x+y-z+\dfrac{1}{2}=0\end{array}\right.$.

\noindent On en déduit $-(1-t)+t-(1-t)+\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow 3t-\dfrac{3}{2}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{t=\dfrac{1}{2}}}$.

\noindent M a donc pour coordonnées M$\left(~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.

\item %Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.
On sait que $\overrightarrow{\text{IJ}}\begin{pmatrix}\frac12\\\frac12\\1\end{pmatrix}$ donc $IJ=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+1}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

$\boxed{\textcolor{red}{IK}}\begin{pmatrix}\frac12\\\frac12\\0\end{pmatrix}$ donc $IK=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$ ~;~ $\overrightarrow{\text{JK}}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ donc $JK=\sqrt{2}$.

\noindent $JK^2=2$ et $IJ^2+IK^2=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}=2$.

Par conséquent $JK^2==IJ^2+IK^2$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJM est rectangle en I.

\noindent Son aire vaut alors $\dfrac{IJ\times IK}{2}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{3}{2}}\times \sqrt{\dfrac{1}{2}}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}}$

\item %Calculer le volume du tétraèdre FIJK.
Le volume d'un tétraèdre est $\dfrac{\text{Aire de base}\times  \text{Hauteur}}{2}$.

\noindent On a vu que la droite $(FD)$ était orthogonale au plan (IJK) donc la hauteur du tétraèdre est [FM].

F(1~;~0~;~1) et M$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{FM}}\begin{pmatrix}-\frac12\\\frac12\\-\frac12\end{pmatrix}$ donc $FM=\sqrt{\dfrac14+\dfrac14+\dfrac14}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$.

Le volume du tétraèdre EIJM est donc $\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{8}}}$.

\item %Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?
On remplace dans l'équation cartésienne de (IJK) $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées de L : on vérifie ainsi que L appartient au plan (IJK).

\noindent Les deux droites (IJ) et (KL) sont coplanaires. Elles sont donc soit parallèles, soit perpendiculaires.

$\overrightarrow{\text{IJ}}\begin{pmatrix}-\frac12\\\frac12\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{IL}}\begin{pmatrix}\frac12\\1\\\frac12\end{pmatrix}$.

\noindent Il est clair que ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les deux droites sont sécantes.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  