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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : corrigé du contrôle sur les suites et démonstrations par récurrence\\
\small{ (2 heures)}}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $9^n-1$ est divisible par 8.
Appelons $P_n$ la proposition : $\boxed{\textcolor{red}{9^n-1=8k_n}}$, avec $k_n\in\mathbb{Z}$.\\
Démontrons cette proposition par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation} : $9^0-1=1-1=0=8k_0$ avec $k_0=0\in\mathbb{Z}$.\\
La proposition est vraie au rang $n=0$

\item \textbf{Hérédité} : on suppose la proposition vraie pour un rang $n$ quelconque, donc $9^n-1=8k_n$, $k_n\in\mathbb{Z}$.\\
Alors : $9^{n+1}-1=9\times 9^n-1=9\times \left(8k_n+1\right)-1=8\times 9k_n+9-1=8\times 9k_n+8=\boxed{\textcolor{red}{8\left(9k_n+1\right)=8k_{n+1}}}$ avec \\
$k_{n+1}=9k_n+1\in\mathbb{Z}$.\\
La proposition est \textbf{héréditaire}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la proposition est \textbf{vraie} pour tout $n$.

\subsection{}
%Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $2^n\geqslant n+1$.
Soit $P_n$ la proposition : $\boxed{\textcolor{red}{2^n\geqslant n+1}}$.\\
Démontrons-la par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation} : pour $n=0$, $2^n=2^0=1$ et $n/+1=0+1=1$ donc $2^n\geqslant n+1$ pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité} : on suppose $P_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $2^n\geqslant n+1$.\\
Alors : $2^n\geqslant n+1\Rightarrow 2\times 2^n\geqslant 2(n+1)$ en multipliant par 2.\\
On en déduit $2^{n+1}\geqslant 2n+2=n+n+2\geqslant n+2$ car $n\geqslant 0$ donc $2^{n+1}\geqslant (n+1)+1$.\\
La proposition est \textbf{héréditaire}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la proposition est vraie pour tout $n$.


\subsection{}
Calculer la somme :\\
$S=3+7+11+\cdots +119=\sum_{i=0}^{i=29}(3+4i)$.\\
C'est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, de premier terme $u_0=3$ et de raison $r=4$.\\
La somme contient 30 termes.\\
$S=\dfrac{30\times \left(u_0+u_{29}\right)}{2}=\dfrac{30\times (3+119)}{2}=15\times 122=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1830}}}$

\subsection{}
\textbf{\textcolor{red}{voir cours}}
%\begin{enumerate}
%\item Rappeler précisément ce que veut dire que la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
%
%\item Démontrer qu'une suite croisante non majorée tend vers $+\infty$
%\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_0=2\\u_{n+1}=u_n(1+u_n)\end{array}\right.$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que tous les termes de cette suite sont positifs.
Montrons  par récurrence que tous les termes de cette suite sont positifs.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation} : $u_0=2> 0$ donc le premier terme de la suite est positif.

\item \textbf{Hérédité }: On suppose que la propriété est vraie à un rang $n$ quelconque, donc $u_n> 0$/\\
Alors $1+u_> 0$ et $u_> 0$ donc $u_n\left(1+u_n\right)> 0$, c'est-à-dire $u_{n+1}> 0$.
La proposition est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la proposition est vraie pour tout $n$.Tous les termes de la suite sont strictement positifs.

\item %Étudier les variations de cette suite.
Pour tout $n$, $u_n>0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1+u_n>1$ puisque $u_n>0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
\end{enumerate}



\subsection{}
On considère la suite $\left(w_n\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier naturel $n\geqslant 1$ :
\[w_0=1\text{ et }nw_n=(n+1)w_{n-1}+1.\]
Le tableau ci-dessous donne les dix premiers termes de cette suite :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$w_0$&$w_1$&$w_2$&$w_3$&$w_4$&$w_5$&$w_6$&$w_7$&$w_8$&$w_9$\\
\hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Détailler le calcul permettant de calculer la valeur de $w_{10}$.
On remplace $n$ par 10 : $10w_{10}=11w_9+1=11\times 19+1=210$ donc $w_{10}=\dfrac{210}{10}=\boxed{\textcolor{red}{21}}$.

\item %Conjecturer la nature de la suite $\left(w_n\right)$ et démontrer cette conjecture.
On \textbf{conjecture} que $\boxed{\textcolor{red}{w_{n}=2n+1}}$ donc que cette suite est \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}}, de premier terme $w_0=1$ et de raison $r=2$.\\
Démontrons cette conjecture par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $n=0$ : $2\times 0+1=1=w_{0}$ donc c'est vrai au rang 0.

\item Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang $n$ : $w_{n}=2n+1$.\\
On calcule alors $w_{n+1}$ : d'après la définition de la suite $\left(w_{n}\right)$, on a : \\
$w_{n+1}=\dfrac{(n+2)w_{n}+1}{n+1}=\dfrac{(n+2)(2n+1)+1}{n+1}=\dfrac{(2n^2+5n+3}{n+1}=\dfrac{(n+1)(2n+3)}{n+1}=2n+3=2(n+1)+1$.\\
La propriété est vraie au rang $n+1$ et elle donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, cette propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $w_{n}=2n+1$}}.

\item %En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ et la valeur de $w_{\numprint{2000}}$..\\
On a donc $u_n=2n+1$ pour tout $n$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_{\numprint{2000}}=4001}}$
\end{enumerate}

\subsection{}%Bac ES Amérique du sud novembre 2009
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + 4}{3}$. 

\begin{enumerate}
\item  %Calculer $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$. 
On a $u_1=\boxed{\textcolor{red}{2}}$, $u_2=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{8}{3}}}$ et $u_3=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{28}{9}}}$.

\item Le plan est rapporté à un repére orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ (unités graphiques : 2~cm).
% 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x+ 4}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer la représentation graphique $d$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. 
		voir graphique ci-dessous
		
		\item %En utilisant $d$ et $\Delta$, construire $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. 
		Voir graphique ci-dessous :
		\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=3cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(5.1,5.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{5} \def\ymin{0} \def\ymax{5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=3cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(5,5)
\psset{xunit=3cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,1.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,1.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,1.66666)(0,1.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(1,1.66666)(0,1.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.66666)(1.66666,1.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(0,1.66666)(1.66666,1.66666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.66666,1.66666)(1.66666,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(1.66666,1.66666)(1.66666,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.66666,0)(1.66666,2.11111)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(1.66666,0)(1.66666,2.11111)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.66666,2.11111)(0,2.11111)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(1.66666,2.11111)(0,2.11111)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.11111)(2.11111,2.11111)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(0,2.11111)(2.11111,2.11111)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.11111,2.11111)(2.11111,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(2.11111,2.11111)(2.11111,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.11111,0)(2.11111,2.4074)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(2.11111,0)(2.11111,2.4074)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.11111,2.4074)(0,2.4074)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(2.11111,2.4074)(0,2.4074)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.4074)(2.4074,2.4074)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(0,2.4074)(2.4074,2.4074)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.4074,2.4074)(2.4074,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=solid]{-}(2.4074,2.4074)(2.4074,0)
\def\F{2 x mul 3 add 3 div}
\psplot[linecolor=red,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{5}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](1,0){ $u_0$}
\uput[180](0,1.66666){ $u_1$}
\uput[-90](1.66666,0){ $u_1$}
\uput[180](0,2.11111){ $u_2$}
\uput[-90](2.11111,0){ $u_2$}
\uput[180](0,2.4074){ $u_3$}
\uput[-90](2.4074,0){ $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
		\item %Conjecturer $\displaystyle\lim_{n \to  \infty}  u_{n}$ à l'aide de la construction, que l'on peut imaginer, d'un grand nombre  
%de termes de la suite $\left(u_{n}\right)$.
On conjecture que la suite tend vers 4.

	\end{enumerate} 
\item  
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 4$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+1}-4=\dfrac{2u_n+4}{3}-4=\dfrac{2u_n+4-12}{3}=\dfrac{2u_n-8}{3}=\dfrac{2\left(u_n-4\right)}{3}=\dfrac{2}{3}\left(u_n-4\right)=\dfrac{2}{3}v_n$.\\
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}}, de raison $q=\dfrac{2}{3}$.\\
		
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que $u_{n} = 4 - 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. 
		On a $v_0=u_0-4=-3$.\\
Comme $\left(v_n\right)$ est géométrique, $v_n=v_0q^n=-3\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.\\
Alors $\boxed{\textcolor{red}{u_n=v_n+4=4-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}}$
		\item %Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		$-1<\dfrac{2}{3}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=4}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Livre Interro des lycées Nathan n° 106 page 169
 Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : $\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=\frac{3u_n-2}{2u_n-1}\end{cases}$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
On a successivement $u_1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}}$, $u_2=\dfrac{3\times \dfrac{4}{3}-2}{2\times \dfrac{4}{3}-1}=\dfrac{2}{\dfrac{5}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{6}{5}}}}$. $u_3=\dfrac{\dfrac{8}{5}}{\dfrac{7}{5}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{8}{7}}}$.

\item %Démontrer que $u_{n+1}=1+\frac{u_n-1}{2u_n-1}$
Pour tout $n$, $u_{n+1}=\frac{3u_n-2}{2u_n-1}=\dfrac{2u_n-1+u_n-1}{2u_n-1}=\dfrac{2u_n-1)}{2u_n-1}+\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}=\boxed{\textcolor{red}{1+\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}}}$.

\item %En déduire par récurrence qu'on a toujours $u_n>1$ et donc que la suite $(u_n)$ est bien définie pour tout $n$.
Montrons par récurrence que $u_n>1$ pour tout $n$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation} : $u_0=2>1$ donc c'est vrai au rang $n=0$.

\item \textbf{Hérédité} : on suppose que $u_n>1$ pour un rang $n$ quelconque.\\
Alors $u_n-1>0$ et $2u_n-1>0$ donc $dfrac{u_n-1}{2u_n-1}>0$d'où $1+dfrac{u_n-1}{2u_n-1}>1$ c'est-à-dire $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}>1}}$.\\
La propriété est héréditaire.\\
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, $u_n>1$ est vrai pour tout $n$. Le dénominateur ne s'annule jamais donc la suite est définie pour tout $n$.
\end{enumerate}
\item 
Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : $v_n=\frac{1}{u_n-1}$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
$v_n$ est bien défini puisque $u_n>1$.\\
Pour tout $n$, $v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}=\dfrac{1}{1+\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}-1}=\dfrac{1}{\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}}=\dfrac{2u_n-1}{u_n-1}=\dfrac{2\left(u_n-1\right)+1}{u_n-1}\\=2+\dfrac{1}{u_n-1}=\boxed{\textcolor{red}{2+v_n}}$.\\
$\forall n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=v_n+2$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}}, de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-1}=1$.

\item %En déduire l'expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que $v_n=v_0+nr=1+2n$ donc $v_n=2n+1$.\\
$v_n=\dfrac{1}{u_n-1}\Leftrightarrow u_n-1=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{2n+1}$ d'où $u_n=\dfrac{1}{2n+1}+1=\dfrac{2n+2}{2n+1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2(n+1)}{2n+1}}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  