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\textwidth 19cm \textheight 26.5cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du devoir sur feuille \no 5}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On souhaite déterminer le nombre de chiffres de l'écriture décimale du nombre $A=2^{12345}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item %Calculer à la calculatrice une valeur approchée de $\log(A)$ (logarithme décimal).
$\log(A)=\numprint{12345}\log 2\boxed{\textcolor{red}{\approx 3716,2}}$

\item %En déduire un entier naturel $N$ tel que $N\leqslant \log(A)<N+1$.
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3716}\leqslant \log(A)<\numprint{3717}}}$.

\item %En déduire un encadrement de $A$ entre deux puissances de 10.
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{10^{\numprint{3716}}\leqslant A<10^{\numprint{3717}}}}$

\item %En déduire alors le nombre de chiffres de l'écriture décimale de $A$.
Un nombre compris entre $10^n$ et $10^{n+1}$ s'écrit avec $n+1$ chiffres, donc $A$ s'écrit en écriture décimale avec \textbf{\textcolor{red}{\numprint{3717} chiffres}}.
\end{enumerate}

\subsection{}%Bac S Métropole juin 2011
%\medskip
% 
%\emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}
%
%\medskip
% 
%Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.
% 
%Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus.

\medskip
 
\textbf{P\textcolor{blue}{ARTIE A}}

\medskip
 
%On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test). 
%\item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test).
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
% 
%On note $V$ l'évènement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.
% 
%$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'énoncé, on a : 
		
		$\boxed{\textcolor{red}{P(V)=0,02}}~;~\boxed{\textcolor{red}{P_{V}(T)=0,99}}\\
		\boxed{\textcolor{red}{P_{\overline{V}}(\overline{T})=0,97}}$.
		 
Traduisons la situation par un arbre de probabilités :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{\small $0,02$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,99$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,01$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{V}$}\tbput{\small $0,98$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,03$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,97$}
}
}


\end{center}

		\item %En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$. 
		$P(V \cap T)=P_{V}(T)\times P(V)=0,99\times 0,02\\
		=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0198}}}$
		
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \np{0,0492}. $T=(V\cap T)\cup\left(V\cap\overline{T}\right)$ (réunion d'événements incompatibles).\\
		Par conséquent : \\
		$P(V)=P(V\cap T)+P\left(V\cap \overline{T}\right)=P_{T}(V)\times p(T)+P_{\overline{V}}(T)\times P\left(\overline{V}\right)$ (formule des probabilités conditionnelles).\\
		Alors : $P(T)=0,99\times 0,02+0,03\times 0,98=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0492}}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier par un calcul la phrase :
		 
%\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg. 
Il faut calculer $P_{T}(V)$. \\
Or : $P_{T}(V)=\dfrac{P(V\cap T)}{P(T)}=\dfrac{\numprint{0,0198}}{\numprint{0,0492}}\approx 0,402$, soit environ 40\%.	\\
\textbf{Il n'y a bien qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg, sachant que le test est positif. 
}
\item %Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
La probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif est $P_{(T)}\left(\overline{V}\right)=\dfrac{P\left(\overline{V}\cap\overline{T}\right)}{P(\overline{T})}=\dfrac{0,97\times 0,98}{1-\numprint{0,0492}}\approx 0,9997$, c'est-à-dire environ \fbox{\textcolor{red}{99,97\%}}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{blue}{PARTIE B}}


 
%On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
% 
%On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
\begin{enumerate}
\item %Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 
On a répétition de 10 épreuves identiques indépendantes à deux issues, donc $X$ suit la \textbf{loi binomiale} $\mathbf{\mathscr{B}(10~;~0,02)}$.\\

\item %Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. 
Pour tout $k$, ($0\leqslant k\leqslant 10$), on a \\
$\boxed{\textcolor{red}{P(X=k)=\binom{10}{k}\times 0,02^k\times (1-0,02)^{10-k}}}$.\\
Alors : $P(X\geqslant 2)=1-\left(P(X<2)\right)=1-P(X\leqslant 1)\\
=1-\left[P(X=0)+P(X=1)\right]\\
=1-\left[0,98^{10}+10\times 0,02\times 0,98^9\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{0,016}}$.


\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $p(X\leqslant 1)$ peut se calculer directement à la calculatrice.
\end{enumerate}

\subsection{}%Pondichéry avril 2011
%Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
%\SpecialCoor
%\pscircle(0;0){3}
%\psline(0;0)(3;-30)\psline(0;0)(3;60)\psline(0;0)(3;120)\psline(0;0)(3;210)
%\rput(1.75;0){0 point}\rput(1.75;90){5 points}\rput(1.75;180){0 point}\rput(1.75;-90){3 points}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
% 
%On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
% 
\begin{enumerate}
\item %Le joueur lance une fléchette.
% 
%On note $p_{0}$ la probabilité d'obtenir 0 point.
%
%On note $p_{3}$ la probabilité d'obtenir 3 points.
%
%On note $p_{5}$ la probabilité d'obtenir 5 points.
% 
%On a donc $p_{0} + p_{3} + p_{5} = 1$. Sachant que $p_{5} = \dfrac{1}{2}p_{3}$ et que $p_{5} = \dfrac{1}{3}p_{0}$ déterminer les valeurs de $p_{0},\, p_{3}$ et $p_{5}$·

On a donc $p_{3} = 2p_{5}$ et $p_{0} = 3p_{5}$, donc \\
$p_{0} + p_{3} + p_{5} = 1 \iff 3p_{5} + 2p_{5} + p_{5} = 1 \iff 6p_{5} = 1 \iff \boxed{\textcolor{red}{p_{5} = \dfrac{1}{6}}}$.

Il en résulte que $p_{3} = 2p_{5} = 2 \times \dfrac{1}{6} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$ et \\
$p_{0} = 3p_{5} = 3 \times p_{0} = 3 \times \dfrac{1}{6} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}}}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}}: il ne devait pas être très difficile de voir que les probabilités étaient proportionnelles à l'aire des secteurs, donc à des angles au centre de 180\,\degres{} (deux angles droits), un angle de 60\,\degres\, et un angle de 120\,\degres\, pour un total de 360\,\degres.

On a donc $p_{0} = \dfrac{180}{360}  = \dfrac{1}{2},~p_{3} = \dfrac{120}{360}  =   \dfrac{1}{3}$ et $p_{5} = \dfrac{60}{360}  = \dfrac{1}{6}$ \ldots 

\newpage
\item %Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
 
%On note $G_{2}$ l'évènement : \og le joueur gagne la partie en 2 lancers \fg. 
 
%On note $G_{3}$ l'évènement: \og le joueur gagne la partie en 3 lancers \fg.

%On note $P$ l'évènement: \og le joueur perd la partie \fg.
 
%On note $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p\left(G_{2}\right) = \dfrac{5}{36}$.

\medskip
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{0}\taput{$\frac{1}{2}$}}
	  { 
		  \TR{0}\taput{\small$1/2$}
		  \TR{3}\taput{\small$1/3$}
		  \TR{5}\tbput{\small$1/6$}	   
	  }
	\pstree{\TR{3}\taput{$\frac{1}{3}$}}
	  {
		  \TR{0}\taput{\small$1/2$}
		  \TR{3}\taput{\small$1/3$}
		  \TR{5}\tbput{\small$1/6$} 
	  }
	\pstree{\TR{5}\tbput{$\frac{1}{6}$}}
	  {
		  \TR{0}\taput{\small$1/2$}
		  \TR{3}\taput{\small$1/3$}
		  \TR{5}\tbput{\small$1/6$}
	  }	
}
\end{center}

On obtient un total d'au moins 8 points en deux lancers à la 6\up{e},\, 8\up{e} et 9\up{e} branche. Donc 

$p\left(G_{2}\right) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{6}  + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{36} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{5}{36}}}$.		
%On admettra dans la suite que $p\left(G_{3}\right) = \dfrac{7}{36}$
		\item %En déduire $p(P)$.
On a $p(P) = 1 - p\left(G_{2}\right) - p\left(G_{3}\right)  \\
= 1 - \dfrac{5}{36} - \dfrac{7}{36} =\dfrac{36}{36} - \dfrac{12}{36} = \dfrac{24}{36} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}}$.
	\end{enumerate} 
\item %Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
Les lancers sont indépendants ; on a une schéma de Bernoulli de paramètres $n = 6$ et de probabilité $p = \dfrac{2}{3}$.

La probabilité de ne gagner aucune partie est $\left(\dfrac{2}{3}\right)^6$, donc la probabilité de gagner au moins une partie est $1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{3^6 - 2^6}{3^6} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{665}{729}}}$ 
%Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ? 
\item %Pour une partie, la mise est fixée à 2~\euro.
 
%Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5~\euro. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3~\euro. S'il perd, il ne reçoit rien.
 
%On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc: $-2$, 1 et 3. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi de probabilité de $X$.
On a le tableau de loi de probabilité de $X$ suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline$x_i$&$-2$&1&3\\ \hline
$p(X= x_{i})$&$\dfrac{24}{36}$&$\dfrac{7}{36}$&$\dfrac{5}{36}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		 
		\item %Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur ? 
		E$(X) = - 2 \times \dfrac{24}{36} + 1\times \dfrac{7}{36} + 3 \times \dfrac{5}{36} = \dfrac{-48 + 7 + 15}{36} = - \dfrac{26}{36} = \boxed{\textcolor{red}{- \dfrac{13}{18} \approx - 0,72~\text{\euro}}}$.
		
Un joueur perd en moyenne sur un grand nombre de parties 72~centimes par partie.

Le jeu est défavorable au joueur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Liban mai 2013
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
\begin{enumerate}
\item Puisque $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x}= 0}$, il vient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f_1(x)=1}}$\\
Puisque $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow -\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty}$, il vient, $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f_1(x)=0}$\\
Graphiquement cela signifie que les droites d'équation $y = 0$ et $y = 1$ sont deux asymptotes horizontales à $\mathcal{C}_1$ au voisinage respectivement de moins et plus l'infini.
\item $f_1(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}\times 1}{\mathrm{e}^{x}(1+\mathrm{e}^{-x})}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$
\item $f'_1= - \dfrac{-\mathrm{e}^{-x}}{(1+\mathrm{e}^{-x})^2}=
\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{(1+\mathrm{e}^{-x})^2}}}$.\\
Cette expression étant toujours strictement positive sur $\mathbb{R}$, il en résulte que la fonction $f_1$ est \textbf{\textcolor{red}{strictement croissante}} sur $\mathbb{R}$.
\item 

$I = \int_0^1f_1(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}\,\mathrm{d}x= \left[ \ln(1+\mathrm{e}^{x})\right]_0^1\\
=\ln(1+\mathrm{e})-\ln 2=\boxed{\textcolor{red}{\ln\left(\dfrac{1+\mathrm{e}}{2}\right)}}$.

$I$ s'interprète graphiquement comme la mesure en unité d'aires du domaine limité par $\mathcal{C}_1$, l'axe des $x$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. C'est l'aire du rectangle de côté 1 et de longueur $\ln\left(\dfrac{1+\mathrm{e}}{2}\right)$ qui vaut à peu près 0,62 unité d'aire (ce qui se vérifie visuellement sur l'annexe).
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

$P\left(x~;~f_{1}(x)\right)$ et  $M\left(x~;~f_{- 1}(x)\right)$. $K$ est le milieu de $[MP]$.

\begin{enumerate}
\item $f_1(x) + f_{-1}(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}+
\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+1}=\boxed{\textcolor{red}{1}}$
\item $y_K = \dfrac{y_M + y_P}{2} = \dfrac{f_1(x) + f_{-1}(x)}{2}=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}}}$\\

Le point K est donc un point de la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.
\item Il résulte de la question précédente que les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = \dfrac12$.
\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire du domaine considéré. Par symétrie entre les deux courbes, on obtient

$\mathcal{A} = 2\int_0^1f_1(x)-\dfrac12\,\mathrm{d}x=2\int_0^1f_1(x)\,\mathrm{d}x-\int_0^1\,\mathrm{d}x \\
= 2\ln\left(\dfrac{1+\mathrm{e}}{2}\right)-1\boxed{\textcolor{red}{ \approx 0,24}}.$

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Vrai} : Quel que soit $k \in \mathbb{R},\:\text{e}^{- kx} > 0 \Rightarrow 1 + \text{e}^{- kx} > 1 \Rightarrow 0 < \dfrac{1}{ 1 + \text{e}^{- kx}} < 1$.

%Car la limite en $+\infty$ de $\mathrm{e}^{-kx}$ est soit $0$ soit $+\infty$, selon que $k$ soit positif ou négatif. Il en résulte que la limite en $+\infty$ de $f_k(x)$ sera soit $1$ soit $0$. Un mÍme raisonnement en $-\infty$, montre que la limite de $f_k(x)$ en $-\infty$ est soit 0 soit 1.

\item \textbf{Faux}: On a vu que la fonction $f_{-1}$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
\item \textbf{Vrai}: Car si $k\geqslant 10$ alors $- \dfrac{1}{2}k \leqslant - 5$ puis $\text{e}^{- \frac{1}{2}k} \leqslant \text{e}^{-5}$ par croissance de la fonction exponentielle et enfin $1 + \text{e}^{- \frac{1}{2}k} \leqslant 1 + \text{e}^{-5}$.

Finalement :

\[0,99 < \numprint{0,9933} \leqslant \dfrac{1}{\text{e}^{- 5}} \leqslant \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- \frac{1}{2}k}} = f_{k}\left(\dfrac{}{2}\right).\]

% $$f_k\left(\dfrac12\right)\geqslant\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-5}}\geqslant 0,993$$
 \end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(4,2)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\rput(-1.5,0.35){$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue, algebraic=true]%{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
{-3.5}{3.5}{1/(1+2.71828^(-x))}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red, algebraic=true]%{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
{-3.5}{3.5}{1/(1+2.71828^x)}
\rput(-1.5,0.95){$\mathcal{C}_{-1}$}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\subsection{}%Nouvelle Calédonie mars 2012
\textbf{\textcolor{red}{PARTIE A :}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\int_{0}^1  x\text{e}^x\:\text{d}x = 1$. 
Soit $F:x\mapsto (x-1)\mathrm{e}^{x}$. $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.

$F'(x)=1\times \mathrm{e}^{x}+(x-1)\mathrm{e}^{x}=\left[1+(x-1)\right]\mathrm{e}^{x}=x\mathrm{e}^{x}\\
=f(x)$ donc $F$ est une \textbf{primitive} de $f$.

Alors : $\displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^x\:\text{d}x = F(1)-F(0) = \boxed{\textcolor{red}{1}}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'aire du triangle OAA$'$ et montrer que l'aire du trapèze ABB$'$A$'$ est égale à  $\dfrac{1}{2}\left(- a^2 \text{e}^a + a\text{e}^a - a\text{e} + \text{e}\right)$.
		$\mathcal{A}(\text{OAA}') = \dfrac{1}{2} a \times a\text{e}^{a} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2} a^2\text{e}^{a}}}$.
		
$\mathcal{A}(\text{ABB}'\text{A}') = \dfrac{1}{2} \left(a\text{e}^{a} + \text{e}\right)\times (1 - a) \\
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}\left(a\text{e}^{a} - a^2 \text{e}^a + \text{e} - a\text{e} \right)}}$.	 
		\item %En déduire que l' aire de la partie du plan hachurée est égale à  $\dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)$.
Les segments [OA] et [AB] étant au dessus de la courbe $\mathcal{C}$ l'aire de la partie hachurée est égale à  la somme des aires du triangle et du trapèze précédents diminuée de l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$, soit :

$\dfrac{1}{2} a^2\text{e}^{a} + \dfrac{1}{2}\left(a\text{e}^{a} - a^2 \text{e}^a + \text{e} - a\text{e} \right) - \displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^x\:\text{d}x = $

$\dfrac{1}{2}\left(a^2\text{e}^{a} + a\text{e}^{a} - a^2 \text{e}^a  + \text{e} - a\text{e}\right) - 1 \\
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)}}$.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE B :}}

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
%
%\[g (x) = x\left(\text{e}^x - \text{e}\right) + \text{e} - 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$. 
Toutes les fonctions sont dérivables sur $[0~;~ +\infty[$, donc :

$g^{\prime}(x) = \text{e}^x - \text{e} + x\text{e}^x$.

%Vérifier que la fonction dérivée seconde $g^{\prime\prime}$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g^{\prime\prime}(x) = (2 + x) \text{e}e^x$.
Puis $g^{\prime\prime}(x) =  \text{e}^x + \text{e}^x + x\text{e}^x  = \boxed{\textcolor{red}{\text{e}^x (2 + x)}}$.

\item %En déduire les variations de la fonction $g^{\prime}$ sur $[0~;~+\infty[$.
On sait que  $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, et sur $[0~;~ +\infty[,\:2 + x \geqslant 2 > 0$ : donc sur $[0~;~ +\infty[, \:g^{\prime\prime}(x) > 0$ : on conclut que la fonction $g^{\prime}$ est croissante (strictement) sur $[0~;~ +\infty[$.
\item %à‰tablir que l'équation $g^{\prime}(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
On a $g^{\prime}(0) = 1 - \text{e} < 0$ et $g^{\prime}(1) = \text{e} > 0$.

Donc la fonction $g^{\prime}$, continue, monotone croissante et croissante sur [0~;~1] de $g^{\prime}(0) < 0$ à  $g^{\prime}(1)  > 0$ s'annule une seule fois sur cet intervalle, d'après le théorème des valeurs intermédiaires.


Il existe donc un réel $\alpha \in[0~;~1]$ tel que $g^{\prime}(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne : $0,5 < \alpha < 0,6$.
%Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à  $10^{-1}$ près. 
\item %En déduire les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
Sur l'intervalle $[0~;~\alpha],\:g^{\prime}(x) < 0$ : la fonction est donc décroissante sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $[\alpha~;~+ \infty],\:g^{\prime}(x) > 0$ : la fonction est donc croissante sur cet intervalle. 
\item %En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de $a$.
D'après tous les résultats précédents, l'aire de la surface hachurée est égale à  : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}g(a)}}$.\\
Or on a vu que la fonction $g$ a sur sur $[0~;~+ \infty[$ et également  sur [0~;~1] un minimum en $x = \alpha$.

L'aire minimum est donc égale à  :  $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}g(\alpha)}}$.

\emph{Non demandé} : cette aire vaut approximativement \numprint{0,0882} unité d'aire.

\end{enumerate}


\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  