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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : Correction du devoir sur feuille \no 3}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite convergeant vers 2.\\
%Montrer que tous les termes de la suite sont positifs à partir d'un certain rang.
Pour tout intervalle $\left]2-\varepsilon~;~2+\varepsilon\right[$, il existe un entier $p$ tel que $n>p\Rightarrow u_n\in\left]2-\varepsilon~;~2+\varepsilon\right[$.

\noindent On considère l'intervalle $I=\left]1,5~;~2,5\right[$, centré sur 2.

Il existe donc un entier $p$ tel que, pour tout $n>p$, $u_n\in I$.
\noindent 
\noindent Pour tout $n>p$, les termes $u_n$ sont donc strictement positifs, puisqu'ils sont supérieurs à 1,5.

\subsection{}
On rappelle que pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a $\left(u^n\right)'=nu'u^{n-1}$ et que si $v$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$, $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$.\\
Soit $u$ une fonction qui ne s'annule pas sur un intervalle $I$ et dérivable sur $I$ ; soit $n$ un entier naturel.\\

\begin{enumerate}
\item %Démontrer, à l'aide des deux formules rappelées ci-dessus, que $\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}$.
$\left(\dfrac{1}{u^n}\right)=\dfrac{1}{v}$ avec $v=u^n$.

\noindent On en déduit : $\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ avec $v'=nu'u^{n-1}$ d'après les rappels.

\noindent Par conséquent : $\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=-\dfrac{nu'u^{n-1}}{u^{2n}}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}}}$.

\item %Calculer la dérivée de $f:x\mapsto \dfrac{1}{\left(3x^2+5x+3\right)^7}$.
Soit $f:x\mapsto \dfrac{1}{\left(3x^2+5x+3\right)^7}$. Le dénominateur ne s'annule pas (discriminant strictement négatif) donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

\noindent $f=\dfrac{1}{u^n}$ avec $u(x)=3x^2+5x+3$ et $n=7$.

\noindent Par conséquent : $f'=\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}$ avec $u'(x)=6x+5$.

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{7(6c+5)}{\left(3x^2+5x+3\right)^8}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
%On note $0!=1$ et pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on pose $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots\times 2\times 1$ (produit des entiers naturels de 1 à $n$).\\
%Ainsi a-t-on $1!=1$, $2!=2\times 1=2$, $3!=3\times 2\times 1=6\cdots$
%\end{bclogo}

\begin{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $(n+1)!$ en fonction de $n!$.
Pour tout entier naturel $n$, \\
$(n+1)!=(n+1)\times \underbrace{n\times (n-1)\times \cdots\times 2\times 1}_{n!}\\
=\boxed{\textcolor{red}{(n+1)n!}}$.

\item %\textbf{\textcolor{blue}{Rappel}} : on note $f^{(n)}$ la dérivée n\up{ième} de $f$, donc \\
%$f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'$.\\
%On considère la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$.
\begin{enumerate}
\item %On admet que $f$ est dérivable à n'importe quel ordre sur $\mathbb{R}^*$.\\
%Calculer $f'(x),$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ et $f^{(5)}(x)$.
$f(x)=\dfrac{1}{x}$

\noindent $f'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x)=x$, d'après l'exercice II. On en déduit :  $f'(x)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{x^2}}}$.
 \\
$f'=-\dfrac{1}{u^2}$. D'après II, $f''=-\left(-\dfrac{2u'}{u^3}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f''(x)=\dfrac{2}{x^3}}}$.

\noindent $f''=\dfrac{2}{u^3}$ ; \\
d'après II, $f^{(3)}=\left(\dfrac{2}{u^3}\right)'=2\times \left(\dfrac{1}{u^3}\right)'\\
=2\times \left(\dfrac{-3}{u^4}\right)
=-\dfrac{6}{u^4}$. $\boxed{\textcolor{red}{f^{(3)}(x)=-\dfrac{6}{x^4}}}$

\noindent $f^{(3)}=-\dfrac{6}{u^4}$ ; d'après II, $f^{(4)}=\left(-\dfrac{6}{u^4}\right)'\\
=-6\times \left(\dfrac{1}{u^4}\right)'=-6\times \left(\dfrac{-4}{u^5}\right)=\dfrac{24}{u^5}$. $\boxed{\textcolor{red}{f^{(4)}(x)=\dfrac{24}{x^5}}}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conjecture}} : pour tout $n\geqslant 1$, \\
$\boxed{\textcolor{red}{f^{(n)}(x)=(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}}}$

\item %Démontrer cette conjecture.
On démontre cette conjecture par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : déjà faite en calculant les premiers termes

\item Hérédité : on suppose \\
$f^{(n)}(x)=(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}$ pour un entier $n$.

\noindent $f^{(n)}=(-1)^n\times n!\times \dfrac{1}{u^n}$, donc\\ $f^{(n+1)}=(-1)^n\times n!\times\left(\dfrac{1}{u^{n+1}}\right)'\\
=(-1)^n\times n!\times\left(-(n+1)\dfrac{u'}{u^{n+2}}\right)\\
=(-1)^{n+1}\times \dfrac{(n+1!)}{u^{n+2}}$.

\noindent Par conséquent \\
$f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}\times \dfrac{(n+1!)}{x^{n+2}}$
\end{enumerate}
La propriété est donc héréditaire.

\noindent D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n\geqslant 1$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie par : \[f(x)=\dfrac{2x^2+x-2}{(x+2)^3}.\]
\begin{enumerate}
\item %Quel est son ensemble définition $\mathscr{D}_{f}$?
$(x+2)^3=0\Leftrightarrow (x+2)=0\Leftrightarrow x=-2$. (car un produit de facteurs dans $\mathbb{R}$ est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul ou parce que l'équation $X^3=0\Leftrightarrow X=0$ puisque la fonction $X\mapsto X^3$ est croissante)

L'ensemble de définition  de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}}}$.

\item %Pourquoi $f$ est-elle dérivable sur $\mathscr{D}_{f}$ ?
$f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_{f}$ comme produit et quotient de fonctions dérivables.

\item %Calculer $f'(x)$ ; montrer que l'on a \[f'(x)=\dfrac{2(x+1)(4-x)}{(x+2)^4}.\]
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x^2+x-2$ et $v=w^3$ avec $w(x)=x+2$.

\noindent $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=4x+1$ et $v=\left(w^3\right)'=3w'w^2$ donc $v'(x)=3\times 1\times (x+2)^2=3(x+2)^2$.

\noindent $f'(x)=\dfrac{(4x+1)(x+2)^3-3(x+2)^2\left(2x^2+x-2\right)}{{\left[(x+2)^3\right]^2}}\\
=\dfrac{(x+2)^2\left[(4x+1)(x+2)-3\left(2x^2+x-2\right)\right]}{(x+2)^6}\\
=\dfrac{-2x^2+6x+8}{(x+2)^4}=\dfrac{2\left(-x^2+3x+4\right)}{(x+2)^6}$.

\noindent $-x^2+3x+4$ a une racine évidente, -1, donc se factorise par $x+1$ : \\
$-x^2+3x+4=(x+1)(-x+4)=(x+1)(4-x)$.

\noindent D'où : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=f'(x)=\dfrac{2(x+1)(4-x)}{(x+2)^4}}}$

\item %Étudier le signe de $f'(x)$ ; en déduire les variations de $f$. (attention, le tableau de variations n'est demandé qu'à la question 6. !)
Pour tout $x\in\mathscr{D}_f$, $(x+2)^4$ est positif, donc $f'(x)$ est du signe du numérateur.

\noindent Celui-ci s'annule en -1 et 4 ; il est négatif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et positif entre les racines.

\noindent On en déduit que $f$ est décroissante sur $\left]-\infty~;~-2\right]$, sur $\left]-2~;~-1\right]$ et sur $[4~;~+\infty[$ et croissante sur $[-1~;~4]$.

\item %Étudier les limites de $f(x)$ aux bornes de l'ensemble de définition $\mathscr{D}_{f}$ .\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textcolor{blue}{Limite en $-\infty$ :} on a une forme indéterminée. \\
$\forall x\neq 0$, $f(x)=\dfrac{x^2\left(2+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{\left[x\left(1+\frac2x\right)\right]^3}\\
=\dfrac{x^2\left(2+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^3\left(1+\frac2x\right)^3}=\dfrac{2+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{x\left(1+\frac2x\right)^3}$.\\
 $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(2+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)=2$ ; \\
 $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\frac1x\right)=1$, donc \\
 $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left[x\left(1+\frac1x\right)^3\right]=-\infty$ \\
 d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0}}$ (en étant négatif).

\item \textcolor{blue}{Limite en $+\infty$ : }nous avons les mêmes calculs donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0}}$ (en étant cette fois positif, car $x>0$).

\item \textcolor{blue}{Limite en -2 :}

\noindent $\lim_{x\rightarrow -2}\left(2x^2+x-2\right)=4$.

$\lim_{\substack{{x\rightarrow -2}\\x<-2}}(x+2)=0$ avec $x+2<0$ donc \\
$\lim_{\substack{{x\rightarrow -2}\\x<-2}}(x+2)^3=0$ avec $(x+2)^3<0$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{{x\rightarrow -2}\\x<-2}}f(x)=-\infty}}$.\\
De même $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{{x\rightarrow -2}\\x>-2}}f(x)=+\infty}}$ car cette fois \\
$(x+2)^3>0$
\end{enumerate}

%Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr{C}_{f}$ représentative de $f$ ?
La courbe $\mathscr{C}_f$ admet donc l'axe des abscisses comme asymptote au voisinage de $-\infty$ et de $+\infty$ et la droite d'équation $x=-1$.

\item %En déduire le tableau de variations de $f$.
Tableau de variations de $f$ :
\footnotesize
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&-2&&&-1&&4&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&&\bb&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\m{ƒ(x)}&\h{0}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&-1&\c&\h{\dfrac{17}{108}}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item %Tracer la courbe $\mathscr{C}_{f}$.
\textbf{Courbe $\mathscr{C}_f$ : vir à la fin du corrigé}
\end{enumerate}

\normalsize
\subsection{}%Bac Nouvelle Calédonie mars 2012



\textbf{Partie A : }

%\medskip
%
%On considère le polynà´me $P$ défini sur $\C$ par 
%
%\[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation $P(z) = 0$.
$P\left(\textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}} \right) =  \left(\textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}}\right)^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}}\right) - 2\text{i}\sqrt{2} \\
= - 2\text{i}\sqrt{2} + 4  + 2\text{i}\sqrt{2}  + 2\text{i}\sqrt{2} - 4 - 2\text{i}\sqrt{2} = 0$\\
$\textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}}$\: est solution dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z) = \boxed{\textcolor{red}{0}}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$.
Développons : $\left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right) = z^3 + az^2 + bz - z^2\text{i}\sqrt{2} - az\text{i}\sqrt{2} - b\text{i}\sqrt{2}\\
 = z^3  + \left(a - \text{i}\sqrt{2} \right)z^2 + \left(b - a\text{i}\sqrt{2} \right)z  - b\text{i}\sqrt{2}$.

Par identification des coefficients, on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a - \text{i}\sqrt{2}&=&-2 - \text{i}\sqrt{2}\\
b - a\text{i}\sqrt{2} &=&2 + 2\text{i}\sqrt{2}\\
-b\text{i}\sqrt{2}&=&-2\text{i}\sqrt{2}
\end{array}\right. \\
\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a &=&-2 \\
b + 2\text{i}\sqrt{2} &=&2 + 2\text{i}\sqrt{2}\\
-b&=&-2
\end{array}\right. \\
\iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
a &=&-2 \\
b&=&2\\
b&=&2
\end{array}\right.$

On a donc $\boxed{\textcolor{red}{P(z) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 - 2z + 2\right)}}$ 
		\item %En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
En utilisant la factorisation précédente : 

$P(z) = 0 \iff \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 - 2z + 2\right)  \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z - \text{i}\sqrt{2}&=&0\\
z^2 - 2z + 2&=&0
\end{array}\right.$

On retrouve la racine  $\text{i}\sqrt{2}$ ; résolution de l'équation du second degré :

$z^2 - 2z + 2=0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 2 = 0 \iff (z - 1)^2  + 1 = 0 \iff$

$ (z - 1)^2 = - 1 \iff (z - 1)^2 = \text{i}^2 \iff  \left\{\begin{array}{l c l}z - 1&=&\text{i}\\
z - 1&=&- \text{i}
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}z &=&1 + \text{i}\\
z &=&1 - \text{i}
\end{array}\right.$

Les solutions sont donc : $\text{i}\sqrt{2},\quad 1 + \text{i}, \quad 1 - \text{i}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique.
% 
%On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives : 
%
%\[z_{\text{A}}  = 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 - \text{i},\quad  z_{\text{J}} = \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\:\: z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}.\] 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à  mesure de l'exercice.
\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\psdots(1,1)(1,-1)(0,1.414)(1;135)(-1,-1)(-1,1)(-1.414,0)
\uput[ur](1,1){A}\uput[dr](1,-1){B}\uput[l](0,1.414){J}\uput[ul](1;135){K}
\pscircle(0,0){1.4141}
\uput[ul](-1,1){D}\uput[d](-1.414,0){L}\uput[dl](-1,-1){C}
\pspolygon(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à  $- \sqrt{2}$.

On a $z_{\text{K}} = \cos \dfrac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \dfrac{3\pi}{4} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

K est  le milieu du segment [JL] ce qui se traduit en affixes par :
$z_K=\dfrac{z_J+z_L}{2}$ d'où 

\noindent $z_L=2z_K-z_J=-\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2}--\mathrm{i}\sqrt{2}=-\sqrt{2}$


Conclusion : $\boxed{\textcolor{red}{z_{\text{L}} = - \sqrt{2}}}$.
\item %Montrer que les points A, B,  J et L appartiennent à  un màªme cercle dont on précisera le centre et le rayon.
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ 

$\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1^2 + (- 1)^2 = 2$ 

$\left|z_{\text{J}} \right|^2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 = 2$ 

$\left|z_{\text{L}} \right|^2 =  \left(- \sqrt{2} \right)^2 = 2$.

On a donc OA = OB = OJ = OL $= \sqrt{2}$ : les points A, B,  J et L appartiennent à  un même cercle de centre O et le rayon $\sqrt{2}$ (cela permet de placer J puisque $OA=OJ$).
\item %Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 1 + \text{i}$. On considère !a rotation $r$ de centre O qui transforme J en D.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$.
Un argument de $z_{\text{J}}$ est $\dfrac{\pi}{2}$ et un argument de $z_{\text{D}}$ est $\dfrac{3\pi}{4}$, donc l'angle de la rotation est $\dfrac{\pi}{4}$.		 
		\item %Soit C l'image du point L par la rotation $r$. Déterminer l'affixe du point C.
%Par définition de la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$, on a :
$C$ est l'image de $L$ par la rotation $r$ donc $OC=OL=\sqrt{2}$.\\
Un angle entre $\overrightarrow{OL}$ et $\overrightarrow{OC}$ est $\dfrac{\pi}{4}$.


On en déduit que $\dfrac{z_C}{z_L}=\dfrac{z_C-z_O}{s_L-z_O}$ a pour module 1 et argument $\dfrac{\pi}{4}$.\\
Par conséquent : $\dfrac{z_C}{z_L}=\cos\dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\\
=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{i}$, d'où $z_C=z_L\times \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{i}=-\sqrt{2}\times \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{i}\right)=-1-\mathrm{i}$, donc  $\boxed{\textcolor{red}{z_C=-1-\mathrm{i}}}$
	\end{enumerate} 
\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
On a successivement :

O est milieu de [BD] et [AC], donc ABCD est un parallélogramme ;

$AC = BD = 2\sqrt{2}$ (car la diagonale d'un carré de côté 1 mesure $\sqrt{2}$), donc ABCD est un rectangle ;

(AC) et (BD) sont perpendiculaires, donc ABCD est un losange, donc finalement : ABCD est un \textbf{\textcolor{red}{carré}}.  
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}%Antilles-Guyane juin 2013

\begin{enumerate}
\item On a $a_0=1$ et $b_0=1$.
\item $z_1=\dfrac{z_0+\vert{z_0}}{3}=\dfrac{1+i+\sqrt{2}}{3}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}+\dfrac13i$. On a alors $a_1=\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}$ et $b_1=\dfrac13$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Pour $N=2$, le tableau de l'état des variables dans l'algorithme est:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$K$ & $A$ & $B$\\
\hline
1 & 0,8047 & 0,3333\\
\hline
2 & 0,5586 & 0,1111\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Plus généralement, pour une valeur de $N$ saisie par l'utilisateur, l'algorithme affichera la valeur de $a_N$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On a, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $z_{n+1}= a_{n+1}+ \text{i}b_{n+1}$ et $z_{n+1}=\dfrac{a_n+ \text{i}b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3}$, donc:
\[
\boxed{\textcolor{red}{a_{n+1}=\dfrac{a_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3}}} \text{ et }\boxed{\textcolor{red}{b_{n+1}=\dfrac{b_n}{3}}}.
\]
\item La suite $(b_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de premier terme $b_0=1$ et de raison $\frac13$, par conséquent, pour tout $n\in\mathbb{N}$: $\boxed{\textcolor{red}{b_n = \left(\frac13\right)^n}}$. \\
Comme $-1 < \frac13 < 1$, on en déduit que $(b_n)$ \textbf{\textcolor{red}{converge}} vers 0.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout 
$n\in\mathbb{N}$, 
$\vert{z_{n+1}}=\vert{\dfrac{z_n+\vert z_n\vert}{3}}\\
=\frac13\vert z_n+\vert{z_n\vert{}}\leqslant \frac13\left(\vert z_n\vert +\vert{z_n}\vert\right)$, c'est-à-dire: 
$\boxed{\textcolor{red}{\vert{z_{n+1}}\leqslant \dfrac{2\vert{z_n}}{3}}}$.
		\item Montrons par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant\left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}$.
\begin{itemize}
\item On a $u_0=\vert{z_0}=\sqrt{2}$ et $\left(\dfrac23\right)^0\sqrt{2}=\sqrt{2}$, la propriété est donc vraie pour $n=0$.
\item Supposons que, pour un certain entier naturel $n$, $u_n\leqslant\left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}$, alors:

\[u_{n+1}=\vert{z_{n+1}}\leqslant \dfrac23u_n\leqslant\dfrac23\left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}=\left(\dfrac23\right)^{n+1}\sqrt{2},\]

la propriété est donc héréditaire.
\item En conclusion, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\end{itemize}
On a de plus, pour tout $n\in\mathbb{N}$,  $u_n=\vert{z_n}\geqslant 0$, donc: $0\leqslant u_n\leqslant \left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}$. Comme $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac23\right)^n\sqrt{2}=0$, le théorème \og des gendarmes\fg{} permet de conclure que la suite $(u_n)$ \textbf{\textcolor{red}{converge}} vers $0$.
		\item On a, pour tout $n\in\mathbb{N}$:

\[u_n=\vert{z_n}\vert=\sqrt{a^n+b^n}\geqslant \sqrt{a_n^2}=\vert{a_n}\vert.\]

Ainsi, pour pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant \vert{a_n}\vert\leqslant u_n}}$. Comme $(u_n)$ converge vers 0, le théorème \og des gendarmes\fg{} permet à nouveau de conclure que $\left(\vert{a_n}\vert\right)$ \textbf{\textcolor{red}{converge}} vers 0, donc que $(a_n)$ converge vers 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}
\newpage

\subsection*{\textcolor{red}{Code Algobox pour l'algorithme de l'exercice VI :}}



%ALGO
\definecolor{fond}{RGB}{136,136,136}
\definecolor{sicolor}{RGB}{128,0,128}
\definecolor{tantquecolor}{RGB}{221,111,6}
\definecolor{pourcolor}{RGB}{187,136,0}
\definecolor{bloccolor}{RGB}{128,0,0}
\newenvironment{cadrecode}{%
\def\FrameCommand{{\color{fond}\vrule width 5pt}\fcolorbox{fond}{white}}%
\MakeFramed {\hsize \linewidth \advance\hsize-\width \FrameRestore}\begin{footnotesize}}%
{\end{footnotesize}\endMakeFramed}
\makeatletter
\def\therule{\makebox[\algorithmicindent][l]{\hspace*{.5em}\color{fond} \vrule width 1pt height .75\baselineskip depth .25\baselineskip}}%
\newtoks\therules
\therules={}
\def\appendto#1#2{\expandafter#1\expandafter{\the#1#2}}
\def\gobblefirst#1{#1\expandafter\expandafter\expandafter{\expandafter\@gobble\the#1}}%
\def\Ligne{\State\unskip\the\therules}% 
\def\pushindent{\appendto\therules\therule}%
\def\popindent{\gobblefirst\therules}%
\def\printindent{\unskip\the\therules}%
\def\printandpush{\printindent\pushindent}%
\def\popandprint{\popindent\printindent}%
\def\Variables{\Ligne \textcolor{bloccolor}{\textbf{VARIABLES}}}
\def\Si#1{\Ligne \textcolor{sicolor}{\textbf{SI}} #1 \textcolor{sicolor}{\textbf{ALORS}}}%
\def\Sinon{\Ligne \textcolor{sicolor}{\textbf{SINON}}}%
\def\Pour#1#2#3{\Ligne \textcolor{pourcolor}{\textbf{POUR}} #1 \textcolor{pourcolor}{\textbf{ALLANT\_DE}} #2 \textcolor{pourcolor}{\textbf{A}} #3}%
\def\Tantque#1{\Ligne \textcolor{tantquecolor}{\textbf{TANT\_QUE}} #1 \textcolor{tantquecolor}{\textbf{FAIRE}}}%
\algdef{SE}[WHILE]{DebutTantQue}{FinTantQue}
  {\pushindent \printindent  \textcolor{tantquecolor}{\textbf{DEBUT\_TANT\_QUE}}}
  {\printindent \popindent  \textcolor{tantquecolor}{\textbf{FIN\_TANT\_QUE}}}%
\algdef{SE}[FOR]{DebutPour}{FinPour}
  {\pushindent \printindent \textcolor{pourcolor}{\textbf{DEBUT\_POUR}}}
  {\printindent \popindent  \textcolor{pourcolor}{\textbf{FIN\_POUR}}}%
\algdef{SE}[IF]{DebutSi}{FinSi}%
  {\pushindent \printindent \textcolor{sicolor}{\textbf{DEBUT\_SI}}}
  {\printindent \popindent \textcolor{sicolor}{\textbf{FIN\_SI}}}%
\algdef{SE}[IF]{DebutSinon}{FinSinon}
  {\pushindent \printindent \textcolor{sicolor}{\textbf{DEBUT\_SINON}}}
  {\printindent \popindent \textcolor{sicolor}{\textbf{FIN\_SINON}}}%
\algdef{SE}[PROCEDURE]{DebutAlgo}{FinAlgo}
   {\printandpush \textcolor{bloccolor}{\textbf{DEBUT\_ALGORITHME}}}%
   {\popandprint \textcolor{bloccolor}{\textbf{FIN\_ALGORITHME}}}%
\makeatother
\newenvironment{algobox}%
{%
\begin{ttfamily}
\begin{algorithmic}[1]
\begin{cadrecode}
}
{%
\end{cadrecode}
\end{algorithmic}
\end{ttfamily}
}

\begin{algobox}
\Variables
\Ligne A EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\Ligne B EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\Ligne N EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\Ligne K EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\DebutAlgo
\Ligne A PREND\_LA\_VALEUR 1
\Ligne B PREND\_LA\_VALEUR 1
\Ligne LIRE N
\Pour{K}{1}{N}
\DebutPour
\Ligne A PREND\_LA\_VALEUR (A+sqrt(pow(A,2)+pow(B,2)))/3
\Ligne B PREND\_LA\_VALEUR B/3
\FinPour
\Ligne AFFICHER "La valeur de A est  "
\Ligne AFFICHER A
\FinAlgo

\end{algobox}

\bigskip

\subsection*{\textcolor{red}{Courbe de l'exercice IV}}

\emph{\textcolor{blue}{Il faut tracer les asymptotes et les tangentes horizontales en -1 et en 4 !}}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.,-7.)(7.,5.)
\psgrid[subgriddiv=2](-10.,-7.)(7.,5.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-10.,-7.)(7.,5.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-10.0}{7.0}{(2.00000000000*x^(2.00000000000)+x-2.00000000000)/(x+2.00000000000)^(3.00000000000)}

\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-2.,-7.)(-2.,5.)
\psline{<->}(-1.5,-1)(-0.5,-1)
\psline{<->}(3.5,0.157)(4.5,0.157)
\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-10.48,-0.64){$f$}
%\rput[bl](-1.84,4.64){$d$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\label{fin}
\end{document}  