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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du devoir}}\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Non convergence de la suite  $\boldmath{\sin(n)}$} }
\begin{enumerate}
\item  %Donner une valeur approchée de $\cos 1$ et $\sin 1$.
On a : $\boxed{\textcolor{red}{\cos 1\approx 0,54}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\sin 1\approx 0.84}}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que pour tout $n\in\mathbb{N}$  : \[\sin(n+1)=\cos(1)\sin(n)+\cos(n)\sin(1).\]
Pour tous $a$ et $b$, \\
$\sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{\sin(n+1)=\cos(1)\sin(n)+\cos(n)\sin(1)}}$.

\item %Justifier que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : \[\sin(n+1)-\sin(n-1)=2\sin(1)\cos(n).\]
$\sin(n+1)-\sin(n-1)\\
=\cos(1)\sin(n)+\cos(n)\sin(1)-\\
\left[\cos(1)\sin(n)-\cos(n)\sin(1)\right]=\boxed{\textcolor{red}{2\sin(1)\cos(n)}}$.
\end{enumerate}

\item On pose pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n}=\sin(n)$ et $v_{n}=\cos(n)$.\\
On suppose désormais que $\left(u_{n}\right)$ a une limite finie $\ell$.

\begin{enumerate}
\item %En déduire de la relation établie en 2b) que $\left(v_{n}\right)$ converge et préciser sa limite.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sin(n+1)=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sin(n-1)=\ell$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[\sin(n+1)+\sin(n-1)\right]=\ell-\ell=0$.

\item Pour tout $n$, $\sin(n+1)-\sin(n-1)\\
=2\sin(1)\cos(n)$, donc \\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(2\sin 1\cos n)=0$.\\
Comme $\sin 1\neq 0$, on a $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\cos n=0}}$.

\end{enumerate}
\item %Déduire alors de la relation établie en 2a) que $\ell=0$.
$\sin(n+1)=\cos(1)\sin(n)+\cos(n)\sin(1)$ (1.(a)) donc 
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\sin(n+1)=\ell}}$\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[\cos(1)\sin(n)+\cos(n)\sin(1)\right]=\boxed{\textcolor{red}{\ell\cos 1}}$ car $\lim_{n\rightarrow +\infty}\cos n=0$.\\
Par \textbf{\textcolor{blue}{unicité de la limite}}, on a $\ell=\ell\cos 1$, d'où $\ell(1-\cos 1)=0$ ; comme $\cos 1\neq 1$, on a $\boxed{\textcolor{red}{\ell=0}}$.\\
Par conséquent : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell=0$ et \\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}v_{n}=0$

\item %En considérant $u_{n}^{2}+v_{n}^{2}$, montrer que \[\ell^{2}=1.\]
Pour tout $n$, $u_{n}^{2}+v_{n}^{2}=\sin^{2} n+\cos^{2}n=1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_{n}^{2}+v_{n}^{2}\right)=1$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(u_{n}^{2}+v_{n}^{2}\right)=0+0=0$ donc $1=0$, ce qui est faux.\\
%Qu'en déduit-on ?

\item %En déduire que la suite $(\sin n)$ n'a pas de limite (finie ou non). 
On en déduit que l'hypothèse $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell$ est fausse.\\
\fbox{\textcolor{red}{La suite $\left(\sin n\right)$ n'a donc pas de limite.}}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}%\textcolor{blue}{Polynésie juin 2012}



\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\
On considère l'algorithme suivant :\\
Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\underline{\textbf{Entrée}}\\
Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\

\noindent \underline{\textbf{Traitement}}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\

\noindent Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Fin pour\\

\noindent \underline{\textbf{Sortie}}\\
\noindent Afficher $U$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip
\noindent %Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?\\
$N$ vaut 3, donc $k$ varie de 0 à 2.\\
Les valeurs successives de $U$ sont, après la valeur initiale 0 :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $3\times 0-2\times 0+3=3$ donc $U$ vaut $\boxed{\textcolor{red}{3}}$.

\item $3\times 3-2\times 1+3=10$ donc $U$ vaut $\boxed{\textcolor{red}{10}}$.

\item $3\times 10-2\times 2+3=29$ donc $U$ vaut $\boxed{\textcolor{red}{29}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\

\noindent On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
$u_1=3u_0-2\times 0+3=3$\\
$u_2=3u_1-2\times 1+3=10$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
Démontrons par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant  n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation :} $u_0=0\geqslant  0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$

\item \textbf{Hérédité} : on suppose la propriété vraie au rang $n$, donc $u_n\geqslant  n$.\\
Alors $u_{n+1}=3u_n-2n+3\geqslant  3n-2n+3\geqslant  n+3\geqslant n+1$ donc la propriété est vraie au rang $n+1$ ; elle est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant n$}}.

\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$ d'après le théorème des gendarmes.
\end{enumerate}

\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=3u_n-2n+3-u_n=2u_n-2n+3\geqslant 2n-2n+3=3\geqslant 0$ (car $u_n\geqslant n$ d'après la question précédente).\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+1} - (n+1) +1=\left(3u_n-2n+3\right)-(n+1)+1\\
=3u_n-3n+3=3\left(u_n-n+1\right)=\boxed{\textcolor{red}{3v_n}}$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=3v_n$ : la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $v_0=u_0-0+1=1$.

\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=v_0\times q^n=3^n$.\\
Alors, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \\
$u_n=v_n+n-1=\boxed{\textcolor{red}{3^n+n-1}}$.
\end{enumerate}

\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item %Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?\\
Puisque la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$.

On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.

\item %Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
$u_{3p}=3^{3p}+3p-1=27^p+3p-1$.\\
$p>0$ (d'après l'énoncé) donc $p\geqslant 1$ ; par conséquent, $3p-1\geqslant 0$.\\
Alors : $27^p+3p-1\geqslant 27^p\geqslant 10^p$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{n_0\leqslant 3p}}$.

\item %Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
On sait d'après la question précédente, que $n_0\leqslant 3p=3\times 3=9$.\\
¿ la calculatrice, on trouve $u_6=3^6+6-1=734$ et $u_7=\numprint{2193}>10^3$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{n_0=7}}$.

\item %Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ , on ait $u_n\geqslant 10^p$.

Un algorithme serait de la forme :
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \emph{Entrée} : Saisir le nombre entier naturel $n$

\item \emph{Traitement :}
\begin{itemize}
\item Affecter à $k$ la valeur 0

\item Tant que $3^k+k-1<10^p$

\item Affecter à $k$ la valeur $k+1$
\end{itemize}
Fin Tant que

\item \emph{Sortie :} Afficher la valeur de $k$
\end{enumerate}

\end{minipage}}
\end{center}
\textbf{Voici un algorithme avec Algobox :}
\begin{center}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     p EST_DU_TYPE NOMBRE
3     U EST_DU_TYPE NOMBRE
4     k EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     LIRE p
7     U PREND_LA_VALEUR 0
8     k PREND_LA_VALEUR 0
9     TANT_QUE (U<pow(10,p)) FAIRE
10      DEBUT_TANT_QUE
11      U PREND_LA_VALEUR 3*U-2*k+3
12      k PREND_LA_VALEUR k+1
13      FIN_TANT_QUE
14    AFFICHER k
15  FIN_ALGORITHME

\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}

\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection{}
\begin{enumerate}
\item $~$\vspace{0,1cm}\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$& $u$&$v$ &$a$&$b$\\ \hline  
0 &4 &9&4&9\\ \hline 
1&6,5&6,964&6,5&6,964\\ \hline 
2&6,732&6,736&6,732&6,736\\ \hline
\end{tabularx}
%
%
%
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \fbox{Initialisation}
		
Pour $n = 0$, on a bien $u_0>0$ et $v_0>0$. L'hypothèse de récurrence est vérifiée pour $n=0$.

\fbox{Hérédité}
		      
Supposons que pour $n \in \mathbb{N}$ : $u_n > 0$ et $v_n > 0$. Alors :\vspace{0,1cm}
		
		$u_n + v_n > 0 \Rightarrow \dfrac{u_n + v_n}{2}>0 \Rightarrow u_{n+1} > 0$\\
		$u_n^2 > 0 \text{ et } v_n^2 > 0 \Rightarrow u_n^2 + v_n^2 > 0 \Rightarrow \dfrac{u_n^2 + v_n^2}{2}>0 \Rightarrow \sqrt{\dfrac{u_n^2 + v_n^2}{2}}>0  \Rightarrow v_{n + 1} > 0$
		
L'hypothèse de récurrence est donc vérifiée au rang $n+1$.

Ainsi, d'après laxiome de récurrence, on en déduit que : \fbox{$u_n > 0$ et $v_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$}.
		\item $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}- \left(\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\right)^2=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2}{4}- \dfrac{u_{n}^2 +2u_{n}v_{n}+ v_{n}^2}{4}=\dfrac{u_{n}^2 -2u_{n}v_{n}+ v_{n}^2}{4}=$
		
$\boxed{\left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2=v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}$.\vspace{0,2cm}
		
D'où, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}\geqslant 0  \Rightarrow v^2_{n+1} \geqslant u^2_{n+1} \Rightarrow v_{n+1} \geqslant u_{n+1}  \Rightarrow v_n\geqslant u_n \text{ pour tout } n\in\mathbb{N}^* $.\vspace{0,1cm}

Par construction, $ v_0 \geqslant u_0 $.\vspace{0,1cm}

 Conclusion : $\boxed{v_n\geqslant u_n \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}- u_{n} = \dfrac{v_{n} - u_{n}}{2} \geqslant 0$ d'après la question précédente. \fbox{La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc croissante}. 
		\item $0 < u_n \leqslant v_n \Rightarrow u_n^2 \leqslant v_n^2 \Rightarrow u_n^2+v_n^2 \leqslant v_n^2+v_n^2 \Rightarrow \dfrac{u_n^2+v_n^2}{2} \leqslant v_n^2 \Rightarrow \boxed{v_{n+1}^2 \leqslant v_n^2} \Rightarrow v_{n+1} \leqslant v_n$ {\footnotesize{(car les éléments de la suite $v_n$ sont positifs)}}.\vspace{0,1cm}
		
		\fbox{La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc décroissante}.\vspace{0,1cm} 
\end{enumerate} 
\item On a montré que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la suite $u_{n}$ est croissante donc $u_{0} \leqslant  u_{n}$ pour tout entier naturel $n$,
\item[$\bullet~~$] la suite $v_{n}$ est décroissante donc $v_{n} \leqslant v_{0}$ pour tout entier naturel $n$,
\item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \leqslant v_{n}$.
\end{itemize}

On en déduit que pour tout entier naturel $n, u_{0} \leqslant u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant v_{0}$ d'où en particulier
$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n} &\leqslant& v_{0}\\
v_{n} &\leqslant& u_{0}
\end{array}\right.$

La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante majorée par $v_0$ donc, d'après théorème, elle est convergente.\vspace{0,1cm}

La suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante minorée par $u_0$ donc, d'après théorème, elle est convergente.\vspace{0,1cm}

\subsection{}
On étudie la suite $u$ définie par \\
$u_0=5$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{3}{u_n}\right)=f(u_n)$ avec \\
$f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{3}{x}\right)$, définie sur $]0~;~+\infty[$.\\


\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables.\\
Pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(1+3\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{3}{x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2-3}{x^2}\right)$.\\
$f'(x)=0$ pour $x=\sqrt{3}$.\\
$x^2-3\leqslant 0$ pour $0<x\leqslant \sqrt{3}$ et $x^2-3\geqslant 0$ pour $x\geqslant \sqrt{3}$. Le dénominateur $x$ est positif.\\
$f$ est décroissante sur $\left]0~;~\sqrt{3}\right]$ puis décroissante sur $\left[\sqrt{3}~;~+\infty\right[$.\\
$\lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{3}{x}\right)=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3}{x}\right)=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.\\
On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\sqrt{3}&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\h{\pI}&\d&\sqrt{3}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n$, $u_n>\sqrt{3}$.
Montrons par récurrence sur $n$ que, pour tout $n$, $u_n>\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $u_0=5>\sqrt{3}$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item On suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, donc $u_n>\sqrt{3}$.\\
D'après la question précédente, $f$ est croissante sur $\left[\sqrt{3}~;~+\infty\right[$, donc $\sqrt{3}<u_n\Rightarrow f\left(\sqrt{3}\right)<f\left(u_n\right)$, c'est-à-dire $u_{n+1}>\sqrt{3}$\\
La propriété est héréditaire
\end{enumerate}D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$ : Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>\sqrt{3}$.

\item %Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Montrons par récurrence que la suite $(u_n)$ est décroissante, c'est-à-dire que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $u_1=\dfrac{1}{2}\left(5-\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{22}{10}=\dfrac{11}{5}<5$ donc $u_1-u_0<0$.

\item Hérédité : on suppose $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ pour un rang $n$ quelconque. Par conséquent : $\sqrt{3}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.\\
$f$ est croissante sur $\left[\sqrt{3}~;~+\infty\right[$ donc $f(\sqrt{3})\leqslant f\left(u_{n+1}\right)\leqslant f\left(u_n\right)$, c'est-à-dire $\sqrt{3}\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$donc $u_{n+2}—u_{n+1}\leqslant 0$.\\
La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$ : la suite $u$ est décroissante.

\item %En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
La suite est décroissante et minorée par $\sqrt{3}$, donc elle converge vers un réel $\ell\geqslant \sqrt{3}$.

\item %En déduire la limite $\ell$ de cette suite.
$f$ est continue, donc $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$.\\
$f(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{3}{x}\right)=x\Leftrightarrow \dfrac{x^2+3}{2x}=x\Leftrightarrow x^2+3=2x^2\Leftrightarrow x^2=\sqrt{3}$ qui a pour solutions $—\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.\\
La lmite est positive, donc $\boxed{\textcolor{red}{\ell=\sqrt{3}}}$.

\item %Que se passe-t-il si l'on choisit comme valeur pour $u_0$ un autre nombre de $]\sqrt{3}~;~+\infty[$ ?\\
Pour un autre nombre initial $u_0\in\left]sqrt{3}~;~+\infty\right[$, la suite converge toujours vers $\sqrt{3}$.

\item %Que se passe-t-il pour $u_0=\sqrt{3}$ ?
Pour $u_0=\sqrt{3}$, la suite est constante et vaut $\sqrt{3}$, car $u_1=f(\sqrt{3})\sqrt{3}$ et par récurrence, on montrerait facilement que tous les termes sont égaux à $\sqrt{3} (évident !)$.

\item %Que se passe-t-il pour $u_0\in]0~;~\sqrt{3}[$ ?
Si $u_0\in]0~;~\sqrt{3}[$, on a $u_1=f\left(u_0\right)>\sqrt{3}$ (d'après le tableau de variation de $f$) et l'on est ramené à la situation du début de l'exercice, à partir de $n=1$, donc la suite converge encore vers $\sqrt{3}$.

\item %Proposer un algorithme qui demande à l'utilisateur une valeur de $u_0>\sqrt{3}$, un nombre $p$ et qui donne le premier rang à partir duquel le terme $u_n$ est une approximation de $\sqrt{3}$ à $10^{-p}$ près.
Algorithme possible :

\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Variables&$u$, $p$, $n$\\
\hline
Affectations&$n=0$\\
&choisir $u$\\
&choisir $p$\\
\hline
Traitement&si $\vert u-\sqrt{3}\vert\leqslant 10^{-p}$, afficher $n$\\
&Tant que $\vert u-\sqrt{3}\vert > 10^{-p}$, \\
&$u=\dfrac{1}{2}\left(u+\dfrac{3}{u}\right)$\\
&n=n+1\\
\hline
Sortie&Afficier $n$\\
\hline
\end{tabular}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  