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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Corrigé du contrôle commun \no  3 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
10 janvier 2015}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : correction du contrôle commun \no 3 (4 heures)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Q.C.M. (5 points)}}
Pour toutes les questions, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ ; $z_A$ désigne l’affixe d’un point $A$, et $z_B$ désigne l’affixe d’un point B.

\noindent Pour chaque question, il n'y a qu'une seule bonne réponse. Donner celle-ci et \textbf{justifier} votre choix.

\begin{enumerate}
\item Si $z=4+3\mathrm{i}$, alors $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{4+3\mathrm{i}}=\dfrac{4-3\mathrm{i}}{4^2+3^2}=\dfrac{4-3\mathrm{i}}{25}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{25}-\dfrac{3}{25}\mathrm{i}}}$.

\item Si $Z=\dfrac{4-\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}$, alors $Z$ est égal à $\dfrac{(4-\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{1^2+2^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2-9\mathrm{i}}{5}}}$.

\item Le conjugué de $Z=\dfrac{1-z}{1+\mathrm{i}}$, où $z\in\mathbb{C}$, est égal à $\dfrac{\overline{1-z}}{\overline{1+\mathrm{i}}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1-\overline{z}}{1-\mathrm{i}}}}.$

\item Soit $z=-3\left(\dfrac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{\mathrm{i}}\right)$.

\noindent On a $z=-3\left(\dfrac{1}{\mathrm{i}}+\sqrt{3}\right)=-3(-\mathrm{i}+\sqrt{3})=3(-\sqrt{3}+\mathrm{i})=6\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=6\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\right)$, donc un argument de $z$ est $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5\pi}{6}}}$.

\item On sait que $\arg(z)=\dfrac{\pi}{3}$ et que $z'=-7$ ; alors $\arg\left(zz'\right)=\arg(z)+\arg\left(z'\right)=\dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4\pi}{3}~[2\pi]=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{2\pi}{3}~[2\pi]}}$.

\item Soit $n$ un entier naturel et soit $z=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})^n$.

\noindent $\arg\left(z^n\right)=n\arg(z)~[2\pi]$ ; or $z=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)$ d'où $\arg(z)=\dfrac{\pi}{3}$.\\
$z^n$ est réel si, et seulement si, $\arg\left(z^n\right)=0~[\pi]\Leftrightarrow n\times \dfrac{\pi}{3}=0~[\pi]\Leftrightarrow n\dfrac{\pi}{3}=k\pi,~k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \dfrac{n}{3}=k\Leftrightarrow n=3k$, donc il faut et il suffit que \fbox{\textcolor{red}{k soit un multiple de 3}}.

\item On sait que $z_A=-3$ et que $z_B=2\mathrm{i}$ ; alors $AB =\vert z_B-z_A \vert=\vert 2\mathrm{i}-(-3) \vert=\vert 3+2\mathrm{i} \vert=\sqrt{3^2+2^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$.

\item Si $z_A=1-3\sqrt{3}$ et $z_B=1-3\mathrm{i}$, alors l'angle $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{AB} \right)$ a pour mesure $\arg\left(z_B-z_A\right)=\arg\left(1-3\mathrm{i}-(1-3\sqrt{3})\right)=\arg\left(3\sqrt{3}-3\mathrm{i}\right)$.

\noindent Or $3\sqrt{3}-3\mathrm{i}=6\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=6\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$ donc $\arg(z)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{\pi}{6}}}$.

\item Soit $\Delta$ l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tel que $\vert  z– 1 \vert  = \vert z + \mathrm{i} \vert $. On note A le point d'affixe 1 et $B$ le point d'affixe $-\mathrm{i}$.

\noindent $\vert  z– 1 \vert  = \vert z + \mathrm{i} \vert \Leftrightarrow \vert z_M-z_A \vert=\vert z-z_B \vert\Leftrightarrow AM=BM$. 

\noindent $\Delta$ est donc la médiatrice de $[AB]$.

\noindent La droite $\Delta $ est alors la droite d'équation $\boxed{\textcolor{red}{y=-x}}$

\item Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $\arg\left(\dfrac{z+2}{z-2\mathrm{i}}\right)=\dfrac{\pi}{2}~[\pi]$.

\noindent On note $C(2\mathrm{i})$ et $D(-2)$. Alors $\arg\left(\dfrac{z+2}{z-2\mathrm{i}}\right)=\arg\left(\dfrac{z_M-z_D}{z_M-z_C}\right)=\left(\overrightarrow{CM}~;~\overrightarrow{DM}\right)$.

\noindent $\Gamma$ est donc l'ensemble des points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{CM}~;~\overrightarrow{DM}\right)=\dfrac{\pi}{2}~[\pi]$.

C'est le cercle de diamètre $[CD]$ ; le centre de ce cercle est le milieu de [CD], donc d'affixe $-1+\mathrm{i}$.

Le rayon est $\dfrac{CD}{2}=\dfrac{\vert 2+2\mathrm{i} \vert}{2}=\dfrac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{ \textcolor{blue}{(5 points)}}%\textcolor{blue}{Pondichéry mai 2001}
\emph{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}
\begin{enumerate}
\item Écriture de $f(z)$ sous forme algébrique
Avec  $z = x + \text{i}y$\: ($z$ et $y$ réels) : 

$f(z) = \dfrac{2 - \text{i}z}{1 - z} = \dfrac{2 - \text{i}(x + \text{i}y)}{1 - x - \text{i}y}  = \dfrac{2 + y - \text{i}x}{1 - x - \text{i}y} = \dfrac{(2 + y - \text{i}x)(1 - x + \text{i}y)}{(1 - x + \text{i}y)(1 - x - \text{i}y)} =$

$\dfrac{(2 + y)(1 - x) + xy + \text{i}y(2 + y) + \text{i}(x(x - 1)}{(1 - x)^2 + y^2} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2 - 2x + y + \text{i}\left(x^2 + y^2 - x + 2y\right)}{(1 - x)^2 + y^2}}}$.

Ensemble des points $M(z)$ tels que $f(z)$ soit réel :

Si $z \neq 1$, soit $(x~;~y) \neq (1~;~0)$, c'est-à-dire $M \neq \text{A}$,\: $f(z)$ existe et $f(z) \in \mathbb{R}$ si sa partie imaginaire est nulle soit d'après la question précédente si :

$x^2 + y^2 - x + 2y = 0 \iff \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 - \dfrac{1}{4} - 1 = 0 \iff \boxed{\textcolor{red}{\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \dfrac{5}{4}}}$, équation du \textcolor{red}{cercle de centre $\Omega\left(\dfrac{1}{2}~;~- 1\right)$ de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$, cercle privé du point A}.
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-3.)(2.,1.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-3.)(2.,1.)
\pscircle(0.5,-1.){2.2360679775}
%\psline(2.,0.)(0.,1.)
%\psplot{-1.}{2.}{(--1.5-2.*x)/-1.}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.5,-1.)
\rput[bl](0.58,-0.88){\blue{$\Omega$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,0.)
\rput[bl](1.08,0.12){\blue{$A$}}
\rput[bl](-0.06,-0.44){$c$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,0.)
%\rput[bl](2.08,0.12){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,1.)
%\rput[bl](0.08,1.12){\blue{$D$}}
%\rput[bl](1.14,0.8){$a$}
%\rput[bl](3.94,5.98){$b$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour déterminer les antécédents de i par $f$ on doit résoudre l'équation $f(z) = \text{i}$ ; on obtient :
		
 Pour $z \neq 1$ : $f(z) = \text{i} \iff \dfrac{2- \text{i}z}{1 - z}	= \text{i} \iff 2 - \text{i}z = \text{i} - \text{i}z \iff 2 = \text{i}$ qui n'a pas de solution 
donc\fbox{\textcolor{red}{ i n'a pas d'antécédent par $f$}}. 

\textbf{Expression de $z$ en fonction de $z'\: (z' \neq \text{i})$} :

Si $z' \neq \text{i}, \:f(z) = z' \iff  \dfrac{2- \text{i}z}{1 - z} = z' \iff 2 - \text{i}z = z' - zz' \iff z(z' - \text{i}) = z' - 2 \iff z =\dfrac{z' - 2}{z' - \text{i}}$.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : tout complexe $z'$, distinct de i, admet, par $f$ un unique antécédent $z$, tel que $\boxed{\textcolor{red}{z = \dfrac{z' - 2}{z' - \text{i}}}}$.
		\item 
De la relation $z = \dfrac{z' - 2}{z' - \text{i}}$	on déduit en prenant les modules :

$|z| = \left|\dfrac{z' - 2}{z' - \text{i}}\right| = \dfrac{\left|z' - 2 \right|}{\left|z' - \text{i} \right|}$

ou encore, en notant C le point d'affixe 2, D le point d'affixe i et $M$ et $M'$ les points d'affixes $z$ et $z',\:  \boxed{\textcolor{red}{\text{O}M = \dfrac{\text{C}M'}{\text{D}M'}}}$.
		\item Étude de $M'$ lorsque $M$ décrit le cercle de centre O et de rayon 1
		
Si le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé de A, on
a $\text{O}M = 1$ et par conséquent d'après la question précédente :

$1 = = \dfrac{\text{C}M'}{\text{D}M'}$  : cette égalité signifie que $M'$ appartient à  la \textbf{\textcolor{red}{médiatrice}} $(\Delta)$ de [CD].

		\item Étude de $M'$ lorsque $M$ décrit l'axe réel

La relation $z = \dfrac{z' - 2}{z' - \text{i}}$ donne en termes d'arguments :

$\text{arg} z = \text{arg} (z'- 2) - \text{arg}(z'- \text{i})\quad  (\mod. 2\pi)$ ;

ou encore :

$\left(\overrightarrow{u},\: \overrightarrow{\text{O}M}\right) = \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{\text{C}M'}\right) - \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{\text{D}M'}\right)\quad  (\mod. 2\pi) = \left(\overrightarrow{\text{D}M'},\:\overrightarrow{\text{C}M'} \right)$.

Si M est un point de l'axe réel distinct de O et de A, on a

$\left(\overrightarrow{u},\: \overrightarrow{\text{O}M}\right) = 0 \quad (\mod. \pi)$ donc 

$\left(\overrightarrow{\text{D}M'},\:\overrightarrow{\text{C}M'} \right) = 0 \quad \mod. \pi$.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : le point $M'$ appartient Ã  la \textcolor{red}{droite (CD) (il est distinct du point D et du point C)}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{ \textcolor{blue}{II (5 points)}}%\textcolor{blue}{Pondichéry mai 2001}
\emph{Pour les élèves  suivant  l'enseignement de spécialité}

\noindent \textbf{Partie A :}\\

\noindent À chaque lettre de l'alphabet, on associe , grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Lettre&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\
\hline
Nombre&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
\hline
Lettre&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
Nombre&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
On définit un procédé de codage de la façon suivante :

\begin{enumerate}[Étape 1 :]
\item À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.

\item On calcule le reste de la division euclidienne de $9m+5$ par 26 et on le note $p$.

\item Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Codons la lettre U : $U$ correspond au nombre $m=20$ : $9\times 20+5=185=7\times 26+3$, donc le reste $p$ de $9m+5$ modulo 26 est $p=3$.

\noindent La lettre U est donc codée par D

\item T$9\times 3\equiv 1~[26]$ donc on peut prendre $x=3$

\item $9m+5 \equiv p \  [26]
\Longrightarrow 27m+15 \equiv 3p \  [26] 
\iff 27m \equiv 3p-15 \  [26]$

Or $27 \equiv 1 \  [26]$ donc $27m \equiv m \  [26]$

$\left. 
\begin{array}{@{} l @{\ \equiv\ } l}
27m & 3p-15\\
27m & m \  [26]
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
m \equiv 3p-15 \  [26]$

Réciproquement :

$m \equiv 3p-15 \  [26]
\iff m+15 \equiv 3p \  [26] 
\Longrightarrow 9m+135 \equiv 27p \  [26]$

Or $27 \equiv 1 \  [26]$ donc $27p \equiv p \  [26]$; de plus $135 = 5\times 26+5$ donc $135 \equiv 5 \  [26]$.

$
135 \equiv 5 \  [26]
\Longrightarrow
9m+135 \equiv 9m + 5 \  [26]$

$\left. 
\begin{array}{@{} l @{\ \equiv\ } l}
9m+135 & 9m + 5 \  [26]\\
27p & p \  [26]\\
9m+135 & 27p \  [26]
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow
9m+5 \equiv p \  [26]
$

On peut donc dire que: $9m+5 \equiv p \  [26] \iff m \equiv 3p-15 \  [26]$.


\item Si la lettre codée est B, on a $p=1$ ; alors $m=3p-15~[26]=-9~[26]=17~[26]$ donc la lettre décodée est R.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\bigskip
\noindent On considère l'ensemble des matrices à deux lignes et deux colonnes.\\

\noindent On appelle matrice identité la matrice $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times a+0\times c&1\times b+0\times d\\0\times a+1\times c&0\times b+1\times d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$.

\item On appelle matrice inverse la matrice $M^{-1}$ définie par $M^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

\noindent  $M\times M^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}ad-bc&-ab=ab\\cd-cd&-bc+ad\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

\item %À quelle condition peut-on calculer $M^{-1}$ ?
On peut calculer $M^{-1}$ à condition que $ad-bc\neq 0$.

\item %Application : calculer $M^{-1}$, inverse de la matrice $M=\begin{pmatrix}4&5\\2&3\end{pmatrix}$.
Si $M=\begin{pmatrix}4&5\\2&3\end{pmatrix}$, $M^{-1}=\dfrac{1}{4\times 3-2\times 5}\begin{pmatrix}3&-5\\-2&4\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}3&-5\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac32&-\frac52\\-1&2\end{pmatrix}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}%\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2004}
On définit les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ par $a_0 =1,~ 
b_0 =7$ et $\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}& =&\cfrac{1}{3}\left(2a_n +b_n\right)\\
b_{n+1}& =&\cfrac{1}{3}\left(a_n +2b_n\right)\\
\end{array}\right.$

\begin{enumerate} \item On calcule $\boxed{\textcolor{red}{a_{1} = 3}}$, $\boxed{\textcolor{red}{b_{1} = 5}}$, $\boxed{\textcolor{red}{a_{2} = \dfrac{11}{3}}}$, et $\boxed{\textcolor{red}{b_{2} = \dfrac{13}{3}}}$.\\


\noindent \psset{unit=1.6cm} \begin{pspicture}(5,0.5)
\psline(0,0)(7.1,0)
\psaxes{->}(0,0)(7.1,0)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline(3.666,-0.075)(3.666,0.075) \psline(4.333,-0.075)(4.333,0.075)
\psline(7,-0.075)(7,0.075) 
\uput[u](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[u](0,0){O} \uput[u](1,0){A$_{0}$} \uput[u](3,0){A$_{1}$} \uput[u](3.666,0){A$_{2}$} 
\uput[u](4,0){I} \uput[u](4.333,0){B$_{2}$} \uput[u](5,0){B$_{1}$} \uput[u](7,0){B$_{0}$} \uput[u](7,0){(D)}  
\end{pspicture}\\


\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n = b_n - a_n$.\\

\begin{enumerate}
\item On a $u_{n+1} = b_{n+1} - a_{n+1} = \cfrac{1}{3}\left(a_n +2b_n\right) - \cfrac{1}{3}\left(2a_n +b_n\right) = \dfrac{1}{3}\left(-a_{n} + b_{n}\right) = \dfrac{1}{3}u_{n} $ pour 
tout $n \in \mathbb{N}$. La suite  $\left(u_n\right)$ est donc une
suite \textbf{\textcolor{red}{géométrique}}  de raison $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$ et de premier terme $u_{0} = b_{0} - a_{0} = 7 - 1 = \boxed{\textcolor{red}{6}}$.

\item \noindent On sait que $u_{n} = u_{0}\times r^n$ soit ici $u_{n} = 6\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = \boxed{\textcolor{red}{2 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}}}$.

\item $-1<\dfrac{1}{3}<1$ onc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item Produit de deux facteurs supérieurs à zéro, $u_{n}$ est \fbox{\textcolor{red}{supérieur à zéro}}.\\
Or $u_{n }> 0 \iff b_{n} - a_{n} > 0 \iff b_{n}> a_{n}$.\\

\item \textbf{Variations de $a_{n}$:}\\
Quel que soit $n,~a_{n+1} - a_{n} = \dfrac{1}{3}\left(2a_{n} + b_{n}\right) - a_{n} = \dfrac{1}{3}\left(- a_{n} + b_{n}\right) = \dfrac{1}{3}u_{n} > 0$, d'après ci-dessus. On a donc $a_{n+1} - a_{n} > 0 \iff a_{n+1} > a_{n}$.\\
La suite $\left(a_{n}\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}}. \\

\textbf{Variations de $b_{n}$}:\\
On a de m\^eme quel que soit $n, b_{n+1} - b_{n} = \dfrac{1}{3}\left(a_{n} + 2b_{n}\right) - b_{n} = -\dfrac{1}{3}\left(b_n - a_{n}\right) = -\dfrac{1}{3}u_{n} < 0$. \\

On a donc $b_{n+1} - b_{n} < 0 \iff b_{n+1}< b_{n}$.\\
La suite $\left(b_{n}\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}. \\

\textbf{\textcolor{red}{Géométriquement}} : les points A$_{n}$ se placent de gauche à droite, et les points B$_{n}$ de droite à gauche, les premiers étant toujours à gauche des seconds.

\item 
La suite $\left(a_n\right)$ est croissante, majorée par $b_0$  donc convergente vers une limite $\ell$;  

\item la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante et minorée par $a_0$, donc convergente vers une limite $\ell'$.

\item La différence $b_{n} - a_{n} = u_{n} = 2 \times \dfrac{1}{3^{n-1}}$. Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{3^{n-1}} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} b_{n} - a_{n} = 0$. Les deux limites sont égales, donc $\ell=\ell '$.\\

\textbf{ \textcolor{red}{Interprétation  géométrique :}} les points A$_{n}$ (par la gauche) et B$_{n}$  (par la droite) se rapprochent du point I.


\end{enumerate}

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=a_n+b_n$.

\noindent Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=a_n+b_n=8$.\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $a_0+b_0=8$ donc c'est vrai.

\item Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque, donc $a_n+b_n=8$.

\noindent Alors : $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(2a_n+b_n+a_n+2b_n\right)=\dfrac{1}{3}\left(3a_n+3b_n\right)=a_n+b_n=u_n=8$.

\noindent La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
\noindent D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\noindent L'abscisse du milieu de $\left[A_nB_n\right]$ est $\dfrac{a_n+b_n}{2}=\dfrac{8}{2}=4=x_I$ don tous les segments $\left[A_nB_N\right]$ ont pour milieu I.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Optimisation d'une aire} \textcolor{blue}{(5 points)}}%Math'x page 112
\textcolor{red}{\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[-2~;~2]$ par $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$.

On désigne par $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Intervalle d'étude :}}

\noindent %Expliquer pourquoi on peut limiter l'etude de $f$ à l'intervalle $[0~;~2]$.
$\forall x\in[-2~;~2]$, $f(-x)=-f(x)$ donc $f$ est impaire. La courbe $\mathscr{C}$ est donc \textbf{\textcolor{red}{symétrique}} par rapport à O, donc on peut  restreindre l'étude à $[0~;~2]$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Dérivabilité de $\mathbf{f}$ :}}

\begin{enumerate}
\item  %Étudier la dérivabilité de $f$ en 2 et interpréter graphiquement le résultaI obtenu.
Pour tout $x\in[0~;~2[$, $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{f(x)-0}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{4-x^2}}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{(2-x)(2+x)}}{x-2}=-\dfrac{x\sqrt{(2-x)(2+x)}}{2-x}=-\dfrac{x\sqrt{2+x}}{\sqrt{2-x}}$.

\noindent $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}(2-x)=0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}\sqrt{2-x}=\sqrt{0}=0$ avec $\sqrt{2-x}>0$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}x\sqrt{2+x}=4$

\noindent On en déduit que $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=-\infty$. On en déduit que $\mathscr{C}$ a une \textbf{\textcolor{red}{tangente verticale en 2}}.

\item  %Justifier que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~2]$ et calculer sa dérivée. 
$f$ est dérivable sur $[0~;~2[$ comme produit et composée de fonctions dérivables.

$f=u\sqrt{v}$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=4-x^2$ : $f'=u'v+uv'$.

$u'(x)=1$ : $v=\sqrt{w}$ avec $w(x)=4-x^2$ : $v'=\dfrac{w'}{2w}$ donc $v'(x)=-\dfrac{2x}{2\sqrt{4-x^2}}=-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}$.

\noindent On en déduit $f'(x)=1\times \sqrt{4-x^2}+x\times \left(-\dfrac{x}{\dfrac{4-x^2}{}}\right)=\sqrt{4-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\dfrac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\dfrac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\dfrac{2\left(2-x^2\right)}{\sqrt{4-x^2}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2\left(\sqrt{2}-x\right)\left(\sqrt{2}+x\right)}{\sqrt{4-x^2}}}}$.

\item  %Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau 
%de  variation sur $[0~;~2]$.
Comme $\sqrt{4-x^2}$ et $\sqrt{2}+x$ sont strictement positifs, $f'(x)$ est du signe de $\sqrt{2}-x$, donc négatif pour $0\leqslant x\leqslant \sqrt{2}$ et négatif our $\sqrt{2}\leqslant x\leqslant 4$.

\noindent On en déduit le tableau de variation de $f$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\sqrt{2}&&2\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{ƒ(x)}&0&\c&\h{2}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}


\item \textbf{\textcolor{blue}{Représentation graphique de $f$ }}

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.
Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, donc \\
$y=\dfrac{2\left(2-a^2\right)}{\sqrt{4-a^2}}(x-a)+a\sqrt{4-a^2}$.

En prenant $a=0$, on obtient : $y=2x$ ; $T$ a pour équation $\boxed{\textcolor{red}{y=2x}}$

\item %Justifier que, pour tout $x$ de [0~;~2], $f(x)\leqslant 2x$.
$\forall x\in[0~;~2] $, $f(x)-2x=x\sqrt{4-x^2}-2x=x\left[\sqrt{4-x^2}-2\right]\geqslant 0$, car $4-x^2\leqslant 4$ donc $\sqrt{4-x^2}\leqslant \sqrt{4}=2$.

\noindent $\mathscr{C}$ est donc \textbf{\textcolor{red}{en dessous}} de $T$ sur $[0~;~2]$.


%\noindent Tracer $T$ puis $\mathscr{C}$ sur [-2; :2]. 
Pour avoir la courbe sur $[)2~;~2]$, on  trace la courbe sur $[0~;~2]$, puis on complète par symétrie par rapport à O.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.4775264636,-3.87887457479)(7.62187288247,3.48349578202)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.4775264636,-3.87887457479)(7.62187288247,3.48349578202)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-1.999999974152649}{1.9999953879315666}{x*sqrt(4.00000000000-x^(2.00000000000))}
\psplot[linecolor=blue]{-4.4775264636}{7.62187288247}{(-0.--2.*x)/1.}
\uput[u](1.414,2){$\mathscr{C}$}
\uput[r](1.5,3){$T$}
\psline{<->}(0.914,2)(1.914,2)
\psline{<->}(-0.914,-2)(-1.914,-2)
\end{pspicture*}

\end{center}
\end{enumerate}


\item Solutions de l'équation (E) : $f(x)=1$. 


\noindent %Prouver que l'équation $f(x)= 1$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle [-2~;~2].
sur $0~;~\sqrt{2}$, $f$ est continue (produit de fonctions continues), $f(0)=0$ et $f(\sqrt{2})=2$. 1 appartient à l'intervalle [0~;~2]. D'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème des valeurs intermédiaires}},  l'équation $f(x)=1$ admet une solution sur cet intervalle. Comme $f$ est strictement croissante, cette solution est unique.\\
De même sur $[\sqrt{2}~;~0]$ avec $f$ décroissante.

\noindent L'équation $f(x)=1$ a donc deux solutions, $\alpha$ dans $[0~;~\sqrt{2}]$ et $\beta$ dans $[\sqrt{2}~;~0]$.

\noindent %Donner un encadrement de ces reels à $10^{-2}$ près.
À la calculatrice, on obtient $\boxed{\textcolor{red}{0,51<\alpha<0,52}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{1,93<\beta<1,94}}$
\end{enumerate}

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Étude d'une aire}}

\bigskip
Soient $\Gamma$ un cercle de centre O et de rayon 1 et $ABCD$ un rectangle inscrit dans $\Gamma$.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.948180813488,-0.317731246391)(-0.922634420035,0.385675675883)(0.948180813488,0.317731246391)(0.922634420035,-0.385675675883)
\pscircle(0.,0.){3.}
\psline[linecolor=zzttqq](-0.948180813488,-0.317731246391)(-0.922634420035,0.385675675883)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.922634420035,0.385675675883)(0.948180813488,0.317731246391)
\psline[linecolor=zzttqq](0.948180813488,0.317731246391)(0.922634420035,-0.385675675883)
\psline[linecolor=zzttqq](0.922634420035,-0.385675675883)(-0.948180813488,-0.317731246391)
\psline(-0.948180813488,-0.317731246391)(0.948180813488,0.317731246391)
\psline(-0.922634420035,0.385675675883)(0.922634420035,-0.385675675883)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.01424237998,0.0225365216571){\blue{$O$}}
%\rput[bl](-0.503138509455,0.773322323619){$c$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-0.948180813488,-0.317731246391)
\rput[bl](-1.02440948077,-0.327570847134){\xdxdff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.948180813488,0.317731246391)
\rput[bl](0.96342235759,0.341523235444){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-0.922634420035,0.385675675883)
\rput[bl](-0.966058252634,0.403764545451){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.922634420035,-0.385675675883)
\rput[bl](0.986762848843,-0.397592320892){\xdxdff{$D$}}
%\rput[bl](-0.876586369498,0.0342067672835){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](0.0103522981045,0.290952171063){\zzttqq{$b$}}
%\rput[bl](0.870060392579,-0.0280345427237){\zzttqq{$c_1$}}
%\rput[bl](-0.0129881931482,-0.288670028379){\zzttqq{$d$}}
%\rput[bl](0.0181324618554,-0.0552651158519){$e$}
%\rput[bl](-0.0246584387745,-0.0552651158519){$f$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

On pose $AB=x$ et on associe, à ce réel $x$, l'aire $\mathscr{A}(x)$ de ce rectangle $ABCD$.

\begin{enumerate}
\item %Préciser l'intervalle $J$ que peut décrire la variable $x$ et calculer cette aire $\mathscr{A}(x)$.
$x$ appartient à l'intervalle $[0~;~2]$.

\noindent En appliquant le théorème de Pythagore, on trouve $BD=\sqrt{2^2-x^2}=\sqrt{4-x^2}$.

\noindent On en déduit que l'aire $\mathscr{A}(x)$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{A}(x)=x\sqrt{4-x^2}=f(x)}}$.

\item %Déterminer à l'aide des résultats de la partie A :
\begin{enumerate}
\item %pour quelle valeur de $x$ l'aire du rectangle $ABCD$ est maximale ; préciser dans ce cas, la valeur de cette aire et la nature du quadrilatère $ABCD$.
On reconnaît la fonction étudiée dans la partie A, donc l'aire est maximale pour $\boxed{\textcolor{red}{x=\sqrt{2}}}$.

\noindent Pour cette valeur, on a $AB=\sqrt{2}$ et $AD=\sqrt{4-\sqrt{2}^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}}}$ : le rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur : c'est donc un \textbf{\textcolor{red}{carré}}

\item %pour quelle(s) valeur(s) l'aire du rectangle $ABCD$ est égale à 1.
L'aire est égale à 1 pour $\boxed{\textcolor{red}{x=\alpha\text{ et }x=\beta}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  