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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle sur la fonction exponentielle et les exponentielles complexes}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (1,5 point)}}
Simplifier les expressions suivantes :\\
\begin{tabular}{*{3}{p{2cm}}}
$A=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{3x}}$& $B=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^3$& C=$\left(\mathrm{e}^{2}\right)^3\times \mathrm{e}$
\end{tabular}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2,5 points)}}
Résoudre les équations  suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{x}=-2$

\bigskip


\item $\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-4=0$
\end{enumerate}

%\item $\mathrm{e}^{x^2}\leqslant \left(\mathrm{e}^{x}\right)^2$
%
%\bigskip

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
Résoudre soigneusement l'inéquation :  \[\mathrm{e}^{\frac1x}\leqslant \mathrm{e}^{\frac{x}{x+2}}\]


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
Déterminer, en justifiant, les limites suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x+1}$

\bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}(x+1)\mathrm{e}^{-x+1}$

\bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}+1}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)\mathrm{e}^{-x+1}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
\begin{enumerate}

\item Expliquer pourquoi $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}\right)=1$.

\item Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ définie par :\[\left\{\begin{array}{l}f(x)=\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}-1}\text{ si }x\neq 0\\\\f(0)=0\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2 points)}}
On considère la fonction $f:x\mapsto x\mathrm{e}^{x}$, définie sur $\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer limites en $-\infty$ et en $+\infty$ de $f$.

\item Après avoir expliqué pourquoi la fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$, calculer $f'(x)$ puis étudier les variations de $f$.

\item Dresser alors le tableau de variations.

\item Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$.

\end{enumerate}

%\subsection{}
%Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
%\begin{enumerate}[$A= $]
%\item $2\sqrt{3}+6\mathrm{i}$
%
%\bigskip
%
%\item $(1+\mathrm{i}\sqrt{3})^4$
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ (unité = 4 cm).

\noindent On note A, B, C et D les points d'affixes respectives\\
\begin{tabular}{*{3}{p{2cm}}}
a=1&$b=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi 3}$&$c=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item 

Écrivez $c$ sous forme exponentielle.

\item 
\begin{enumerate}
\item 

Placez les points A, B, C dans le repère.

\item Démontrez que OACB est un losange.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Racine n\up{ième} de l'unité\hfill (2 points)}}
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on appelle racine n\up{ième} de l'unité tout nombre complexe tel que $z^n=1$.

On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines n\up{ième} de l'unité.\\
Par exemple : $\mathbb{U}_2=\{-1~;~1\}$.

\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\mathbb{N}^*$ ; démontrer que, pour tout $k\in\mathbb{N}$ avec $0\leqslant k\leqslant n$, $\mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}k\pi}n}$ appartient à $\mathbb{U}_n$.

\item Réciproquement, montrer qu'un nombre complexe vérifiant $z^n=1$ appartient à $\mathbb{U}_n$ (indication : écrire $z$ sous la forme $r\mathrm{e}^{j\theta}$)

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  