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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Contrôle commun TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
18 octovre 2014-2015}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 1 (3 heures)}}\end{center}


%\subsection{}
%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$, \[\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.\]

%\subsection{}
%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 1$, \[\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n}{n+1}.\]

%\subsection{}
%Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $2^n\geqslant (n+1)^2$.

\subsection{}
On considère la suite $v$ définie par $v_0=0$ et $v_{n+1}=v_n+2n+1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\

\begin{enumerate}
\item Calculer les cinq premiers termes de la suite $v$, puis conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

\item Démontrer par récurrence la conjecture précédente.
\end{enumerate}


%\subsection{\textcolor{blue}{}}
%Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite convergeant vers 2.\\
%Montrer que tous les termes de la suite sont positifs à partir d'un certain rang.

\subsection{\textcolor{blue}{}}
Donner, dans chacun des cas suivants, un contre-exemple justifiant l'affirmation :
\begin{enumerate}[a)]
\item Une suite croissante et majorée par 3 ne converge pas nécessairement vers 3.

\item Une suite bornée ne converge pas toujours.

\item Le produit de deux suites divergentes peut-être une suite convergente.

%\item Une suite croissante majorée est bornée.

\end{enumerate}

%\subsection{}
%
%On considère les suites $u$ et $v$ définies par :
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}&=&\dfrac{3}{2}\\
%u_{n+1}&=&\dfrac{-2}{u_{n} - 3}\\
%\end{array}\right. \quad \text{et}~~v_{n} = \dfrac{u_{n} - 2}{u_{n} - 1}.\]
%\begin{enumerate}
%\item  Montrer que, quel que soit $n \in  \mathbb{N}$, on a : $1 < u_{n} < 2$.
%\item  Montrer que la suite $u$ est convergente.
%\item  $v$ est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $v_{0} = -1$.
%\item  Pour tout $n \in  \mathbb{N}$, on a : $u_{n} = 1 + \dfrac{1}{1 + 2^n}$.
% \end{enumerate}

%\subsection{}
%Soit $u$ la suite définie par $u_n=\sum_{i=1}^{i=n}\dfrac{1}{i^2}=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n-2}$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que, pour tout $n>1$, on a $\dfrac{1}{n-2}<\dfrac{1}{n(n-1)}$
%
%\item Montrer que, pour tout $n>1$, $\dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$.
%
%\item Montrer alors que la suite est majorée par 2;
%
%\item Montrer que cette suite est croissante.
%
%\item En déduire qu'elle est convergente vers une limite $\ell\leqslant 2$. (On ne demande pas de calculer cette limite, qui vaut  $\dfrac{\pi^2}{6}$).
%\end{enumerate}

\subsection{}%Bac Métropole septembre 2010
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par  $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$.

\medskip
 
Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
 
On donne en \textbf{annexe}  (\textbf{à rendre avec la copie}) une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
 
Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. 
		\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}%Bac Asie juin 2013
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : 

\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] 
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement supérieurs à 1.

\medskip
 
\begin{enumerate}
%\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$. 
\item  Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ 	définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :

\[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\]
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c |l|}\hline
 Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline 
Initialisation &Affecter à $u$ la valeur 2\\ \hline 
\multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à $n$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\  
&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline 
&FIN POUR\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&1&2& 3\\ \hline 
$u$&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$u$&\footnotesize\numprint{1,0083}&\footnotesize\numprint{0,9973}&\footnotesize\numprint{1,0009}&\footnotesize\numprint{0,9997}&\footnotesize\numprint{1,0001}&\footnotesize \numprint{0,99997}&\footnotesize\numprint{1,00001}&\footnotesize \numprint{0,999996}&\footnotesize \numprint{1,000001}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$. 
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$. 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.  
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}







%\subsection{}%\textcolor{blue}{FESIC 2007}
%On considère la suite $u$  définie par :
%
%$u_{0}=\dfrac{3}{2}$ et $u_{n+1}=\dfrac{-2}{u_{n} - 3}$
%
%\begin{enumerate}
%\item  Quel que soit $n \in  \mathbb{N}$, on a : $1 < u_{n} < 2$
%.
%\item  Étudier les variations de $u$.
%
%\item La suite $u$ est-elle convergente ?
%
%\item  Soit $v$ la suite définie par $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 2}{u_{n} - 1}$.\\
%Montrer que $v$ est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $v_{0} = -1$.
%
%\item  En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
%
%\item En déduire que, pour tout $n \in  \mathbb{N}$, on a : $u_{n} = 1 + \dfrac{1}{1 + 2^n}$.
% \end{enumerate}
% 
%% Corrigé disponible \href{http://laroche.lycee.free.fr/telecharger/TS/fesic/Fesic_2007_corrige.pdf}{ici}
%
%%\subsection{\textcolor{blue}{FESIC 2011}}
%%\begin{enumerate}
%%\item[\textbf{a.}] On suppose que $u$ est une suite réelle croissante.
%% 
%%On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que « quel que soit 
%%
%%$n \in \mathbb{N},\, u_{n}$ est croissant \fg.
%%
%%\medskip
%% 
%%\item[\textbf{b.}] On suppose que $u$ est une suite réelle strictement croissante.
%% 
%%On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que 
%%
%%\og quel que soit $n \in \mathbb{N},\, \left(u_{n}\right)_{n} < \left(u_{n+1}\right)_{n}$ \fg. 
%%\item[\textbf{c.}] On suppose que $u$ et $v$ sont deux suites réelles qui possèdent la même limite.
%% 
%%Alors on a nécessairement : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(v_{n} - u_{n}\right) = 0$. 
%%\item[\textbf{d.}] On suppose que $u$ est une suite réelle.
%% 
%%$u$ est bornée si et seulement si la suite de ses valeurs absolues est majorée. 
%%\end{enumerate}
%
%%\subsection{\textcolor{blue}{FESIC 2012 Exercice 1} }
%%On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B.
%% 
%%Chaque mois, 20\,\% des fourmis de A passent en B et 30\,\% des fourmis de B passent en A.
%% 
%%Au bout d'un nombre de mois égal à $n$, on note $u_{n}$ et $v_{n}$ le nombre total (en milliers de fourmis) de fourmis présentes respectivement dans les fourmilières A et B.
%% 
%%On a dénombré que, initialement, on avait $u_{0} = 320$ et $v_{0} = 180$. 
%%
%%\begin{enumerate}
%%\item[\textbf{a.}] Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :  
%%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}$\left\{\begin{array}{l c l}
%%u_{n+1} &=&\dfrac{4}{5}u_{n} + \dfrac{3}{10}v_{n}\\ 
%%v_{n+1} &=&\dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{7}{10}v_{n}.
%%\end{array}\right.$
%%\renewcommand{\arraystretch}{1} 
%%\item[\textbf{b.}] La suite $s = u + v$ est une suite constante. 
%% \item[\textbf{c.}] La suite $t = -2u + 3v$ est géométrique de raison 1 et vérifie, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :   
%%$t_{n} = \dfrac{-100}{2^n}$. 
%%\item[\textbf{d.}] Quel que soit $n \in \mathbb{N}$, on a : $v_{n} = 200 - \dfrac{20}{2^n}$.  
%%\end{enumerate}
%%\medskip
% 
%\subsection{}%\textcolor{blue}{FESIC 2012 Exercice 2} 
%
%Soit $u$ une suite numérique dont aucun terme n'est nul. On définit la suite $v$ par : $v_{n} = 1 + \dfrac{1}{u_{n}}$.\\
%
%\noindent Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item[\textbf{a.}] Si $u$ est convergente, alors $v$ est convergente. 
%\item[\textbf{b.}] Si $u$ est minorée par $1$, alors $v$ est majorée par $2$. 
%\item[\textbf{c.}] Si $u$ est majorée par $0,5$ alors $v$ est minorée par $3$. 
%\item[\textbf{d.}] On suppose ici que $u$ est définie par : $u_{0} > 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_{n}}{u_{n} + 2}$. Alors $v$ est une suite géométrique.
%\end{enumerate}


%\subsection{}%\textcolor{blue}{FESIC 2013}
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N},\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left( u_{n} - n \right) - 1$. On donne l'algorithme  
%suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline 
%Entrée& $n$ est un entier naturel.\\ 
%Initialisation& $u$ prend la valeur 1 ; $i$ prend la valeur $0$.\\ 
%Traitement& Tant que $i < n$\\ 
%&\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $\dfrac{1}{2}(u - i) - 1$\\ 
%&\hspace{1cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\ 
%&Fin Tant que\\ \hline 
%Sortie &Afficher $u$.\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item[\textbf{a.}] Pour $n = 3$, l'algorithme nous donne le tableau suivant: 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%$n$&$u$		&$i$\\ \hline 
%3 & 1 		&0\\ \hline 
%3 &$- 1/2$	&1\\ \hline 
%3 &$- 7/4$ 	&2\\ \hline 
%3 &$- 23/4$	&3 \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\item[\textbf{b.}] Pour $n = 3$, l'algorithme calcule $u_{3}$.
%
%\medskip
% 
%On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n} = u_{n} + n$.
% \item[\textbf{c.}] La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = 1$. 
%\item[\textbf{d.}] Pour tout $n \in  \mathbb{N},\: u_{n} = \dfrac{1}{2^n} + n$. 
%\end{enumerate}






\subsection{}
Calculer (en justifiant) les limites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(3x^2+5x+1\right)$

\bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{3x^2+3x-1}{2x+3}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\right)$
\bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow -3}\left(\dfrac{x^2-9}{x+3}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x+1+\sin (3x+7)\right)$
\end{enumerate}




\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{2x+\sin x}{x-1}..$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x>1$,  $\dfrac{2x-1}{x-1}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{2x+1}{x-1}.$

\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Bonus}} %Bac année ???
On considère une suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ et telle qu'aucun de ses termes ne soit nul.\\
On définit alors la suite $v$ sur $\mathbb{N}$ par  $v_n=-\dfrac{4}{u_n}$ pour tout $n$.
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
\begin{enumerate}
\item Si la suite $u$ est convergente, alors la suite $v$ est convergente.

\item Si la suite $u$ est minorée par 2, alors la suite $v$ est minorée pâr 2.

\item Si la suite $u$ est décroissante, alors la suite $v$ est croissante.

\item Si la suite $u$ est divergente, alors la suite $v$ admet 0 comme limite.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Annexe à l'exercice IV (\textbf{à rendre avec la copie})}}\end{center}

\begin{center}

\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{4.25}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}



\label{fin}
\end{document}  