\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Contrôle commun \no  4 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
11 avril 2015}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 4 (4 heures)}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Centres étrangers juin 2013
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme 

$u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation  de récurrence : \[u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}.\]

\medskip

\textcolor{blue}{\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }}

\medskip

Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous.

Il a oublié de compléter deux lignes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\
\hline
Initialisation &Affecter à  $n$ la valeur 1\\
&Affecter à  $u$ la valeur 1,5 \\
\hline
Traitement &Tant que $n<9 $\\
&\hspace*{1cm}Affecter à  $u$ la valeur \dots\\ 
&\hspace*{1cm}Affecter à  $n$ la valeur \dots\\
%\hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie&Afficher la variable $u$ \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. 
\item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à  $u_{9}$ ? 
\item  Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n &1&2 &3 &4 &5  \\
\hline
$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &\numprint{0,2063}  \\
\hline
\hline
n&6 &\multicolumn{1}{c}{\dots}&&99 &100\\
\hline
$u_n$&\numprint{0,1693}&\multicolumn{1}{c}{\dots}&&\numprint{0,0102} &\numprint{0,0101}\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Partie B - Étude mathématique}}

\medskip

On définit une suite\index{suite} auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item Justifier que, pour tout entier $n\geqslant 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Partie C - Retour à  l'algorithmique }}

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$. 

\subsection{}%Asie septembre 2011
Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \og À quel niveau est votre bureau ? \fg 
\item[$\bullet~~$] \og Empruntez-vous l'ascenseur ou l'escalier pour vous y rendre ? \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Voici les réponses :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 225 personnes utilisent l'ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1\up{er} niveau, 75 vont au 2\up{e} niveau et 100 vont au 3\up{e} niveau. 
\item[$\bullet~~$]Les autres personnes utilisent l'escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2\up{e} niveau, les autres vont au 1\up{er} niveau.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard une personne de cette population.
 
On pourra considérer les événements suivants :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item N$_{1}$ : \og La personne va au premier niveau. \fg 
\item N$_{2}$ : \og La personne va au deuxiéme niveau. \fg 
\item N$_{3}$ : \og La personne va au troisiéme niveau. \fg
\item E\phantom{$_{1}$} : \og La personne emprunte l'escalier. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que la personne aille au 2\up{e} niveau par l'escalier est  
égale à $\dfrac{1}{12}$.  
		\item Montrer que les événements N$_{1}$, N$_{2}$ et N$_{3}$ sont équiprobables. 
		\item Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2\up{e} niveau.
	\end{enumerate} 
\item On interroge désormais 20~personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20~personnes interrogées, associe le nombre de 
personnes allant au 2\up{e}	niveau. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Déterminer, à $10^{-4}$ prés, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2\up{e} niveau. 
		\item En moyenne sur les 20~personnes, combien vont au 2\up{e} niveau?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
 
Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'événement \og au moins un personne va au 2\up{e} niveau \fg soit supérieure ou égale à $0,99$. 
\end{enumerate}



\newpage
\subsection{\emph{\textcolor{blue}{Pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité}}
}%Asie juin 2013

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par : 

\[f(x) = \text{e}^x \quad  \text{et}\quad  g(x) = 1 - \text{e}^{- x}.\]
 
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, sont fournies en annexe.
\label{courbes}
\bigskip
 
\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}

\medskip
  
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe. 

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}

\medskip 

Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes. 

On note $\mathcal{D}$ l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $a$ et tangente à  la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B d'abscisse $b$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A. 
		\item Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à  la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B. 
		\item En déduire que $b = - a$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que le réel $a$ est solution de l'équation 

\[2( x -1)\text{e}^x + 1 = 0.\]

\end{enumerate} 
\bigskip
 
\textbf{\textcolor{blue}{Partie C}}

\medskip
 
On considère la fonction $\varphi$ définie sur  $\mathbb{R}$ par 

\[\varphi(x) = 2(x -1)\text{e}^x + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$. 
		\item Calculer la dérivée de la fonction $\varphi$, puis étudier son signe. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $\varphi$ sur $\mathbb{R}$. Préciser la valeur de $\varphi(0)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$. 
		\item On note $\alpha$ la solution négative de l'équation $\varphi(x) = 0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation.
		 
à€ l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textcolor{blue}{Partie D}}

\medskip
Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B.
 
On note E le point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\alpha$ et F le point de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $- \alpha$ ($\alpha$ est le nombre réel défini dans la partie C).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (EF) est tangente à  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point E. 
\item Démontrer que (EF) est tangente à  $\mathcal{C}_{g}$ au point F. 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{III} \emph{\textcolor{blue}{Pour les élèves  suivant  l'enseignement de spécialité}}}
Les nombres de Mersenne sont les nombres de la forme $M_p=2^p-1$, avec $p$ nombre premier.

Dans cet exercice, on va étudier des critères permettant de déterminer lesquels de ces nombres peuvent ou ne peuvent pas,être premiers.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : condition nécessaire}}

\begin{enumerate}
\item Calculer $M_2$, $M_3$, $M_5$ et $M_7$.

\item Justifier que $M_7$ est premier.

\item On étudie $M_n=2^n-1$, avec $n$ entier naturel non premier. On suppose que $d$ est un diviseur propre de $n$ et que $x$ est un entier strictement supérieur à 1.
\begin{enumerate}
\item 

Exprimer en fonction de $x$ et de $n$ la somme $1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{n-1}$.

\item E déduire que $x^n-1$ est divisible par $x-1$.

\item Montrer que $M_n$ est divisible par $2^d-1$ (on pourra s'inspire de ce qui précède, en remarquant que $2^n=\left(2^d\right)^\frac{n}{d}$).
\end{enumerate}

\item En déduire une condition nécessaire pour que $M_n$ soit premier.

\item Cette condition est-elle suffisante ? (On pourra étudier le cas de $M{11}$).

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : un théorème de Fermat pour limiter les calculs}}

\bigskip
On admet le théorème suivant :

\bigskip

\fbox{\begin{minipage}{16cm}
Un diviseur premier positif d'un nombre de Mersenne $M_p$ avec $p$ premier impair est toujours de la forme $2\alpha p+1$ avec $\alpha$ entier naturel.
\end{minipage}}


\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème donné dans l'encadré, montrer que pour étudier $M_13$, il suffit de tester si ce nombre est divisible par 53 et 79.

\item En déduire que $M_{13}$ est premier.

\item Étudier de même la primalité de $M_{11}$.
\end{enumerate}


\newpage

\subsection{}%Centres étrangers juin 2013

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~1]$ par : 

\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ 1]$, $g(x) >0$.

\medskip

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d'autre part entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 $.\\
 La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-contre.

\begin{center}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.5,2.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\def\f{1+EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
\def\inf{0} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}
\uput[u](0.5,1){$\mathscr{D}$}
\uput[d](1.2,0){$x$}
\uput[l](0,2){$y$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à  l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à  l'axe des abscisses (partie B).

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Partie A}}

\medskip

Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$.\\
On note $\mathscr{A}_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe $(Ox)$,les droites d'équation $x = 0$ et $x =a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = 1$.\\ 
$\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d'aire. 
\begin{center}

\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.4,2.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\def\f{1+EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
\def\inf{0} \def\sup{0.4}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\def\inf{0.4} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange, hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\psline(0.4,0)(0.4,2)
\uput[u](0.2,1){$\mathscr{A}_{1}$}
\uput[u](0.6,1){$\mathscr{A}_{2}$}
\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}
\uput[d](0.4,0){$a$}
\uput[d](1.2,0){$x$}
\uput[l](0,2){$y$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\mathscr{A}_{1}= a - \mathrm{e}^{-a} + 1$.
		\item Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$ par : 

\[f(x) =2x - 2\,\mathrm{e}^{- x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$. 
		\item Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $[0~;~1]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
\end{enumerate}

\textcolor{blue}{\textbf{Partie B}}

\medskip

Soit $b$ un réel positif.

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $y=b$. On admet qu'il existe un unique réel $b$ positif solution. 
\begin{enumerate}
\item Justifier l'inégalité $b<1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. On pourra utiliser un argument graphique. 
\item Déterminer la valeur exacte du réel $b$. 
\end{enumerate}


\end{multicols}

%\end{multicols}

\newpage
\begin{center}
\textcolor{blue}{ANNEXE À L'EXERCICE \ref{courbes} (à rendre avec la copie)}
\end{center}


\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3.5)(5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.5}{1.55}{2.71828 x exp}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{5}{1 2.71828 x neg exp sub}
\uput[dr](0,0){O}
\rput(1.4,3.5){$\mathcal{C}_{f}$}
\rput(2.2,1){$\mathcal{C}_{g}$}
\end{pspicture*}
\vspace{0,5cm}
\end{center}


\label{fin}
\end{document}  