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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices sur les arguments}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Déterminer les modules et arguments des nombres complexes :
\begin{enumerate}[$a=$]
\item $(-1+\mathrm{i})^2$

\item $(1-\mathrm{i})^5$

\item $\dfrac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2+2\mathrm{i}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)^n$ soit 
\begin{enumerate}[a)]
\item réel ?

\item imaginaire pur ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\theta$ un réel. Écrire sous forme trigonométrique les nombres :

\begin{enumerate}[$A=$ ]
\item $\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta$

\item $-\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{d'après le livre math'x}}
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes :\[z_A=-1-\mathrm{i}~;~z_B=3\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)~;~z_c=7-\mathrm{i}.\]
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.

\item Déterminer la nature du triangle $ABC$.

\item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un carré.

\item Soient $I$ le point d'affixe $z_I=3-\mathrm{i}$ et $\Gamma$ (Gamma) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan tels que $\vert z-3+\mathrm{i}\vert=4$.
\begin{enumerate}
\item Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent-ils à $\Gamma$ ?

\item Quelle est la nature de $\Gamma$ ? Construire cet ensemble.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Sud  novembre 2011}}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation 

\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]

\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2~cm. 

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où :
 
\[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. 

		\item Calculer 	$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$	et donner le résultat sous forme algébrique. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. 
\item Construire les points C et D dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Expliquer la construction proposée.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2011}}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.
 
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}, \:z_{\text{B}} = \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$.

On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$. 
\item En déduire la nature du triangle ABC.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : 

\[z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \]

\begin{enumerate}
\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point D$'$ image du point D par $f$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i. 
		\item Démontrer que E est un point de la droite (AB).
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point B, O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$. 
\item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité :

\[\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{O}M'} \right) = \left(\overrightarrow{\text{B}M},~\overrightarrow{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près}.\] 

\item Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ 
appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
\item Démontrer que si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $M$ appartient à la droite (AB).
\end{enumerate}


\end{multicols}


\newpage
Correction :\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-8.)(8.,6.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.,-1.)(3.,3.)(7.,-1.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!50,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.,-1.)(3.,3.)(7.,-1.)(3.,-5.)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.,-1.)(3.,3.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,3.)(7.,-1.)
\psline[linecolor=zzttqq](7.,-1.)(-1.,-1.)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.,-1.)(3.,3.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,3.)(7.,-1.)
\psline[linecolor=zzttqq](7.,-1.)(3.,-5.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,-5.)(-1.,-1.)
\pscircle(3.,-1.){4.}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.,-1.)
\rput[bl](-0.92,-0.88){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,3.)
\rput[bl](3.08,3.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,-1.)
\rput[bl](7.08,-0.88){\blue{$C$}}
\rput[bl](1.22,0.78){\zzttqq{$c$}}
\rput[bl](4.76,0.78){\zzttqq{$a$}}
\rput[bl](3.,-0.66){\zzttqq{$b$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,-5.)
\rput[bl](3.08,-4.88){\blue{$D$}}
\rput[bl](1.22,0.78){\zzttqq{$a_1$}}
\rput[bl](4.76,0.78){\zzttqq{$b_1$}}
\rput[bl](4.76,-2.76){\zzttqq{$c_1$}}
\rput[bl](1.22,-2.76){\zzttqq{$d$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,-1.)
\rput[bl](3.08,-0.88){\blue{$I$}}
\rput[bl](1.,2.02){$e$}
\end{scriptsize}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-8.)(8.,6.)

\end{pspicture*}


\subsection*{\textcolor{blue}{Amérique du Sud  novembre 2011}}

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\C$ l'équation 

%\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]
Soit l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$.\\
$\Delta=-16<0$ ; l'équation a deux solutions complexes conjuguées.\\
$z_1=\dfrac{2-\mathrm{i}\sqrt{16}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{1-2\mathrm{i}}}$ et $z_2=\overline{z_1}=\boxed{\textcolor{red}{1+2\mathrm{i}}}$.
\item %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. 

%On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où :
 
%\[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 
Voir la figure ci-dessous.
		\item %Calculer 	$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$	et donner le résultat sous forme algébrique.
$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}} = \dfrac{1 - 2\text{i}- 1 - \sqrt{3} - \text{i}}{1 + 2\text{i} - 1 - \sqrt{3} - \text{i}} \dfrac{- 3\text{i} - \sqrt{3}}{\text{i} - \sqrt{3}} =\dfrac{-3\mathrm{i}-\sqrt{3}}{\mathrm{i}-\sqrt{3}}$

$ \dfrac{\left(- 3\text{i} - \sqrt{3} \right)\left(\text{i} + \sqrt{3} \right)}{\left(\text{i} - \sqrt{3} \right)\left(\text{i} + \sqrt{3} \right)} = \dfrac{3 - 3\text{i}\sqrt{3} - 3 - \text{i}\sqrt{3}}{\text{i}^2 - 3} = \dfrac{-4\text{i}\sqrt{3}}{- 4} \\
=\boxed{\textcolor{red}{ \text{i}\sqrt{3}}}$. \\
On pouvait aussi \og{}deviner\fg{} qu'on pouvait factoriser, car on devine, après que nous avons tracé la figure, que le triangle est  rectangle, donc que le nombre cherché est imaginaire pur, donc doit pouvoir se simplifier.\\
En effet : $\dfrac{-3\mathrm{i}-\sqrt{3}}{\mathrm{i}-\sqrt{3}}=\dfrac{\mathrm{i}\sqrt{3}\left[\mathrm{i}-\sqrt{3}\right]}{\mathrm{i}-\sqrt{3}}=\mathrm{i}\sqrt{3}$.

		\item %En déduire la nature du triangle ABC.
$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}} = \text{i}\sqrt{3}$ (imaginaire pur) : cette égalité montre qu'un argument du quotient est égalà $\dfrac{\pi}{2}$, soit $\boxed{\textcolor{red}{\left(\overrightarrow{\text{CB}},~\overrightarrow{\text{CA}} \right) = \dfrac{\pi}{2}}}$.

\textbf{Conclusion :} le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en C. (non isocèle car CB $= \sqrt{3}$CA)
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon.
Le triangle ABC est rectangle d'hypoténuse [AB] ; il est donc \textbf{inscrit} dans un cercle $\Gamma$ de centre le milieu de [AB] soit le point d'affixe $1$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$AB = 2.

Dans la symétrie autour de l'axe $\left(\text{O},~\overrightarrow{u}\right)$ les points A et B sont symétriques de même que les points C et D puisque leurs affixes sont conjuguées.

Le symétrique du triangle ABC est donc le triangle BAD. La symétrie étant une \textbf{isométrie}, c'est-à-dire une transformation qui conserve les longueurs et donc les angles, le triangle BAD est lui aussi rectangle en D donc inscrit dans le même cercle $\Gamma$  centré au milieu de [AB] et de rayon 2. \\
Sinon, on calcule le nombre $\dfrac{z_B-z_Z}{z_A-z_D}$. un argument vaut $\dfrac{\pi}{2}$ et correspond à l'angle orienté $\left(\overrightarrow{DA}~;~\overrightarrow{DB}\right)$.

\item %Construire les points C et D dans le repère \Ouv. Expliquer la construction proposée.
C est le point dont l'affixe a une partie réelle positive, intersection du cercle précédent $\Gamma$  et de la droite d'équation $y = 1$.idem pour D avec la droite d'équation $y = - 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
\psdots(1,2)(1,-2)(2.732,1)(2.732,-1)
\uput[ur](1,2){A} \uput[dr](1,-2){B} \uput[ur](2.732,1){C} \uput[dr](2.732,-1){D}
\pspolygon[linecolor=blue](1,2)(1,-2)(2.732,1)
\pspolygon[linecolor=blue](1,2)(1,-2)(2.732,-1)
\pscircle[linecolor=red,linestyle=dashed](1,0){2}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,1)(3,1)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,-1)(3,-1)
\uput[dr](2,-1.7){$\Gamma$}  
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2011}}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$.
$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}} = \dfrac{\text{i} - 2 + 3\text{i}}{ 6 - \text{i} - 2 + 3\text{i}} = \dfrac{- 2 + 4\text{i}}{4 + 2\text{i}} = \dfrac{-1 + 2\text{i}}{2 + \text{i}} \\
= \dfrac{(- 1 + 2\text{i})(2 - \text{i})}{(2 + \text{i})(2 - \text{i})} = \dfrac{- 2 + 2 + \text{i} + 4\text{i}}{4 +1} = \dfrac{5\text{i}}{5} =\boxed{\textcolor{red}{ \text{i}}}$. 

\item %En déduire la nature du triangle ABC.
Le résultat précédent $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}= \text{i}$ donne  \\
$\dfrac{AB}{AC}=\left|\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}\right|=|\mathrm{i}|=1$, ce qui signifie que $\boxed{\textcolor{red}{\text{AB}=\text{AC}}}$ et \\
$\left( \overrightarrow{AC}~;~\overrightarrow{AB}\right)=\arg\left(\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}\right)=\arg(\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}$ donc B est l'image de C dans le quart de tour direct de centre A (rotation) : le triangle ABC est donc \textbf{\textcolor{red}{rectangle et isocèle}} en A.

\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : 
%
%\[z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \]

\begin{enumerate}
\item %Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point D$'$ image du point D par $f$.
On a $z_{\text{D}'} =  \dfrac{\text{i}(1 - \text{i} - 2 + 3\text{i})} {1 - \text{i} - \text{i}}  = \dfrac{\text{i}(2\text{i} - 1)}{1 - 2\text{i}} = \dfrac{- \text{i}(1 - 2\text{i})}{1 - 2\text{i}} =\boxed{\textcolor{red}{ - \text{i}}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i.
Il faut résoudre dans $\mathbb{C} \setminus \{\text{i}\}$, l'équation :

$z' = 2\text{i} \iff  \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} = 2\text{i} \iff \dfrac{z - 2 + 3\text{i}}{z - \text{i}} = 2 \iff $

$z - 2 + 3\text{i} = 2(z - \text{i}) \iff - 2 + 3\text{i} + 2\text{i} = z \iff z = - 2 + 5\text{i}$. Donc $\boxed{\textcolor{red}{z_{\text{E}} = - 2 + 5\text{i}}}$.
		\item %Démontrer que E est un point de la droite (AB).
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{AE}}$ est $- 2 + 5\text{i} - 2 + 3\text{i} = - 4 + 8\text{i}$.

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ est $\text{i} - 2 + 3\text{i} = - 2 + 4\text{i}$.

On a la relation de colinéarité : $\overrightarrow{\text{AE}} = 2\overrightarrow{\text{AB}}$, donc les points A, B et E sont \textbf{alignés} (on peut même plus précisement dire que E est le symétrique de A autour de B.
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point B, O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$.
Pour $z \neq \text{i}$, on a :  $z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \iff z' = \dfrac{\text{i}\left(z - z_{\text{A}}\right)}{z - z_{\text{B}}} \quad (1)$, d'où, en prenant les modules des deux membres,\\
\fbox{\textcolor{red}{O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$}} avec $z \neq \text{i}$ ou encore $M$ distinct de B.
\item %Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité :
De même en prenant les arguments des deux membres de l'équation (1), on obtient  :

\[\boxed{\textcolor{red}{\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{O}M'} \right) = \left(\overrightarrow{\text{B}M},~\overrightarrow{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près}.}}\] 

\item %Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors A$M$ = B$M$ ; le résultat de la question 3. donne alors :

O$M' = 1 \iff M'$ \:appartient au cercle  de centre O et de rayon 1 (cercle trigonométrique). 

\item %Démontrer que si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $M$ appartient à la droite (AB).
Si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{O}M'} \right) = \dfrac{\pi}{2}~[\pi]$ et en utilisant le résultat de la question 4. on a alors :

$\dfrac{\pi}{2} = \left(\overrightarrow{\text{B}M},~\overrightarrow{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:\pi\:\text{près} \iff \left(\overrightarrow{\text{B}M},~\overrightarrow{\text{A}M} \right) = 0 \:\text{à}\:\pi\:\text{près}$, ce qui signifie que les points A, B et $M$ sont alignés.
\end{enumerate}


\end{multicols}\label{fin}
\end{document}  