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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS TD sur les suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour $n\geqslant 1$ par \[u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}.\]
\begin{enumerate}
\item Soit $n\geqslant 1$. Justifier que, pour tout $k$ avec $1\leqslant k\leqslant n$, on a : $\dfrac{1}{\sqrt{k}}\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

\item En déduire que, pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_{n}\geqslant n$.

\item En déduire la limite de la suite $\left(_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $(u_{n})$ définie par : 
$u_{0}=2$ ; $u_{1}=4$ ; $u_{n+1}=4u_{n}-u_{n-1}$ pour tout $n\geqslant 1$

\begin{enumerate}
\item  Trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que : $a+b=4$ et $ab=1$

\item On note $(v_{n})$ la suite définie par : $v_{n}=u_{n+1}-au_{n}$. \\
Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison b.

\item On note $(w_{n})$ la suite définie par : $w_{n}=u_{n+1}-bu_{n}$. 
Démontrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique de raison a.

\item Expliciter $v_{n}$ et $w_{n}$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression explicite de $u_{n}$ en fonction de $n$.

\end{enumerate}


\end{multicols}
%\subsection{Polynésie juin 2013 }
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}$.
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item  Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
%
%
%\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} $. 
%\end{enumerate}
%
%
%
%\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} < 1$. 
%
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. 
%
%
%\item  Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
%
%\end{enumerate}
%
%
%\item Soit$\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \dfrac{ u_{n}}{1-u_{n}}$.
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 3. 
%
%
%\item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_{n}$ en fonction de $n$. 
%
%
%
%\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1}$.
%
%
%\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
%
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}


\subsection{Polynésie juin 2014}
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par 

\[u_{0} = 0\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item On considère les deux algorithmes suivants : 

\medskip

\hspace*{-1cm}
{\footnotesize
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l X|l X|}\hline
\textbf{Algorithme 1}&	&\textbf{Algorithme 2}&\\ \hline
\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel&\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel\\  
&$u$ est un réel &	&$u$ est un réel \\
\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$&\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$\\
\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur 0&\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur $0$\\
 &Pour $i$ allant de $1$ à $n$: && Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :\\
&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$&&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$\\
& Fin Pour&	&Fin Pour\\
\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$&\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}}
 
\medskip
 
De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ? 
\item À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée. 

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline
n &u_{n}\\ \hline 
0& 0  \\ \hline 
1& 2  \\ \hline  
2& 6  \\ \hline  
3& 12  \\ \hline  
4& 20 \\ \hline  
5& 30  \\ \hline  
6& 42  \\ \hline  
7& 56  \\ \hline  
8& 72  \\ \hline  
9& 90  \\ \hline  
10& 110\\ \hline  
11& 132\\ \hline  
12& 156\\ \hline
\end{array}$} \hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0375cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,170)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(13,170)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(1,2)(2,6)(3,12)(4,20)(5,30)  (6,42)  (7,56)  (8,72)  (9,90)  (10,110)(11,132)(12,156)
\end{pspicture}}

\medskip 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		 
Démontrer cette conjecture. 
		\item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$.
		 
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies. 
	\end{enumerate}
\item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
		\item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. 

Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2)$. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  