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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de révision 18 avril 205}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle-Calédonie mars 2012}}

\medskip

On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

L'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule noire.
 
L'urne $U_{2}$ contient trois boules rouges et deux boules noires.
 
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{1}$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{2}$.
 
On considère les évènements suivants :
 
$A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg 

$B$ : \og obtenir une boule noire \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$. 
		\item Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé. 
	\end{enumerate}
\item On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item On donne le tableau suivant: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$k$& 1 &2 &3 &4 &5  \\ \hline 
$P(X < k)$ &\numprint{0,0091}&\numprint{0,0637}  &\numprint{0,2110} &\numprint{0,4467} &\numprint{0,6943}  \\ \hline\hline
$k$&6&7 &8 &9 &10\\
\hline
$P(X < k)$ &\numprint{0,8725}&\numprint{0,9616} &\numprint{0,9922}& \numprint{0,9990}&\numprint{0,9999}\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Soit $N$ un entier compris entre 1 et 10. On considère l'évènement : \og la personne gagne au moins $N$ parties \fg.
 
À partir de quelle valeur de $N$ la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à $\dfrac{1}{10}$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2015}}
Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles.

À la sortie de fabrication, 5\,\% d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients.

On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à \numprint{1000}~heures. On observe que 2\,\% des puces livrées ont une durée de vie courte.

On note $L$ l'évènement \og La puce est livrée \fg.

On note C l'évènement \og La puce a une durée de vie courte c'est-à-dire inférieure ou égale à \numprint{1000}~heures \fg.

Étant donné deux évènements $A$ et $B$, on note $P_A(B)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur $P_L(C)$.
		\item Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à \numprint{1000}~heures?
		\item Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ?
	\end{enumerate}

\medskip
			
\emph{Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.}

\medskip

\item On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce.

On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{\numprint{1000}}$.
		\item Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 
		
		\numprint{10000}~heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
		\item Calculer $P(\numprint{20000} \leqslant X \leqslant \numprint{30000})$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On
suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée
de vie courte est égale à $0,003$.
	
On prélève au hasard \numprint{15000}~puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de
\numprint{15000}~puces revient à effectuer un tirage avec remise de \numprint{15000}~puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées.
	
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet
échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = \numprint{15000}$ et 
		
$p = 0,003$.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.
		\item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


%\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2011}}
%
%\medskip
%
%On admet que la durée de vie (exprimée en années) d'un certain type de capteur de lumière peut Ítre modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ strictement positif), c''est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l'année $t$ ($t$ positif) s'exprime par : 
%
%\[F(t) = p(X \leqslant t) = p([0~;~t]) = \int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Restitution organisée de connaissances
% 
%Pré-requis : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $p_{B}(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$ (où $A$ et $B$ sont deux évènements tels que $p(B)\neq  0$) ; 
%		\item $p\left(\overline{A}\right) = 1 - p(A)$ (où $A$ est un évènement) ; 
%		\item $p([a~;~b]) = F(b)- F(a)$ (où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs tels que $a \leqslant  b$).
%		
%		\medskip 
%
%Démontrer que, pour tout nombre réel positif $s$, on a : 
%
%\[p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s]) = \dfrac{F(t + s) - F(t)}{1 - F(t)},\] 
%
%et que $p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s])$ est indépendant du nombre réel $t$.
%
%\medskip
% 
%\emph{Pour la suite de l'exercice, on prendra} $\lambda = 0,2$.
%	\end{enumerate} 
%\item Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deux premières années est égale à $\text{e}^{- 0,4}$. 
%\item Sachant que le capteur n'est pas tombé en panne au cours des deux premières années, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ? 
%\item On considère un lot de 10~capteurs, fonctionnant de manière indépendante.
% 
%Dans cette question, les probabilités seront \textbf{arrondies à la sixième décimale}. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait exactement deux capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deux premières années. 
%		\item Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un capteur qui ne tombe pas en panne au cours des deux premières années.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2011}}

\medskip

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. 

On admet que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité qu'il gagne la première partie est de $0,1$ ; 
\item[$\bullet~~$] s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,8$ ; 
\item[$\bullet~~$] s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,6$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] G$_{n}$ l'évènement \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $p_{n}$ la probabilité de l'évènement G$_{n}$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}	
	 
On a donc $p_{1} = 0,1$.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_{2} = 0,62$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. 
\item Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. 
\item Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}$. 
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 

$p_{n} = \dfrac{3}{4}  - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on : $\dfrac{3}{4} - p_{n} < 10^{-7}$ ? 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2012}}

On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 

\[I_{n} = \int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x\quad \text{et} \quad  J_{n} = 	\int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par 

\[f_{n}(x) =  \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\]

pour différentes valeurs de $n$ : 

\medskip

\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(1.1,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.,-0.0)(1.1,1.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=10](0,0)(1.1,1.2)
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{1}{1 1 x add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 x add div}
\uput[u](0.9,0.53){$f_{0}$}\uput[u](0.9,0.22){$f_{1}$}\uput[u](0.9,0.1){$f_{2}$}\uput[u](0.9,0.02){$f_{3}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche. 
		\item  Démontrer cette conjecture.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] : 

\[0 \leqslant 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\leqslant \text{e}^{- nx}.\]

		\item Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

\item Soient deux fonctions dérivables sur un un intervalle $I$. Montrer que $uv'=(uv)'-u' v$.
		\item En posant $u(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{-nx}$, montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ : 
		
\[I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right).\]
		
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nI_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2012}}
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
g(x) = 2x^3-1+2\ln x
\]
\begin{enumerate}
\item étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$. Donner une valeur approchée de $\alpha$, arrondie au centième.
\item En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
f(x)=2x-\frac{\ln x}{x^2}
\]
On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal $(O\,;\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Démontrer que la courbe $\mathcal C$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$.

étudier la position relative de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $\Delta$.
\item Justifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe $\mathcal C$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$. On prendra comme unités: 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que cette aire, exprimée en cm$^2$, est donnée par:
\[
I_n = 2\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x.
\]
\item \begin{enumerate}
\item On pose $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x^2}$.\\
En utilisant la formule $uv'=(uv)'-u'v$,  calculer l'intégrale $\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$.

\item En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Calculer la limite de l'aire $I_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2012}}
%On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.
%
%L'une $U_1$ contient 4 jetons numérotés de 1 à  4.
%
%L'urne $U_2$ contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
%
%Un jeu consiste à  tirer un jeton de l'urne $U_1$, à  noter son numéro, puis à  tirer simultanément de l'urne $U_2$ le nombre de boules indiqué par le jeton.
%
%On considère les événements suivants:
%\begin{description}
%\item[$J_1$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 1\fg
%\item[$J_2$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 2\fg
%\item[$J_3$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 3\fg
%\item[$J_4$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 4\fg
%\item[$B$] \og toutes les boules tirées de l'urne $U_2$ sont blanches\fg
%\end{description}
%\emph{On donnera tous les résultats sous la forme d'une fraction irréductible sauf dans la question} \textbf{4.b)} \emph{où une valeur arrondie à  $10^{-2}$ suffit.}
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $P_{J_1}(B)$, probabilité de l'événement $B$ sachant que l'événement $J_1$ est réalisé.
%
%Calculer de même la probabilité $P_{J_2}(B)$.
%
%On admet dans la suite les résultats suivants:
%\[
%P_{J_3}(B)=\frac{1}{30}\quad\text{et}\quad P_{J_4}(B)=\frac{1}{210}
%\]
%\item Montrer que $P(B)$, probabilité de l'événement $B$, vaut $\dfrac{1}{7}$. On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
%\item On dit à  un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3?
%\item On joue 10 fois de suite à  ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note $N$ la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.
%\begin{enumerate}
%\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $N$?
%\item Calculer la probabilité de l'événement $(N=3)$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2014}}
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel $x$ de la façon suivante : 	

r
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $x = 0$ pour le blanc ; 
\item[$\bullet~~$] $x = 1$ pour le noir; 
\item[$\bullet~~$] $x = 0,01 \:;\: x = 0,02$ et ainsi de suite jusqu'à $x = 0,99$ par pas de $0,01$ pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.
 
Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites \og fonctions de retouche \fg.
 
Une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] est dite \og fonction de retouche \fg{} si elle possède les quatre propriétés suivantes : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f(0) = 0$ ; 
\item[$\bullet~~$] $f(1) = 1$ ; 
\item[$\bullet~~$] $f$ est continue sur l'intervalle [0~;~1] ; 
\item[$\bullet~~$] $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Une nuance codée $x$ est dite assombrie par la fonction $f$ si $f(x) > x$, et éclaircie, si $f(x) < x$.
 
Ainsi, si $f(x) = x^2$, un pixel de nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée

 $0,2^2 = 0,04$. L'image A sera transformée en l'image B ci-dessous. 
 
Si $f(x) = \sqrt{x}$, la nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée $\sqrt{0,2} \approx 0,45$. L'image A sera transformée en l'image C ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,20}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!40](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,40}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!60](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,60}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!80](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,80}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!4](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,04}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!16](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,16}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!36](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,36}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!64](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,64}
\end{pspicture}
&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!45](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,45}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!63](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,63}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!77](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,77}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!89](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,89}
\end{pspicture}\\
Image A& 
Image B& 
Image C
\end{tabularx}
\end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f_{1}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{1}(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f_{1}$ est une fonction de retouche. 
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f_{1}(x) \leqslant x$, à l'aide du graphique ci-dessous, en faisant apparaître les pointillés utiles. 
\begin{center}
\psset{unit=5.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.2)(1.25,1.2) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.4,-0.2)(1.25,1.2)
\psframe(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul sub 3 x mul add}
\end{pspicture} 

\end{center}
Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f_{2}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{2}(x) = \ln [1 + (\text{e} - 1)x].\]
 
On admet que $f_{2}$ est une fonction de retouche. 

On définit sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $g$ par : $g(x) = f_{2}(x) - x$. 
		
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] : $g'(x) = \dfrac{(\text{e} - 2) - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x}$ ;  
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~1]. 
\index{maximum d'une fonction}
Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1}$, maximum dont une valeur arrondie au centième est $0,12$. 
		\item Établir que l'équation $g(x) = 0,05$ admet sur l'intervalle [0~;~1] deux solutions $\alpha$ et $\beta$, 
avec $\alpha < \beta$.
 
On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale 
à $0,05$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans l'algorithme décrit ci-dessous, $f$ désigne une fonction de retouche.
 
Quel est le rôle de cet algorithme ?\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.78\linewidth}{|l X|} \hline
\textbf{Variables :}& 	$x$ (nuance initiale)\\ 
&$y$ (nuance retouchée) \\
&$E$ (écart)\\ 
&$c$ (compteur)\\
& $k$\\ 
\textbf{Initialisation :}& 	$c$ prend la valeur $0$\\ 
\textbf{Traitement :}& 	Pour $k$ allant de 0 à 100, faire\\
&\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
$x$ prend la valeur $\frac{k}{100}$\\ 
$y$ prend la valeur $f(x)$\\ 
$E$ prend la valeur $|y - x|$
\end{tabular}\\
	&\hspace{2cm}\begin{tabular}{l} 
	Si $E \geqslant 0,05$, faire\\ 
\quad $c$ prend la valeur $c + 1$\\
Fin si
\end{tabular}\\ 
&Fin pour\\
\textbf{Sortie :}& Afficher $c$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction $f_{2}$ définie dans la deuxième question de la \textbf{partie A} ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche $f$ dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-a-dire telles que, 
pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) \leqslant  x$.
 
On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire $\mathcal{A}_{f}$ de la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses, la 
courbe représentative de la fonction $f$, et les droites d'équations  respectives $x = 0$ et $x = 1$.


Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image ~ celle correspondant à la plus petite aire. 
On désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet 
qu'elles sont des fonctions de retouche : 
\begin{center}
\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\psline(1,0)(0,0)}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}

\end{center}
 
\[f_{1}(x) = x \text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)}\qquad  
f_{2}(x) = 4x - 15 + \dfrac{60}{x+4}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}_{f_{1}}$.
		\item Calculer $\mathcal{A}_{f_{2}}$
	\end{enumerate} 
\item De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ? 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2014}}
On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:\index{complexes et suite}

\[z_{n+1} = (1 + \mathrm{i})z_n.\]

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$.
\item Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.\index{suite géométrique}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$.

Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$.
\begin{center}\index{algorithme}
\fbox{
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\
&&$p$ est un réel\\
&& $n$ est un entier\\
\textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\
&& Affecter à $u$ la valeur 2\\
\textbf{Entrée}&:&  Demander la valeur de $p$ \\
\textbf{Traitement}&:&\\
\\
\textbf{Sortie}&:& \\
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$.

En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013}}
%
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
%  
%On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.\index{complexes}
% 
%On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.
% 
%à€ tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.
% 
%On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].
% 
%Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à  (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2). 
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend 
%
%$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$. 
%		\item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
%		
%Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. 
%		\item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$en prenant 2~cm pour unité graphique.
%		 
%Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à  l'aide du graphique.
%	\end{enumerate} 
%\item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. 
%		\item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. 
%		\item à‰crire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. 
%		\item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. 
%		\item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  