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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Contrôle commun \no  2 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
22 novemvre 2014-2015}

\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 2 (4 heures)}}\end{center}

\subsection{}
Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, le nombre $10^n-(-1)^n$ est divisible par 11.

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\text{ si }x \neq 0\\f(0)=\frac12\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item $f$ est-elle continue en 0 ?

\item $f$ est-elle dérivable en 0 ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
\indent\begin{enumerate}[$\hspace{0,7cm}f_1(x)=$ ]
\item $\sqrt{3x^2+5x+9}$ sur $\mathbb{R}$

\item $\dfrac{-3}{(2x-5)^4}$ sur $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{5}{2}\right\}$

\item $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}$ sur $\mathbb{R}$

\item $\sin(\sqrt{x})$ sur $]0~;~\infty[$

\item $\sqrt{\sin(x)}$ sur $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$

\item $\left(\dfrac{2x^2+x-5}{3x^2+x+4}\right)^5$ sur $\mathbb{R}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$  et  $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.

\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul , $u_n>0$ .


\item 
\begin{enumerate}
\item   Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}-1$ a le signe de $u_n-1$ , puis que $u_{n+1}-1$ a le signe de  $u_0-1$.\\
En déduire que $ u_n<1$ pour tout $n$.

\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

\item Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on  définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de  $v_n$.

\item Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$.

\item Exprimer $v_n$ en fonction de  $n$ et calculer sa limite.

\item En déduire la limite de la suite  $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(x^3 - 2x^2 - 1\right)^4$.
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = x^3 - 2x^2 - 1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u$ s’annule une seule fois sur $\mathbb{R}$. Donner un encadrement d’amplitude $10^{-2}$ de cette racine.

\item En déduire le signe de $u$ sur $\mathbb{R}$.

\item Pourquoi le signe de $u^3$ est-il le même que celui de $u$ ?
\end{enumerate}

\item Justifier que f est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.

\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.

\item Dresser le tableau de variations de f.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par $f(x)=\dfrac{-x^2-x+6}{x+1}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Que peut-on en déduire ?

\item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ et étudier les variations de $f$.

\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.


\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse 2.

\item Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $\mathscr{C}_f$ avec les axes du repère.

\item Déterminer la position relative de $\mathscr{C}_f$ avec l’axe des abscisses.

\end{enumerate}

%\subsection{}
%\begin{enumerate}
%\item Factoriser l'expression $2x^{2}+x-1$.
%
%\item On considère la fonction $f$, définie sur $[-\pi~;~\pi]$ par : $f(x)=\sin x(1+\cos x)$.
%\begin{enumerate}
%\item Pourquoi $f$ est-elle dérivable sur $[-\pi~;~\pi]$ ?
%
%\item Calculer $f'(x)$.
%
%\item Étudier soigneusement le signe de $f'(x)$.
%
%\item Dresser le tableau de variation de $f$.
%
%\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[-\pi~;~\pi]$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sin(3x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

\item Représenter sur le cercle trigonométrique les solutions appartenant à l'intervalle $[0~;~\pi]$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}
\label{courbe}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A :}}\\

\bigskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3+3x+8$.

\begin{enumerate}[a)]
\item Étudier le sens de variation de $g$ et montrer que l'equation $g(x)=0$ admet  dans $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude 0.1. 

\item Préciser le signe de $g(x)$ selon la valeur de $x$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =\dfrac{x^3-4}{x^2+1} $et $\mathscr{C}$ sa courbe representative ( unité 1cm) 

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{\left(x^2+1\right)^2}$.\\
 Étudier alors le sens de variation de f. 

\item Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

\item Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha$, où $\alpha$ est le nombre déterminé dans la partie A.

\item  Dresser le tableau de variation de $f$ .   

\item Montrer qu'il existe quatre réels a b c et d tel que : 
          \[f(x) = ax+b + \dfrac{cx+d}{x^2+1}\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer  que $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left[f(x)-x]\right]=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-x]=0$.



\item On rappelle que la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote à la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d'une fonction en $-\infty$ ou en $+\infty$ si, et seulement si, la limite en $-\infty$ (ou $+\infty$) de $f(x)-[ax+b]=0$.\\
En déduire que $\mathscr{C}$ admet une asymptote oblique $\Delta$.

\item En étudiant le signe de $f(x)-x$, donner la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\Delta$. 

\end{enumerate}
   

\item Determiner les abscisses des point B et B' de $\mathscr{C}$ admettant une tangente parallele à $\Delta$. 



\item Tracer sur la feuille annexe $\Delta$ et $\mathscr{C}$ en plaçant les points  B, B' ainsi que les trois points I, J et K d'abscisses respectives 1, 2 et -1 avec leur tangentes. 


\end{enumerate}


\newpage

\begin{center}
\huge \textbf{\textcolor{blue}{ANNEXE À L'EXERCICE \ref{courbe}}}
\end{center}
\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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\begin{scriptsize}
\rput[bl](-6.44,-6.3){$f$}
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\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}  