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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{Contrôle commun \no  5 TS1-TS2}
\rfoot{Lycée Maurice Genevoix,\\
30 mai 2015}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS1-TS2 : contrôle commun \no 5 (4 heures)}}\end{center}

\subsection{}%Nouvelle Calédinie novembre 2013
\emph{Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième} 

\medskip

Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.
 
Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à  9~mm ou supérieur à  11~mm.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui à  chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm.
 
On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale \index{loi normale} d'espérance $10$ et d'écart-type $0,4$. 

Montrer qu'une valeur approchée à  \numprint{0,0001} près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est \numprint{0,0124}. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe. 
\item On met en place un contrôle de production tel que 98\,\% des billes hors norme sont écartés et 99\,\% des billes correctes sont conservées.
 
On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l'évènement : \og la bille choisie est aux normes \fg, $A$ l'évènement : \og la bille choisie est acceptée à  l'issue du contrôle \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$. 
		\item Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. 

On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de \numprint{0,0124}.
 
On admettra que prendre au hasard un sac de $100$~billes revient à  effectuer un tirage avec remise de $100$~billes dans l'ensemble des billes fabriquées.
 
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à  tout sac de $100$~billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ? 
\item Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ? 
\item Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne exactement deux billes hors norme ? 
\item Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne au plus une bille hors norme ? 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}%Métropole septembre 2013
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}$ et trois autres courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{3}$ avec la tangente en leur point d'abscisse $0$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-7.5,-1)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-7.5,-1)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.5}{1.2}{x 2 add 2.71828 x 2 div exp mul}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[r](1,4.3){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{1.2}{ x 2 mul  2.71828 x 2 div exp mul 2 sub}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[r](1.4,0.8){$d_{1}$}
\uput[u](-2,-3.3){$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}&
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(1.8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(1.8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[r](0.9,1){$d_{2}$}
\uput[u](-2,-1.2){$\mathcal{C}_{2}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{1}{4 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}&\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(1.8,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.5)(1.8,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[r](1.3,1){$d_{3}$}
\uput[u](1,1.2){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{0.9}{3.5 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul 0.5 add}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{1.5 x mul 1.5 sub}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\index{lecture graphique}

\begin{enumerate}
\item Donner par lecture graphique, le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. 
\item On désigne par $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la courbe $\mathcal{C}$, déterminer $F'(0)$ et $F'(- 2)$. 
		\item L'une des courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{3}$ est la courbe représentative de la fonction $F$. 

Déterminer laquelle en justifiant l'élimination des deux autres.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ évoquée dans la \textbf{partie A} est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

\begin{enumerate}
\item L'observation de la courbe $\mathcal{C}$ permet de conjecturer que la fonction $f$ admet un minimum. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. 
		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.
	\end{enumerate} 
\item On pose $I =  \displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le réel $I$.  
		\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}$.
		 
Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. 
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I$.
	\end{enumerate} 
\item On donne l'algorithme ci-dessous.

\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables: 	&$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
			&$s$ est un nombre réel.\\ 
Entrée : 	&Demander à  l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
Initialisation :& Affecter à  $s$ la valeur $0$.\\ 
Traitement :& 	Pour $k$ allant de $0$ à  $n - 1$\\ 
	& \hspace{0,5cm}| Affecter à  $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
	&Fin de boucle.\\ 
Sortie :& 	Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
		
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\pscurve[linecolor=blue](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15)
\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5)
\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65)
\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9)
\psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15)
\uput[l](0,0.25){1}
\uput[ul](0.333,0.65){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}		 
		\item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\newpage
\subsection{}%Métropole septembre 2014
On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
 
Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		\index{suite} 
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit.
 
Au bout de 15 minutes, on arrête la machine.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$.
 
L algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :		&$n$ est un entier naturel.\\
				&$v$ est un nombre réel.\\ 
Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ 
Traitement :	& 	Pour $n$ allant de 1 à 15\\ 
				&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
					Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ 
					Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\
					Afficher $v$.\\
						\end{tabular}\\  
				&Fin de boucle.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
\index{algorithme} 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline
$v_{n}$ &10 
&8 &6,4 &&&&&8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
		\item On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes.
		 
Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
	\end{enumerate} 
\item On programme la machine de façon que :

\begin{itemize}
\item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament, 
\item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament.
\end{itemize}
 
On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$. 

Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		\item En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner ?
		\index{suite}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\subsection{}%Liban mai 2015
ABCDEFGH est un cube.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,6.5)
\psframe(0.5,0.5)(4.5,4.5)%BCGF
\psline(4.5,0.5)(6.4,1.9)(6.4,5.9)(4.5,4.5)%CDHG
\psline(6.4,5.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)%HEF
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](0.5,0.5)(2.4,1.9)(2.4,5.9)%BAE
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](2.4,1.9)(6.4,1.9)%AD
\uput[ur](2.4,1.9){A} \uput[dl](0.5,0.5){B} \uput[dr](4.5,0.5){C} 
\uput[r](6.4,1.9){D} \uput[u](2.4,5.9){E} \uput[l](0.5,4.5){F} 
\uput[dr](4.5,4.5){G} \uput[ur](6.4,5.9){H} \uput[ul](1.45,1.2){I} 
\uput[u](4.4,5.9){J} \uput[d](2.5,0.5){K} \uput[r](4.5,2.5){L} 
\psdots(2.4,1.9)(0.5,0.5)(4.5,0.5)(6.4,1.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)(4.5,4.5)(6.4,5.9)
(1.45,1.2)(4.4,5.9)(2.5,0.5)(4.5,2.5)
\end{pspicture}
\end{center}

I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}},~ 
 \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
	\end{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
\item Soit $M$ le point d'intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées
du point $M$.
\item Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.
\item Calculer le volume du tétraèdre FIJK.
\item Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  