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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : contrôle sur les suites et démonstrations par récurrence (2 heures)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $9^n-1$ est divisible par 8.

\subsection{}
Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $2^n\geqslant n+1$.

%\subsection{}
%Soit $x$ un réel strictement positif.\\
%Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $(1+x)^n\geqslant 1+nx$ (inégalité de Bernoulli)

\subsection{}
Calculer la somme :\\
$S=3+7+11+\cdots +119=\sum_{i=0}^{i=29}(3+4i)$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Rappeler précisément ce que veut dire que la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

\item Démontrer qu'une suite croisante non majorée tend vers $+\infty$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_0=2\\u_{n+1}=u_n(1+u_n)\end{array}\right.$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que tous les termes de cette suite sont positifs.

\item Étudier les variations de cette suite.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{D'aprés bac}}
On considére la suite $\left(w_n\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier naturel $n\geqslant 1$ :
\[w_0=1\text{ et }nw_n=(n+1)w_{n-1}+1.\]
Le tableau ci-dessous donne les dix premiers termes de cette suite :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$w_0$&$w_1$&$w_2$&$w_3$&$w_4$&$w_5$&$w_6$&$w_7$&$w_8$&$w_9$\\
\hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 

Détailler le calcul permettant de calculer la valeur de $w_{10}$.

\item Conjecturer la nature de la suite $\left(w_n\right)$ et démontrer cette conjecture.

\item En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ et la valeur de $w_{\numprint{2000}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Bac ES Amérique du sud novembre 2009
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + 4}{3}$. 

\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$. 
\item Le plan est rapporté à un repére orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ (unités graphiques : 2~cm).
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x+ 4}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la représentation graphique $d$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. 
		\item En utilisant $d$ et $\Delta$, construire $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. 
		\item Conjecturer $\displaystyle\lim_{n \to  \infty}  u_{n}$ à l'aide de la construction, que l'on peut imaginer, d'un grand nombre  
de termes de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considére la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que $u_{n} = 4 - 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. 
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Livre Interro des lycées Nathan n° 106 page 169
 Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : $\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=\frac{3u_n-2}{2u_n-1}\end{cases}$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Démontrer que $u_{n+1}=1+\frac{u_n-1}{2u_n-1}$
\item En déduire par récurrence qu'on a toujours $u_n>1$ et donc que la suite $(u_n)$ est bien définie pour tout $n$.
\end{enumerate}
\item Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : $v_n=\frac{1}{u_n-1}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
\item En déduire l'expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  